小學(xué)數(shù)學(xué)故事：徹底解決“四色問題”

　　地圖“四色問題”（又稱“四色猜想”）最早由英國大學(xué)生法蘭西斯？古特里（FrancisGuthrie）于1852年在繪制地圖時(shí)發(fā)現(xiàn)，他卻找不出科學(xué)肯定的證明就去請(qǐng)教他在倫敦大學(xué)讀書的哥哥費(fèi)特里克？古特里（FrederickGuthrie）。兄弟倆搞了好些日子還是證明不了，就由哥哥去向倫敦大學(xué)的老師、當(dāng)時(shí)非常著名的數(shù)學(xué)家奧古斯都？德？摩根（Augustusdemorgan）請(qǐng)教，摩根教授當(dāng)時(shí)也證明不了，就至函他在三一學(xué)院的好友――著名數(shù)學(xué)家威廉？哈密爾頓（WilliamRowanHamilton），希望他能幫助證明�？晒�密爾頓對(duì)這個(gè)問題研究了十三年，到死也沒能給出證明。自從1879年至今全世界不斷有人提出證明了“四色問題”，可是都叫人難以信服，不斷又被別人否定，至今這個(gè)“四色問題”仍與“哥德巴赫猜想”及“費(fèi)馬最后定律”一起被全世界公認(rèn)為數(shù)學(xué)史上最著名的三大難題。

　　本人2004年夏天剛接觸到“拓?fù)鋵W(xué)”，試著用“拓?fù)鋵W(xué)”的方法去分析“四色問題”，只化半小時(shí)左右時(shí)間就證明了“四色問題”。我寫的《關(guān)于“四色問題”的證明》（以下簡(jiǎn)稱《證明》，可在電腦中文搜索欄打入“四色問題”或作者姓名“焦永溢”查看）2004年底在許多數(shù)學(xué)網(wǎng)站上刊登出來后，看了的人很多認(rèn)為非常正確；但也有一部分不明白的人認(rèn)為證明了“相互間有連線的點(diǎn)不多于四個(gè)”并不是證明了“四色問題”，他們認(rèn)為四點(diǎn)相互間有連線只是平面圖上的局部現(xiàn)象，不能代表整個(gè)平面圖，還提出比如中間一個(gè)點(diǎn)周圍五個(gè)點(diǎn)的圖形并沒有四個(gè)點(diǎn)之間相互有連線卻也要四種顏色。可我在這里要再強(qiáng)調(diào)一下：《證明》中三個(gè)定理概括講就是“三點(diǎn)必閉，四點(diǎn)必圍，五點(diǎn)必?cái)?rdquo;，并沒有說一定要四點(diǎn)相互間有連線才需四色，證明“四色問題”關(guān)鍵在于“五色必?cái)?rdquo;。《證明》中分析了第五點(diǎn)E落在封閉圖形ABC以內(nèi)及以外的情況，也提到了第五點(diǎn)若落在連線上必定會(huì)隔斷這條連線，只是沒有把隔斷的情況用圖畫出來，其實(shí)一畫出來也是與另兩種情況一樣：三點(diǎn)包圍一點(diǎn)，另一點(diǎn)又被小的封閉圖形所包圍。下面我再從第五點(diǎn)開始，接著第六點(diǎn)、第七點(diǎn)、第八點(diǎn)……直到無窮多點(diǎn)的情況下證明“四色永遠(yuǎn)足夠”。

　　為了使分析的圖形更直觀明了，可以換一個(gè)角度來看四點(diǎn)相互間有連線的圖形：把封閉圖形放在球面上，各點(diǎn)間距離均勻，拉直各條連線，圖形就成了一個(gè)正三棱錐。圖1就是把ABC面當(dāng)?shù)祝珼點(diǎn)當(dāng)頂點(diǎn)從上向下的俯視圖，若把三棱錐翻一個(gè)面，比如將B點(diǎn)當(dāng)頂點(diǎn)，ACD面就成了底面，所以外面三條線其實(shí)與里面三條線是一樣的，圖形的外面實(shí)際上就是三棱錐的底面，三棱錐的底面與三個(gè)側(cè)面其實(shí)也是一樣的。這樣任何第五點(diǎn)只有放在三個(gè)小三角形（側(cè)面）中間及里面三條連線（棱線）上兩種情況。

