調(diào)和分析，偏微分方程，概率

　　芝加哥大學(xué)，物理學(xué)院院長(zhǎng)、梅森(Max Mason)杰出服務(wù)數(shù)學(xué)教授

　　我的母親在德國(guó)長(zhǎng)大，就讀的學(xué)校以紀(jì)律極其嚴(yán)格為主要特色，而且特別缺乏數(shù)學(xué)方面的教育，因此她徹底討厭數(shù)學(xué)。我的父親是經(jīng)濟(jì)學(xué)家，他取得博士學(xué)位用到的數(shù)學(xué)還不夠一門微積分課程的要求，因?yàn)樗�的老師告訴他，經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)沒(méi)有一點(diǎn)關(guān)系。他在高中曾經(jīng)一直擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)，就像其他學(xué)生一樣，他喜歡并重視這門學(xué)科，而且他一直渴望自學(xué)微積分。我的父母有兩個(gè)兒子，而且都成為了數(shù)學(xué)家。我認(rèn)為，在很大程度上，父親對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度和經(jīng)驗(yàn)影響了我們的學(xué)術(shù)抱負(fù)，而母親只能在一旁驚訝地觀望。

　　哥哥查爾斯(Charles) 為我樹(shù)立了一個(gè)卓越的榜樣，記得看到他的絢爛成就和熱情時(shí)，我也非常欣賞數(shù)學(xué)，雖然我在學(xué)校的早期經(jīng)歷并不是非常令人滿意。我對(duì)數(shù)學(xué)的喜愛(ài)直到高中后期才發(fā)展起來(lái)，那時(shí)我遇到了一個(gè)杰出的微積分老師。正是在這門課上，我決定認(rèn)真地考慮做一個(gè)數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)的優(yōu)美和深度也變得極其清晰。我記得我一生中最好的教育經(jīng)歷是閱讀函數(shù)論方面的東西，我進(jìn)入大學(xué)非常堅(jiān)定地要追求這個(gè)學(xué)科作為主攻方向。在馬里蘭大學(xué)，我的教授，特別是霍瓦特(John Horvath)和馬克莉(Nelson Markley)，在為我指點(diǎn)進(jìn)入研究生院成長(zhǎng)所需要的背景方面展現(xiàn)出極大的天賦和耐心。當(dāng)我進(jìn)入普林斯頓研究生院時(shí)，我相信我已經(jīng)準(zhǔn)備好從那個(gè)極其富饒的環(huán)境中汲取營(yíng)養(yǎng)。

　　進(jìn)入普林斯頓時(shí)，我腦子里確實(shí)有一個(gè)小小的疑問(wèn)，我應(yīng)該請(qǐng)誰(shuí)來(lái)指導(dǎo)我的論文呢？施泰因(E. M. Stein)是一個(gè)特別有天分的研究者，而且有非常吸引人的廣泛的數(shù)學(xué)興趣，作為教師，也具有同等的天賦和魅力。

　　發(fā)展于三角級(jí)數(shù)的研究的現(xiàn)代調(diào)和分析，非常深刻地聯(lián)系于一些如此吸引人的課題，如集合論和數(shù)論、復(fù)變函數(shù)論、賭博游戲和概率論、實(shí)變函數(shù)的最基本的概念，例如如何將一個(gè)函數(shù)分解為較大部分與較小部分。學(xué)到這些真是美妙。調(diào)和分析與偏微分方程之間的聯(lián)系——也許自傅里葉(Fourier)的發(fā)現(xiàn)開(kāi)始，就包含在這一理論中——強(qiáng)調(diào)了這個(gè)重要數(shù)學(xué)分支的應(yīng)用方面。我認(rèn)為這些聯(lián)系說(shuō)明了調(diào)和分析和一般的數(shù)學(xué)的一個(gè)最吸引人的雙重性質(zhì)：一是它作為優(yōu)美的藝術(shù)形式，二是作為可以適用于人類知識(shí)的幾乎所有領(lǐng)域的基本應(yīng)用的最正宗的來(lái)源。

　　我特別感興趣的是芝加哥大學(xué)的卡爾德隆(Alberto Calderón)和濟(jì)格蒙德(Antoni Zygmund)在調(diào)和分析中開(kāi)創(chuàng)的領(lǐng)域：奇異積分。曾在芝加哥接受過(guò)研究生教育的施泰因已經(jīng)就這個(gè)課題寫了一本經(jīng)典教材(譯者注：有中譯本《奇異積分與函數(shù)的可微性》， 程民德等譯，北京大學(xué)出版社，1986年。)，它引導(dǎo)了許多幸福的學(xué)生進(jìn)入這塊可愛(ài)的分析領(lǐng)域。他強(qiáng)調(diào)了一些稱為“極大算子”的對(duì)象居于中心地位，它們控制了這些奇異積分的性態(tài)，我全力投入到更好地理解這些極大算子的嘗試中。這項(xiàng)研究工作開(kāi)始之后不久，我離開(kāi)普林斯頓研究生院來(lái)到了芝加哥大學(xué)。這個(gè)領(lǐng)域的幾位數(shù)學(xué)家表述了幾個(gè)與將卡爾德隆—濟(jì)格蒙德理論推廣到具有高維奇點(diǎn)集的奇異積分相關(guān)的問(wèn)題。即便是這個(gè)推廣的最簡(jiǎn)單的情形在那時(shí)也是完全神秘的，這就是乘積理論。這個(gè)理論提出的挑戰(zhàn)就好比，你身上帶了兩塊表以掌握時(shí)間，但這兩塊表上所顯示的時(shí)間各不一樣而且各自獨(dú)立。這個(gè)狀況已然非常復(fù)雜了，卡爾松(Lennart Carleson)又給出了一個(gè)反例表明，通常的卡爾德隆—濟(jì)格蒙德并不能直接地推廣到這個(gè)新的框架下。幸運(yùn)的是，由于許多人的努力，奇異積分的乘積理論現(xiàn)在已經(jīng)非常成型了，而且我們很好地理解了它是如何與經(jīng)典理論相融的。我特別感興趣的最后一個(gè)領(lǐng)域是調(diào)和分析對(duì)橢圓型方程的應(yīng)用，特別是當(dāng)方程中的系數(shù)非常粗糙的時(shí)候。

　　總而言之，我非常幸運(yùn)有來(lái)自于我的家庭、老師和同事的友好而耐心的支持，這是一個(gè)很好的機(jī)會(huì)跟他們所有人說(shuō)一聲：“謝謝你！”