小學(xué)數(shù)學(xué)故事：排列的迷題

　　組合分析，即組合學(xué)，是研究事件如何排列的。用專業(yè)的說法，組合分析是將諸元素按不同的規(guī)則和特性組合為集合的研究方法。

　　例如，第一個問題是關(guān)于不同顏色的球的分組方法。這個問題要求讀者按某一特性找到彩球的最小集合。第二個問題是關(guān)于參賽者按圖表以淘汰制分組的方法――這也是計算機中重要的計算部分數(shù)據(jù)分類的問題。

　　組合分析通常要找到根據(jù)某種規(guī)則進行分組的全部組合，如所謂“窮舉問題”在蘇珊上學(xué)路徑中的應(yīng)用，在這個問題上，組合的元素是沿模型邊緣的曲線路徑，由于幾何圖形被引入，我們稱其為組合幾何。

　　每個數(shù)學(xué)分支都有其組合問題，你將在本書各節(jié)中找到它們。有組合數(shù)學(xué)，組合拓撲，組合邏輯，組合集合理論――甚至組合語言，這將在語詞游戲一章看到。組合學(xué)在概率理論方面尤為重要，在找到概率公式以前列舉所有可能的組合是非常必要的。有一個著名的概率問題集叫作“機會與機遇”，題目中“機會”這個詞指的就是組合因素。

　　我們第一個問題涉及概率是因為彩球按某一特定要求排列，文中提出了如何解決類似的簡單的概率問題。列舉蘇珊上學(xué)路徑問題提供了帕斯卡三角在概率問題中的應(yīng)用。解決已知組合問題的排列可能沒有，可能只有一種，也可能有幾種或無數(shù)種。沒有一種兩個奇數(shù)的組合能使這兩個奇數(shù)的和仍是奇數(shù)。只有一種兩個質(zhì)數(shù)的組合，使得這兩個質(zhì)數(shù)的積是21，滿足兩個正整數(shù)的和是7的組合有三種，有無限多種兩個偶數(shù)的組合使得它們的和仍是偶數(shù)。在組合理論中更多的是很難找到“不可能事件的證明”，即沒有滿足要求的組合。例如，直到最近才證明地圖的繪制需要五種顏色，這在組合拓撲中曾是一個著名的無解問題，這個不可能證明需要龐雜的計算機程序。

　　另一方面，許多最初很難證明其不可能性的組合問題，在具有了巧妙的想法后卻很容易證明。在“惱人的花磚”問題中，我們看到簡單的奇偶檢驗馬上導(dǎo)致了用其它方式很難證明的組合的不可能性。

　　關(guān)于小球的第二個問題把組合思想和不同數(shù)學(xué)體系的應(yīng)用結(jié)合了起來。我們知道，可以依賴組合的規(guī)則，用數(shù)學(xué)做各個位置的記號，實際上，所有的推理，無論是數(shù)學(xué)的還是邏輯的，都能用一串組合符號來進行，不管這是不是合適的說法。

　　所以17世紀組合學(xué)的創(chuàng)始人萊布尼茨稱這種推論技巧為排列組合。

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