數(shù)學(xué)家的故事：不朽的數(shù)學(xué)家李冶

　　1251年，史天澤駐守真定，他興教育，勸農(nóng)桑，廣納賢士。在秋高氣爽的暮色中，一位59歲的儒士在學(xué)子們的簇?fù)硐绿ど狭苏娑�路欒城縣的故土，他就是金元之際最偉大的數(shù)學(xué)家李冶。

　　一

　　李冶家學(xué)深厚，博覽群書，兼修文學(xué)、史學(xué)、數(shù)學(xué)、經(jīng)學(xué)。時(shí)人稱贊他“經(jīng)為通儒，文為名家”。

　　李冶(1192～1279)，字仁卿，號(hào)敬齋，元代真定路欒城縣(今石家莊市欒城區(qū))人。他出生的年代，正是金朝由盛而衰的歷史時(shí)期。李冶父親李?是位博學(xué)多才的學(xué)者，在大興府尹胡沙虎手下任推官，母親姓王。

　　泰和八年(1208年)，蒙古成吉思汗的軍隊(duì)開始向金朝進(jìn)攻。李?的上司胡沙虎是金朝臭名昭著的大權(quán)奸，“聲勢炎炎，人莫敢仰視”，動(dòng)輒打罵同僚，甚至“虐殺不辜”。李?常據(jù)理力爭，置個(gè)人生死禍福于度外。但行走于虎狼之室，不得不小心。他為防不測，把妻兒送回故鄉(xiāng)欒城。少年李冶，就到欒城鄰縣元氏封龍書院求學(xué)。

　　至寧元年(1213年)胡沙虎篡權(quán)亂政，李?被迫辭職，隱居陽翟(今河南禹縣)，從此不再過問政事。吟詩作畫，頗有名聲。父親的正直為人及好學(xué)精神對(duì)李冶深有影響。

　　李冶兒時(shí)本名李治，為什么改名李冶?后世有兩種解讀。一說李冶成年后熟讀史書，感慨唐高宗李治助長武則天專權(quán)，導(dǎo)致大唐淪為武周，恥與李治同名，故改名李冶。一說金朝曾推崇儒學(xué)，禁止平民和古代帝王同名，李冶就把李治減去一點(diǎn)，改名叫李冶。

　　李冶自幼聰敏，博覽群書，興趣廣泛，對(duì)文學(xué)、史學(xué)、數(shù)學(xué)、經(jīng)學(xué)都很感興趣�！对�朝名臣事略》中說：“公(指李冶)幼讀書，手不釋卷，性穎悟，有成人之風(fēng)。”李冶常說：“積財(cái)千萬，不如薄技在身。”又說：“金璧雖重寶，費(fèi)用難貯儲(chǔ)。學(xué)問藏之身，身在則有余。”他年輕時(shí)曾與好友元好問一起外出求學(xué)，拜文學(xué)家趙秉文、楊文獻(xiàn)為師。

　　正大七年(1230年)，李冶赴洛陽應(yīng)試，被錄取為詞賦科進(jìn)士，一舉成名，時(shí)人稱贊他“經(jīng)為通儒，文為名家”。

　　二

　　國破家亡的命運(yùn)，使李冶決絕了仕途，潛心研究學(xué)問。

　　李冶得中進(jìn)士，本是走向成功的標(biāo)志，同年踏進(jìn)仕途，被授予高陵(今陜西高陵)主簿，但此時(shí)金王朝已日薄西山，而崛起于草原的蒙古汗國已日漸強(qiáng)大，成吉思汗之子窩闊臺(tái)即位后，出兵攻入陜西，李冶任職屬地被蒙古軍隊(duì)占領(lǐng)，所以，他被調(diào)往鈞州(今河南禹縣)任知事。公元1232年正月,蒙古軍繞過軍事重鎮(zhèn)潼關(guān)(今陜西潼關(guān)縣北),東下汴京(今河南開封)，在三峰山大戰(zhàn)，金軍大敗，不幾日，蒙古軍攻破鈞州城，李冶不愿投降，就換上平民服裝，北渡黃河進(jìn)入山西，這是他一生的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)。仕途的悲涼，國土的淪喪，使得李冶從此走上了流亡之路。

　　李冶輾轉(zhuǎn)到了山西的忻縣、崞縣(今山西寧武、原平)之間，過著“饑寒不能自存”的生活。

　　公元1234年正月，金哀宗完顏守緒傳位于完顏承麟后自縊而死。末帝完顏承麟也被亂兵所害，金朝滅亡。

　　國破家亡的命運(yùn)，使李冶決絕了仕途，只能潛心研究學(xué)問。年過四十歲的李冶經(jīng)過顛沛流離后，定居崞縣桐川。他雖生活艱苦，但有充足的時(shí)間研究學(xué)問。漫漫人生路，何處是歸途?李冶就在各種學(xué)問中充實(shí)自己，涉及數(shù)學(xué)、文學(xué)、歷史、天文、哲學(xué)、醫(yī)學(xué)等。李冶不僅有先進(jìn)的哲學(xué)思想，而且在極為艱苦的條件下堅(jiān)持做學(xué)問。他在桐川的居室十分狹小，常常不得溫飽，要為衣食奔波。但他卻以著書為樂，潛心學(xué)問。他的學(xué)生焦養(yǎng)直說他“雖饑寒不能自存，亦不恤也”，在“流離頓挫”中“亦未嘗一日廢其業(yè)”，“手不停披，口不絕誦，如是者幾五十年”。

