小學(xué)數(shù)學(xué)故事：鬼谷子的難題

　　一日，鬼谷子在2--100這99個(gè)數(shù)字中選了2個(gè)數(shù)字，然后把它們的和告訴了龐涓，把積告訴了孫臏。當(dāng)然，龐涓不知道積是多少，孫臏不知道和是多少。第二日，龐涓遇見孫臏很傲慢的對(duì)孫臏說：“雖然我不知道這兩個(gè)數(shù)是多少但是我肯定你也不知道。”孫臏立刻還擊道：“本來我不知道的，但是現(xiàn)在我知道這兩個(gè)數(shù)是多少了。”龐涓想了一會(huì)，說道：“現(xiàn)在我也知道這兩個(gè)數(shù)是多少了。”

　　請(qǐng)問這二個(gè)數(shù)各是多少？

　　1、龐涓能確定孫臏肯定不知道這兩個(gè)數(shù)，可以有這樣幾個(gè)推論。

　　A）龐涓手上的數(shù)字是5-197之間的數(shù)字。

　　B）龐涓的和數(shù)一定不能拆成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，否則就不會(huì)有確信。這可以分解為兩點(diǎn)：龐涓手上不是偶數(shù)，只可能是奇數(shù)，因?yàn)槿我馀紨?shù)能被拆成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，這是由歌德巴赫猜想來保證；龐涓手上的奇數(shù)不是2+質(zhì)數(shù)。舉例：如果龐涓手上是28，根據(jù)歌德巴赫猜想可以拆成11+17，當(dāng)孫臏拿到了181這個(gè)積，馬上就可以猜出鬼谷子給他的兩個(gè)數(shù)是11和17，與龐涓肯定孫臏不知道這兩個(gè)數(shù)相矛盾，因此將所有偶數(shù)排除。舉例：當(dāng)龐涓手上的數(shù)為質(zhì)數(shù)+2時(shí)，例如21，而正好是19+2，那樣孫臏?zhǔn)稚系臄?shù)是38，只有一種分解方法2*19，因此孫臏同樣一開始就能確定這兩個(gè)數(shù)字。

　　C)龐涓的和數(shù)一定不是大于53的奇數(shù)。因?yàn)榇笥?3的奇數(shù)始終能夠拆成偶數(shù)和53（是質(zhì)數(shù)）的乘積，這個(gè)乘積只能唯一的推斷出53和該偶數(shù)的乘積，否則就要大于99了。另外97是質(zhì)數(shù)，同理應(yīng)該排除97+2到97+98的所有奇數(shù)。最后剩下的是99+98的奇數(shù)，因?yàn)槎际亲畲蟮臄?shù)，孫臏本來就可以推理出來，與孫臏本來不知道的前提相矛盾，自然排除了。因此由此可以排除超過53以上的所有奇數(shù)。舉例：如果龐涓手上的數(shù)字是59，那有一種可能是53+6，當(dāng)孫臏拿到318時(shí)也只有一種分解方式是53*6，因?yàn)?06*3和159*2中的106和159都大于了99這個(gè)最大的數(shù)字，因此這與孫臏?zhǔn)孪炔荒芸隙ㄏ嗝�盾。同理可以推理�?95=97+98這中間的所有奇數(shù)都被排除，因?yàn)?7是質(zhì)數(shù)。

　　因此，當(dāng)龐涓手上是53以上的奇數(shù)不會(huì)有這種把握孫臏肯定不知道這兩個(gè)數(shù)。

　　D）這樣的數(shù)字有10個(gè)：11，17，23，27，29，35，37，47，51，53。

　　2、孫臏知道自己手中的積，并說本來不知道，但現(xiàn)在知道了。意味著，孫臏看了自己手上的積后分解因式對(duì)應(yīng)的所有組合的和，只可能是上述10個(gè)數(shù)中的一個(gè)。也就是10個(gè)和數(shù)拆開的乘積不于其他和數(shù)拆開乘積重合的才可能是孫臏的積。這種積有許多種，關(guān)鍵是龐涓的第三句話。

　　3、龐涓是知道自己手中的和數(shù)，當(dāng)孫臏說了這句話的時(shí)候，龐涓說也知道這兩個(gè)數(shù)字了，那龐涓手上的和數(shù)有一個(gè)特點(diǎn)，就是除一個(gè)例外的可能積，其他所有可能的積都包含在其他9個(gè)和數(shù)的可能積中間，否則龐涓沒有這種自信。也就是在10個(gè)和數(shù)中找出積的數(shù)組合中只有唯一一對(duì)數(shù)不出現(xiàn)在其他數(shù)字的積組合中，而所有其他任一數(shù)字的積組合必然有多對(duì)超出另外9個(gè)和數(shù)的積組合。

　　注意2、和3、小點(diǎn)中只有孫臏和龐涓知道自己手中的數(shù)字的時(shí)候才敢講這話，說明是有針對(duì)性的唯一的。仔細(xì)體會(huì)這點(diǎn)。

　　本人排出來是4和13。和數(shù)17，積為52。

　　17可以拆成（2+15），（4+13），（6+11），（8+9），（10+7），（12+5），（14+3）。

　　2*15=6*5，被和為11的包括了；6*11=33*2，被和為35的包括了；8*9=24*3，和為27；10*7=35*2，和為37；12*5=20*3，和為23；14*3=21*2，和為23。惟獨(dú)4*13是不能被另外所有9個(gè)數(shù)組合出來的積所覆蓋。