小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題講解及訓(xùn)練(七)
主要內(nèi)容
正比例和反比例
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、使學(xué)生結(jié)合實(shí)際情境認(rèn)識成正比例和反比例的量，能根據(jù)正、反比例的意義判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例或反比例。
2、使學(xué)生初步認(rèn)識正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫出相應(yīng)的直線，能根據(jù)具有正比例關(guān)系的一個量的數(shù)值看圖估計(jì)另一個量的數(shù)值。
3、使學(xué)生在認(rèn)識成正比例、反比例的量的過程中，初步體會數(shù)量之間相依互變的關(guān)系，感受有效表示數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的不同數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步提升思維水平。
4、使學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系，增強(qiáng)探索數(shù)學(xué)知識和規(guī)律的意識，養(yǎng)成積極主動地參與學(xué)習(xí)活動的習(xí)慣，提高學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。
考點(diǎn)分析
1、兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值(也就是商)一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們之間的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。
如果用字母x和y分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用這樣的式子來表示：
= K(一定)。
2、用“描點(diǎn)法”可以得到正比例的圖像，正比例的圖像是一條直線。對照圖像，能根據(jù)一種量的值，估計(jì)另一種量相對應(yīng)的值。
3、兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們之間的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。
如果用字母x和y分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的積，反比例關(guān)系可以用這樣的式子來表示：xy = K(一定)。
4、兩個變量的比值一定，這兩個變量成正比例;兩個變量的積一定，這兩個變量成反比例;沒有上述兩種關(guān)系，這兩個變量不成比例。
典型例題
例1、(正比例的意義)一列火車行駛的時間和路程如下表。這兩種量有什么關(guān)系?
分析與解：
(1)從上表可以看出，表中有時間和路程兩種量。
(2)從左往右看，時間擴(kuò)大，路程也擴(kuò)大;從右往左看，時間縮小，路程也縮小。所以它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量。
(3)路程和時間的比值始終不變，
……這個比值就是火車的行駛速度。
通過觀察和計(jì)算，我們對路程和時間的關(guān)系有兩點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：第一點(diǎn)路程和時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，也就是時間變化，路程也隨著變化;第二點(diǎn)路程和對應(yīng)的時間的比的比值(也就是速度)是一定的，有這樣的關(guān)系：
具備了這兩個條件，我們就可以得到結(jié)論：行駛的路程和時間成正比例關(guān)系;行駛的路程和時間成正比例的量。
點(diǎn)評：判斷兩種量是不是成正比例，分三步：一看它們是不是相關(guān)聯(lián)的兩種量;二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化;滿足了前面兩個條件，再看它們的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母x和y分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用這樣的式子來表示：
例2、(判斷是否成正比例)
練習(xí)本的單價一定，買練習(xí)本的數(shù)量和總價是不是成正比例?為什么?
分析與解：根據(jù)正比例的意義，看兩個變量的比值是否一定，如果兩個變量的比值一定，那么這兩個變量就成正比例，反之，則不成正比例。
買練習(xí)本的數(shù)量和總價是兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們與練習(xí)本的單價有下面的關(guān)系：
所以練習(xí)本的數(shù)量和總價成正比例。
例3、(正比例的圖像)磁懸浮列車勻速行駛時，路程與時間的關(guān)系如下。
(1)圖中的點(diǎn)A表示時間為1分鐘時，磁懸浮列車駛過的路程為7千米。請你試著描出其他各點(diǎn)。
(2)連接各點(diǎn)，它們在一條直線上嗎?
(3)根據(jù)圖像判斷，列車運(yùn)行2分半鐘時，行駛的路程是多少千米?行駛30千米大約需要幾分鐘?
分析與解：根據(jù)提供的各組數(shù)據(jù)描出圖像的許多個點(diǎn)，再依次連成直線。路程和時間相對應(yīng)的數(shù)的比值都是7，即速度一定，路程和時間成正比例，圖像是一條直線。對照圖像，可以根據(jù)時間的值估計(jì)出路程的值，也可以根據(jù)路程的值估計(jì)出時間的值，估計(jì)時允許有一定的出入。
(1)描點(diǎn)、連線如圖。
(2)在一條直線上，因?yàn)槁烦毯蜁r間成正比例，正比例的圖像是一條直線。
(3)根據(jù)圖像，列車運(yùn)行2分半鐘時，行駛的路程是17.5千米;行駛30千米大約需要4.3分鐘。
例4、(辨析)圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑成正比例?
分析與解：圓的周長和直徑成正比例，而圓的面積和半徑卻不成正比例。
可列表判斷。
圓的周長和直徑的相對應(yīng)的數(shù)的比值都是3.14，所以圓的周長和直徑成正比例。而圓的面積和半徑的相對應(yīng)的數(shù)的比值是變化的，所以圓的面積和半徑不成正比例。
圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑卻不成正比例。
例5、(反比例的意義)
下表是王師傅加工一批零件時，每小時加工零件個數(shù)隨時間變化的情況。這兩種量有什么關(guān)系?
分析與解：
(1)從上表可以看出，表中有每小時加工零件的個數(shù)和加工的時間兩種量。
(2)從左往右看，每小時加工零件的個數(shù)擴(kuò)大，加工的時間反而縮小;從右往左看，每小時加工零件的個數(shù)縮小，加工的時間反而擴(kuò)大。所以它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量。
(3)每小時加工零件的個數(shù)和相對應(yīng)的加工的時間的積都始終不變，如20 × 12 = 240，30 × 8 = 240，40 × 6 = 240……而這個積就是這批零件的總個數(shù)。
通過觀察和計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)：每小時加工零件的個數(shù)和加工的時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，每小時加工零件的個數(shù)隨著加工的時間變化而變化，但無論它們怎么變化，相對應(yīng)的積是一定的，有這樣的關(guān)系：每小時加工零件的個數(shù) × 加工的時間 = 零件的總個數(shù)(一定)。
所以每小時加工零件的個數(shù)和加工的時間成反比例的量，它們之間的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。
點(diǎn)評：判斷兩種量是不是成反比例，和正比例一樣，分三步：一看它們是不是相關(guān)聯(lián)的兩種量;二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化;滿足了前面兩個條件，再看它們的乘積是否一定，進(jìn)行判斷。不要省去任何一步。如果用字母x和y分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用這樣的式子來表示：xy = K(一定)。