　　同時(shí)代的學(xué)者硯堅(jiān)評(píng)價(jià)李冶，只要目睹世間之書，無不熟讀，從不遺漏。

　　三

　　數(shù)學(xué)雖被古人排在六藝之末，但李冶認(rèn)為，數(shù)學(xué)是最有用的學(xué)問，于是他致力于數(shù)學(xué)研究。

　　1248年，李冶寫成了中國古代數(shù)學(xué)名著《測圓海鏡》，這是中國古代代數(shù)學(xué)具有劃時(shí)代意義的著作，是用“立天元一為某某”(即當(dāng)代數(shù)學(xué)設(shè)x為某某)解析高次方程的數(shù)學(xué)專著。后世學(xué)者們研究認(rèn)為，李冶這部代數(shù)學(xué)著作，比歐洲代數(shù)高次方程理論要早300多年，是13世紀(jì)世界最先進(jìn)的代數(shù)學(xué)理論專著。

　　金元之際，正是天元術(shù)啟蒙的時(shí)代。天元術(shù)是用數(shù)學(xué)符號(hào)列方程的方法。中國列方程的思想可追溯到東漢的《九章算術(shù)》。其中第8章《方程》，用文字?jǐn)⑹龇椒ń�立二次方程，但沒有明確的未知數(shù)。唐代王孝通《緝古算術(shù)》已能列出三次方程，但完全用幾何方法推導(dǎo)方程，難度很大，不易被一般人掌握。

　　宋代以前的方程理論一直受幾何思維束縛，方程次數(shù)不高于三次，高于三次方程就難以用幾何解析了。宋仁宗時(shí)任左班殿直賈憲寫成《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》9卷、《算法?鹿偶??卷，改進(jìn)了傳統(tǒng)開方法，創(chuàng)造了開方作法本源和增乘開方法，對(duì)古代數(shù)學(xué)理論做出了杰出貢獻(xiàn)。在歐洲，法國數(shù)學(xué)家帕斯卡在17世紀(jì)初創(chuàng)造了類似的代數(shù)學(xué)，但是比賈憲晚了600年左右。

　　李冶治學(xué)，不泥古，不唯書，既善于借鑒前人的成就，又勤于思考。有人問學(xué)于李冶，李冶回答：“學(xué)有三：積之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深。”堅(jiān)持去其糟粕，取其精華，善于發(fā)現(xiàn)，勤于思考。

　　由于李冶擺脫了幾何思維的束縛，在方程解析方面取得了突破，他利用天元術(shù)熟練地列出六次方程，并完整解決了分式方程問題，用純代數(shù)方法降低方程次數(shù)，他還發(fā)明了負(fù)號(hào)和一套相當(dāng)簡明的小數(shù)記法。在國外，直到16世紀(jì)末，小數(shù)才有了更好的記法。由于李冶掌握了一套完整的數(shù)字符號(hào)及性質(zhì)符號(hào)，他的方程已能用符號(hào)表示，改變了用文字描述方程的舊面貌，可稱為“半符號(hào)代數(shù)”。大約300年后，類似的半符號(hào)代數(shù)才在歐洲產(chǎn)生。

　　李冶的《測圓海鏡》共12卷，收入170多個(gè)問題，都是已知直角三角形中各線段、利用天元術(shù)求內(nèi)切圓和旁切圓的直徑問題。第一卷開頭，李冶列出了一幅“圓城圖式”，提出了170個(gè)與“圓城圖式”有關(guān)的問題，根據(jù)已知條件，分別計(jì)算出15個(gè)直角三角形各邊之長，繪出各三角形的容圓公式，計(jì)算出勾股和、勾股差，然后計(jì)算出勾弦和、勾弦差等。其中19題列出三次方程，13題列出四次方程，還有些題列出六次方程，還成功地用代數(shù)方法降低方程次數(shù)。《測圓海鏡》的成書標(biāo)志著天元術(shù)的成熟，李冶也正是因其在天元術(shù)方面的貢獻(xiàn)，被后人譽(yù)為“宋元數(shù)學(xué)四大家”。

　　元代數(shù)學(xué)家朱世杰說：“以天元演之，明源活法，省功數(shù)倍。”清代阮元說：“立天元者，自古算家之秘術(shù);而《海鏡》者，中土數(shù)學(xué)之寶書也。”

　　四

　　李冶既是一代鴻儒，又有實(shí)用數(shù)學(xué)的杰出成就。他曾在封龍書院講學(xué)，學(xué)子紛至沓來，以聆聽李冶教誨為樂事。

　　李冶寫成《測圓海鏡》后，到太原住了一個(gè)時(shí)期，藩府的官員曾請(qǐng)他出仕為官，他堅(jiān)決謝絕了。后來，他到了山西平定，在那里，李冶與一代詞人元好問受到當(dāng)?shù)厝说木囱觥Ｆ蕉ê盥?也很尊重李冶和元好問，他經(jīng)常把他們接到自己府邸做客。時(shí)人常常將二人并稱“元李”。至元二年(1265年)，平定州創(chuàng)建“四賢堂”，以祭祀金元時(shí)期文壇領(lǐng)袖，“四賢”就是指楊云翼、趙秉文、元好問和李冶，可見李冶在當(dāng)時(shí)名聲之高、影響之大。