　　當(dāng)?shù)谖妩c(diǎn)放在任一小三角形中間，顯而易見這點(diǎn)只能與周圍的三個(gè)點(diǎn)有連線（如圖1中E點(diǎn)），并且又把小三角形分隔成三個(gè)更小的三角形，這樣只要第六點(diǎn)、第七點(diǎn)……一直到任意多點(diǎn)都落在三角形中間，每一點(diǎn)都只能與包圍它的三點(diǎn)有連線，所以無論有多少個(gè)點(diǎn)“四色足夠”。

　　當(dāng)?shù)谖妩c(diǎn)放在中間任一連線（包括以上更小更更小的連線）上時(shí)（如圖2中E點(diǎn)所示），E點(diǎn)成了三角形ABD與三角形ACD公共邊AD中間的點(diǎn)，這樣實(shí)際上形成了ABDE及ACDE兩個(gè)四邊形，而最大平面圖中是不存在多邊形的。若E點(diǎn)與B點(diǎn)有連線，A點(diǎn)與D點(diǎn)從右邊仍有連線，那么E點(diǎn)又變成了三角形ABD中間的點(diǎn)；若E點(diǎn)與C點(diǎn)有連線，A點(diǎn)與D點(diǎn)從左邊有連線，那么E點(diǎn)又變成了三角形ACD中間的點(diǎn)；若E點(diǎn)與B點(diǎn)及C點(diǎn)都有連線，那么A點(diǎn)與D點(diǎn)的連線必被E點(diǎn)隔斷，這就是《證明》中的“五點(diǎn)必?cái)?rdquo;，再看看這時(shí)整個(gè)圖變成了E點(diǎn)被三角形ABC所包圍取代了D點(diǎn)原來的地位，而D點(diǎn)反過來被三角形EBC所包圍。接下來第六點(diǎn)、第七點(diǎn)……一直到任何多點(diǎn)都可落在任何一條公共邊上，最后都會(huì)變成與上面的幾種情況一樣，形成大三角形里面包含小三角形，小三角形包含更小三角形……這樣可以一級(jí)級(jí)的無限延續(xù)下去。

　　所以最后可以肯定地說“任何復(fù)雜的平面圖都是由大小不等的三點(diǎn)包圍一點(diǎn)圖所組成，所以也就只要有四種顏色就足夠能使有連線的點(diǎn)顏色不同。

　　這樣簡(jiǎn)單的證明其實(shí)摩根教授在1860年就已經(jīng)提出來，但馬上又被他自己所否定，他主要是把中間一點(diǎn)周圍五點(diǎn)的圖看成是最大平面圖，沒有把五棱錐底面的五邊形進(jìn)行分割，所以也就看不到所有點(diǎn)都可變成被三點(diǎn)包圍，這一疏略把這么簡(jiǎn)單的“四色問題”變成了千古難題，一百五十多年來肯定有許多人其實(shí)證明了“四色問題”，但都被摩根的這個(gè)否定給否定掉了。否定我的《證明》的人其實(shí)也是與摩根教授一樣的想法。

　　在這里我還要肯定地說：以前有人用“窮舉法”借助電子計(jì)算機(jī)所謂的證明肯定是不完全的，圖形的變化是無窮的，用成千上萬的個(gè)例是根本無法去“窮舉”完無窮數(shù)的。就象“七橋問題”可以用“窮舉法”證明，可是變成“八橋、九橋、十橋……無數(shù)橋的問題”，難道也能用電子計(jì)算機(jī)去一一證明嗎？