【答案】

　　一共3紅4黑5白,第十個(gè)人不知道的話,可推出前9個(gè)人的所有可能情況:

　　紅 黑 白

　　3 3 3

　　3 2 4

　　3 1 5

　　2 3 4

　　2 2 5

　　1 3 5

　　如果第九個(gè)人不知道的話，可推出前8個(gè)人的所有可能情況:

　　紅 黑 白

　　1 2 5

　　1 3 4

　　2 1 5

　　2 2 4

　　2 3 3

　　3 1 4

　　3 2 3

　　由此類推可知，當(dāng)推倒第六個(gè)人時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)他已經(jīng)肯定知道他自己戴的是什么顏色的帽子了.

　　有 3頂黑帽子，2頂白帽子。讓三個(gè)人從前到后站成一排，給他們每個(gè)人頭上戴一頂帽子。每個(gè)人都看不見自己戴的帽子的顏色，卻只能看見站在前面那些人的帽子顏 色。(所以最后一個(gè)人可以看見前面兩個(gè)人頭上帽子的顏色，中間那個(gè)人看得見前面那個(gè)人的帽子顏色但看不見在他后面那個(gè)人的帽子顏色，而最前面那個(gè)人誰(shuí)的帽 子都看不見�，F(xiàn)在從最后那個(gè)人開始，問他是不是知道自己戴的帽子顏色，如果他回答說(shuō)不知道，就繼續(xù)問他前面那個(gè)人。事實(shí)上他們?nèi)齻�(gè)戴的都是黑帽子，那么最 前面那個(gè)人一定會(huì)知道自己戴的是黑帽子。為什么?

　　答案是，最前面的那個(gè)人聽見后面兩個(gè)人都說(shuō)了 不知道 ，他假設(shè)自己戴的是白帽子，于是中 間那個(gè)人就看見他戴的白帽子。那么中間那個(gè)人會(huì)作如下推理: 假設(shè)我戴了白帽子，那么最后那個(gè)人就會(huì)看見前面兩頂白帽子，但總共只有兩頂白帽子，他就應(yīng)該 明白他自己戴的是黑帽子，現(xiàn)在他說(shuō)不知道，就說(shuō)明我戴了白帽子這個(gè)假定是錯(cuò)的，所以我戴了黑帽子。 問題是中間那人也說(shuō)不知道，所以最前面那個(gè)人知道自己 戴白帽子的假定是錯(cuò)的，所以他推斷出自己戴了黑帽子。

　　我們把這個(gè)問題推廣成如下的形式:

　　有若干種顏色的帽子，每種若干頂。假設(shè)有若干個(gè)人從前到后站成一排，給他們每個(gè)人頭上戴一頂帽子。每個(gè)人都看不見自己戴的帽子的顏色，而且每個(gè)人都看得見在他前面所有人頭上帽子的顏色，卻看不見在他后面任何人頭上帽子的顏色�，F(xiàn)在從最后那個(gè)人開始，

　　問他是不是知道自己戴的帽子顏色，如果他回答說(shuō)不知道，就繼續(xù)問他前面那個(gè)人。一直往前問，那么一定有一個(gè)人知道自己所戴的帽子顏色。

　　當(dāng)然要假設(shè)一些條件:

　　1)首先，帽子的總數(shù)一定要大于人數(shù)，否則帽子都不夠戴。

　　2) 有若干種顏色的帽子，每種若干頂，有若干人 這個(gè)信息是隊(duì)列中所有人都事先知道的，而且所有人都知道所有人都知道此事，所有人都知道所有人都知道所有人都知道此事，等等等等。但在這個(gè)條件中的 若干 不一定非要具體一一給出數(shù)字來(lái)。

　　這個(gè)信息具體地可以是象上面經(jīng)典的形式，列舉出每種顏色帽子的數(shù)目 有3頂黑帽子，2頂白帽子，3個(gè)人 ，也可以是 有紅黃綠三種顏色的帽子各1頂2頂3 頂，但具體不知道哪種顏色是幾頂，有6個(gè)人 ，甚至連具體人數(shù)也可以不知道， 有不知多少人排成一排，有黑白兩種帽子，每種帽子的數(shù)目都比人數(shù)少1 ，這 時(shí)候那個(gè)排在最后的人并不知道自己排在最后 直到開始問他時(shí)發(fā)現(xiàn)在他回答前沒有別人被問到，他才知道他在最后。在這個(gè)帖子接下去的部分當(dāng)我出題的時(shí)候我 將只寫出 有若干種顏色的帽子，每種若干頂，有若干人 這個(gè)預(yù)設(shè)條件，因?yàn)檫@部分確定了，題目也就確定了。

