小學數(shù)學故事：數(shù)列的由來

來源：奧數(shù)網(wǎng)整理 2019-08-27 14:40:32

　　從前，有一個窮光棍，平時只知好吃懶做，不肯踏踏實實做事情，還經(jīng)常想入非非做發(fā)財夢。一天，他在路邊撿到一個雞蛋，他非常高興，捧著雞蛋就在腦子里就盤算開了：“我借別人的母雞把這個蛋孵成小雞，等小雞長大了，就可以生蛋，我再把生的蛋孵成雞，這些雞又可以生更多的蛋，蛋又可變成更多的雞……過不了幾年，我就可以把蛋和雞去換許多錢，然后可以蓋新房，還可以娶個漂亮媳婦，生兒育女……”他越想越高興，不禁得意忘形手舞足蹈，忽聽“啪”的一聲，雞蛋掉在地上，碎了!懶漢看著摔碎了的雞蛋，放聲痛哭：“哎呀，我的寶貝!我的房子呀!……”

　　上面這則笑話流傳已久，對我們很有教育意義，然而恐怕誰都沒有認真計算過：如果雞蛋沒有打碎，幾年后這個懶漢究竟有多少只雞，多少個蛋呢?不過，公元1202年，一位意大利比薩的商人斐波拉契(Fibonacci，約1170-1250?)在他的《算盤全書》(這里的“算盤”指的是計算用沙盤)中提出過一個“養(yǎng)兔問題”，卻被無數(shù)人算過。這道題說的是：

　　某人買回一對小兔，一個月后小兔長成大兔。再過一個月，大兔生了一對小兔，以后，每對大兔每月都生一對小兔，小兔一個月后長成大兔。如此下去，問一年后此人共有多少對兔子?

　　你能算清嗎?不少同學恐怕看完題就已經(jīng)動手算了，而且很快就算出了答案。不過對不對可不敢保證。說實在的，這題要算對并不那么容易，這可要不慌不忙細心地算才行。

　　通�？梢粤幸粋€表來算這個題：

　　填了幾行后，你就可以總結出幾條結論：

　　(1)每個月的大兔子數(shù)就是上個月的兔子總數(shù)。(因上個月的小兔這個月都長成大兔)

　　(2)每個月的小兔子數(shù)就是上個月的大兔數(shù)。(因上月大兔子這個月都需生一對小兔，而上個月的小兔這個月長成大兔但不生兔子。)由(1)可知：每月小兔數(shù)就是前月的兔子總數(shù)。

　　(3)每月兔子總數(shù)是當月大、小兔子數(shù)的和。由(1)、(2)知每月兔子數(shù)就等于上月與前月這兩個月兔子數(shù)的和。

　　若記第n個月的兔子數(shù)為fn，就有

　　f0+f1=f2，f1+f2=f3，f2+f3=f4……

　　一般的，有fn-2+fn-1=fn。有了這個規(guī)律，填這個表就很容易了。

　　你看，養(yǎng)一對兔子，一年之后就會發(fā)展壯大成了一個養(yǎng)兔場了。

　　按這個規(guī)律，可以把兔子數(shù)一直寫下去：

　　1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，……。

　　這樣得出的一列數(shù)就稱為“斐波拉契數(shù)列。”

　　波蘭數(shù)學家史坦因豪斯在其名著《數(shù)學萬花筒》中提出一個問題：

　　一棵樹一年后長出一條新枝，新枝隔一年后成為老枝，老枝又可每年長出一條新枝，如此下去，十年后新枝將有多少?

　　這恰好也可以得到“斐波那契數(shù)”。

　　人們從“斐”數(shù)出發(fā)得到了很多有益的和有趣的結果。比如“斐”數(shù)與黃金分割(0.618)的關系，直到現(xiàn)在還在優(yōu)選法和運輸調度理論中起著基本原理的作用;又如種向日葵的農(nóng)場主在葵花籽的分布規(guī)律上發(fā)現(xiàn)了“斐”數(shù)，乃至好多植物的花瓣葉序上發(fā)現(xiàn)的“斐”數(shù)奇觀形成了至今未解的“葉序之迷”。可見一個“養(yǎng)兔問題”竟揭示了大自然的一個普遍存在的奧秘。