(二)、主要研究成果

　　楊輝的數(shù)學研究與數(shù)學教育工作之重點在于改進籌算乘除計算技術(shù)，總結(jié)各種乘除捷算法，這是由當時的社會狀況決定的。唐代中期以后，社會經(jīng)濟得到較大發(fā)展，手工業(yè)和商業(yè)交易都具有相當?shù)囊?guī)模，因而，人們在生產(chǎn)、生活中需要數(shù)學計算的機會，較前大大增加，這種情況迫切要求數(shù)學家們?yōu)槿藗兲峁┍阌谡莆�、快捷準確的計算方法。為適應(yīng)社會對數(shù)學的這種需求，中晚唐時期出現(xiàn)了一些實用的算術(shù)書籍。但是，這些書籍除了《韓延算術(shù)》，被宋人誤認為《夏侯陽算經(jīng)》而刊刻流傳到現(xiàn)在外，都已失傳。《韓延算術(shù)》大約編寫于公元770年前后，書中介紹了很多乘除捷法的例子。比如，某數(shù)乘以42可以化為某數(shù)乘以6，再乘以7；某數(shù)除以12可以化為某數(shù)除以2，再除以6。對于更復雜的問題可同樣處理。通過將乘數(shù)、除數(shù)分解為一位數(shù)，可以使運算在一行內(nèi)實現(xiàn)，簡化了運算，提高了速度。韓延還介紹了其他一些簡捷算法。比如“身外添加四”、“隔位加二”。北京科學家沈括也總結(jié)了增成、重因等捷算法。

　　楊輝生活在南宋商業(yè)發(fā)達的蘇杭一帶，進一步發(fā)展了乘除捷算法。他說：“乘除者本鉤深致遠之法�！吨改纤惴ā芬�‘加減’、‘九歸’、‘求一’旁求捷徑，學者豈容不曉，宜兼而用之。”在前人的基礎(chǔ)上，他提出了“相乘六法”：一曰“單因”，即乘數(shù)為一位數(shù)的乘法；二曰“重因“，即乘數(shù)可分解為兩個一位數(shù)的乘積的乘法；三曰“身前因”，即乘數(shù)末位為一的兩位數(shù)乘法，比如257×21＝257×20十257，實際上，身前因就是通過乘法分配律將多位數(shù)乘法化為一位數(shù)乘法和加法來完成。四曰相乘，即通常的乘法；五曰“重乘”，就是乘數(shù)可分解為兩因數(shù)的積，作兩次相乘；六曰“損乘”，是一種以減代乘法，比如，當乘數(shù)為9、8、7時，可以10倍被乘數(shù)中，減去被乘數(shù)的—、二、三倍。楊輝還進一步發(fā)展了唐宋相傳的求一算法，總結(jié)出了“乘算加法五術(shù)”、“除算減法四術(shù)”。求一實際上就是通過倍、折、因?qū)⒊顺龜?shù)首位化為一，從而用加減代乘除。楊輝的“乘算加算加法五術(shù)”，即“加一位”、“加二位”、“重加”、“加隔位”、“連身加”。乘數(shù)為11至19的，用加一位；乘數(shù)為l0l至199的，用加二位法；乘數(shù)可分為兩因數(shù)的積，且可用加一或加二時，稱為重加；乘數(shù)為101至l09時，用隔位加；乘數(shù)為21至29、20l至299時，用連身加。例如，342×56的計算，用現(xiàn)代符號寫出，便是：342×56＝342×112十2＝(34200十342×l2)十2＝(34200十3420十342×2)十2。其“除算減法四木”即“減一位”、“減二位”、“重減”、“減隔位”，用法與乘算加法類似。

　　北宋初年出現(xiàn)的一種除法——增成法，在楊輝那里得到進一步的完善。增成法的優(yōu)點在于用加倍補數(shù)的辦法避免了試商，但對于位數(shù)較多的被除數(shù)，運算比較繁復，后人改進了它，總結(jié)出了“九歸古括”，包含44句口訣。楊輝在其《乘除通變算寶》中引《九歸新括》口訣32句，分為“歸數(shù)求成十”、“歸數(shù)自上加”，“半而為五計”三類。

　　客觀上講，楊輝不遺余力改進計算技術(shù)，大大加快了運算工具改革的步伐。隨著籌算歌訣的盛行，運算速度大大加快，以至人們感覺到擺弄算籌跟不上口訣。在這樣的背景下，算盤便應(yīng)運而生了，及至元末，已經(jīng)廣為流行。

　　縱橫圖，即所謂的幻方。早在漢鄭玄《易緯注》及《數(shù)術(shù)記遺》都記載有“九宮”即三階幻方，千百年來一直被人披上神秘的色彩。楊輝創(chuàng)“縱橫圖”之名。在所著《續(xù)古摘奇算法》上卷作出了多種多樣的圖形。圖ll是四階縱橫圖；圖12是百子圖，即十階縱橫圖。其每行每列數(shù)之和為50—5(對角線數(shù)字之和不是505)；圖13是“聚八”圖，楊輝按“二十四子作三十二子用”設(shè)子的這種幻方共有四圈，每圈數(shù)字之和為100；圖14是“攢九”圖，用前33個自然數(shù)排列，達到“斜直周圍各一百四十七”的效果。楊輝不僅給出了這些圖的編造方法，而且對一些圖的一般構(gòu)造規(guī)律有所認識，打破了幻方的神秘性。這是世界上對幻方最早的系統(tǒng)研究和記錄。自楊輝以后，明清兩代中算家關(guān)于縱橫圖的研究相繼不斷。

　　楊輝的另一重要成果是垛積術(shù)。這是楊輝繼沈括“隙積術(shù)”之后，關(guān)于高階等差級數(shù)求和的研究。在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中記敘了若干二階等差級數(shù)求和公式，其中除有一個即沈括的當童垛外，還有三角垛、四隅垛、方垛三式，用現(xiàn)今的記號表示就相當于下面三式：

　　上述三式可由沈括之芻童公式推出。

　　對數(shù)學重新分類也是楊輝的重要數(shù)學工作之一。楊輝在詳解《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上，專門增加了一卷“纂類”，將《九章》的方法和246個問題按其方法的性質(zhì)重新分為乘除、分率、合率、互換、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。

　　楊輝不僅是一位著述甚豐的數(shù)學家，而且還是一位杰出的數(shù)學教育家。他一生致力于數(shù)學教育和數(shù)學普及，其著述有很多是為了數(shù)學教育和普及而寫�！端惴ㄍㄗ儽灸�》中載有楊輝專門為初學者制訂的“習算綱目”，它集中體現(xiàn)了楊輝的數(shù)學教育思想和方法。