　　3)剩下的沒有戴在大家頭上的帽子當(dāng)然都被藏起來(lái)了，隊(duì)伍里的人誰(shuí)都不知道都剩下些什么帽子。

　　4)所有人都不是色盲，不但不是，而且只要兩種顏色不同，他們就能分別出來(lái)。當(dāng)然他們的視力也很好，能看到前方任意遠(yuǎn)的地方。他們極其聰明，邏輯推理是極 好的�？偠�言之，只要理論上根據(jù)邏輯推導(dǎo)得出來(lái)，他們就一定推導(dǎo)得出來(lái)。相反地如果他們推不出自己頭上帽子的顏色，任何人都不會(huì)試圖去猜或者作弊偷看 不知為不知。

　　5)后面的人不能和前面的人說(shuō)悄悄話或者打暗號(hào)。

　　當(dāng)然，不是所有的預(yù)設(shè)條件都能給出一個(gè)合理的題目。比如有99頂黑帽子，99頂白帽子，2個(gè)人，無(wú)論怎么戴，都不可能有人知道自己頭上帽子的顏色。另外，只要不是只有一種顏色的帽子，在只由一個(gè)人組成的隊(duì)伍里，這個(gè)人也是不可能說(shuō)出自己帽子的顏色的。

　　但是下面這幾題是合理的題目:

　　1)3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子，10個(gè)人。

　　2)3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子，8個(gè)人。

　　3)n頂黑帽子，n-1頂白帽子，n個(gè)人(n>0)。

　　4)1頂顏色1的帽子，2頂顏色2的帽子， ，99頂顏色99的帽子，100頂顏色100的帽子，共5000個(gè)人。

　　5)有紅黃綠三種顏色的帽子各1頂2頂3頂，但具體不知道哪種顏色是幾頂，有6個(gè)人。

　　6)有不知多少人(至少兩人)排成一排，有黑白兩種帽子，每種帽子的數(shù)目都比人數(shù)少1。

　　大家可以先不看我下面的分析，試著做做這幾題。

　　如果按照上面3頂黑帽2頂白帽時(shí)的推理方法去做，那么10個(gè)人就可以把我們累死，別說(shuō)5000個(gè)人了。但是3)中的n是個(gè)抽象的數(shù)，考慮一下怎么解決這個(gè)問題，對(duì)解決一般的問題大有好處。

　　假設(shè)現(xiàn)在n個(gè)人都已經(jīng)戴好了帽子，問排在最后的那一個(gè)人他頭上的帽子是什么顏色，什么時(shí)候他會(huì)回答 知道 ?很顯然，只有在他看見前面n-1個(gè)人都戴著 白帽時(shí)才可能，因?yàn)檫@時(shí)所有的n-1頂白帽都已用光，在他自己的腦袋上只能頂著黑帽子，只要前面有一頂黑帽子，那么他就無(wú)法排除自己頭上是黑帽子的可能 即使他看見前面所有人都是黑帽，他還是有可能戴著第n頂黑帽。

　　現(xiàn)在假設(shè)最后那個(gè)人的回答是 不知道 ，那么輪到問倒數(shù)第二人。根據(jù)最后面 那位的回答，他能推斷出什么呢?如果他看見的都是白帽，那么他立刻可以推斷出自己戴的是黑帽 要是他也戴著白帽，那么最后那人應(yīng)該看見一片白帽，問到他 時(shí)他就該回答 知道 了。但是如果倒數(shù)第二人看見前面至少有一頂黑帽，他就無(wú)法作出判斷 他有可能戴著白帽，但是他前面的那些黑帽使得最后那人無(wú)法回答 知道 ;他自然也有可能戴著黑帽。

　　這樣的推理可以繼續(xù)下去，但是我們已經(jīng)看出了苗頭。最后那個(gè)人可以回答 知道 當(dāng)且僅當(dāng)他看見的全是白帽，所以他回答 不知道 當(dāng)且僅當(dāng)他至少看見了一頂黑帽。這就是所有帽子顏色問題的關(guān)鍵!

　　如果最后一個(gè)人回答 不知道 ，那么他至少看見了一頂黑帽，所以如果倒數(shù)第二人看見的都是白帽，那么最后那個(gè)人看見的至少一頂黑帽在哪里呢?不會(huì)在別處，只能在倒數(shù)第二人自己的頭上。這樣的推理繼續(xù)下去，對(duì)于隊(duì)列中的每一個(gè)人來(lái)說(shuō)就成了:

　　在我后面的所有人都看見了至少一頂黑帽，否則的話他們就會(huì)按照相同的判斷斷定自己戴的是黑帽，所以如果我看見前面的人戴的全是白帽的話，我頭上一定戴著我身后那個(gè)人看見的那頂黑帽。

　　我們知道最前面的那個(gè)人什么帽子都看不見，就不用說(shuō)看見黑帽了，所以如果他身后的所有人都回答說(shuō) 不知道 ，那么按照上面的推理，他可以確定自己戴的是 黑帽，因?yàn)樗�身后的人必定看見了一頂黑�?只能是第一個(gè)人他自己頭上的那頂。事實(shí)上很明顯，第一個(gè)說(shuō)出自己頭上是什么顏色帽子的那個(gè)人，就是從隊(duì)首數(shù)起 的第一個(gè)戴黑帽子的人，也就是那個(gè)從隊(duì)尾數(shù)起第一個(gè)看見前面所有人都戴白帽子的人。

　　這樣的推理也許讓人覺得有點(diǎn)循環(huán)論證的味道，因?yàn)樯厦婺嵌?推理中包含了 如果別人也使用相同的推理 這樣的意思，在邏輯上這樣的自指式命題有點(diǎn)危險(xiǎn)。但是其實(shí)這里沒有循環(huán)論證，這是類似數(shù)學(xué)歸納法的推理，每個(gè)人 的推理都建立在他后面那些人的推理上，而對(duì)于最后一個(gè)人來(lái)說(shuō)，他的身后沒有人，所以他的推理不依賴于其他人的推理就可以成立，是歸納中的第一個(gè)推理。稍微 思考一下，我們就可以把上面的論證改得適合于任何多種顏色的推論:

　　如果我們可以從假設(shè)斷定某種顏色的帽子一定會(huì)在隊(duì)列中出現(xiàn)，從隊(duì)尾數(shù)起第 一個(gè)看不見這種顏色的帽子的人就立刻可以根據(jù)和此論證相同的論證來(lái)作出判斷，他戴的是這種顏色的帽子。現(xiàn)在所有我身后的人都回答不知道，所以我身后的人也 看見了此種顏色的帽子。如果在我前面我見不到此顏色的帽子，那么一定是我戴著這種顏色的帽子。

　　當(dāng)然第一個(gè)人的初始推理相當(dāng)簡(jiǎn)單: 隊(duì)列中一定有人戴這種顏色的帽子，現(xiàn)在我看不見前面有人戴這顏色的帽子，那它只能是戴在我的頭上了。

　　對(duì)于題1)事情就變得很明顯，3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子給10個(gè)人戴，隊(duì)列中每種顏色至少都該有一頂，于是從隊(duì)尾數(shù)起第一個(gè)看不見某種顏色的 帽子的人就能夠斷定他自己戴著這種顏色的帽子，通過這點(diǎn)我們也可以看到，最多問到從隊(duì)首數(shù)起的第三人時(shí)，就應(yīng)該有人回答 知道 了，因?yàn)閺年?duì)首數(shù)起的第三 人最多只能看見兩頂帽子，所以最多看見兩種顏色，如果他后面的人都回答 不知道 ，那么他前面一定有兩種顏色的帽子，而他頭上戴的一定是他看不見的那種顏 色的帽子。

　　題2)也一樣，3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子給8個(gè)人戴，那么隊(duì)列中一定至少有一頂白帽子，因?yàn)槠渌�顏色加起�?lái)一共才7頂，所以隊(duì)列中一定會(huì)有人回答 知道 。

　　題4)的規(guī)模大了一點(diǎn)，但是道理和2)完全一樣。100種顏色的5050頂帽子給5000人戴，前面99種顏色的帽子數(shù)量是1 99=4950，所以隊(duì)列中一定有第100種顏色的帽子(至少有50頂)，所以如果自己身后的人都回答 不知道 ，那么那個(gè)看不見顏色100帽子的人就可 以斷定自己戴著這種顏色的帽子。

　　至于5)、6) 有紅黃綠三種顏色的帽子各1頂2頂3頂，但具體不知道哪種顏色是幾頂，有6個(gè)人 以及 有不知多少人排成一排，有黑白兩種帽子，每種帽子的數(shù)目都比人數(shù)少1 ，原理完全相同，我就不具體分析了。

　　最后要指出的一點(diǎn)是，上面我們只是論證了，如果我們可以根據(jù)各種顏色帽子的數(shù)量和隊(duì)列中的人數(shù)判斷出在隊(duì)列中至少有一頂某種顏色的帽子，那么一定有一人 可以判斷出自己頭上的帽子的顏色。因?yàn)槿绻�所有身后的人都回�?不知道 的話，那個(gè)從隊(duì)尾數(shù)起第一個(gè)看不見這種顏色的帽子的人就可以判斷自己戴了此顏色的 帽子。但是這并不是說(shuō)在詢問中一定是由他來(lái)回答 知道 的，因?yàn)檫�可能有其他的方法來(lái)判斷自己頭上帽子的顏色。比如說(shuō)在題2)中，如果隊(duì)列如下:(箭頭表 示隊(duì)列中人臉朝的方向)

　　白白黑黑黑黑紅紅紅白

　　那么在隊(duì)尾第一人就立刻可以回答他頭上的是白帽，因?yàn)樗�看見了所有�?頂紅帽子和4頂黑帽子，能留給他自己戴的只能是白帽子了。