三、余數(shù)
在整數(shù)除法運(yùn)算中，除了前面說過的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就產(chǎn)生了余數(shù).通常的表示是：
65÷3＝21…… 2， 38÷5＝7…… 3.
上面兩個(gè)算式中2和3就是余數(shù)，寫成文字是
被除數(shù)÷除數(shù)=商……余數(shù).
上面兩個(gè)算式可以寫成
65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.
也就是
被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù).
通常把這一算式稱為帶余除式，它使我們?nèi)菀讖?ldquo;余數(shù)”出發(fā)去考慮問題，這正是某些整數(shù)問題所需要的.
特別要提請(qǐng)注意：在帶余除式中，余數(shù)總是比除數(shù)小，這一事實(shí)，解題時(shí)常作為依據(jù).
例17 5397被一個(gè)質(zhì)數(shù)除，所得余數(shù)是15.求這個(gè)質(zhì)數(shù).
解：這個(gè)質(zhì)數(shù)能整除
5397-15＝5382，
而 5382＝2×31997×13×23.
因?yàn)槌龜?shù)要比余數(shù)15大，除數(shù)又是質(zhì)數(shù)，所以它只能是23.
當(dāng)被除數(shù)較大時(shí)，求余數(shù)的一個(gè)簡便方法是從被除數(shù)中逐次去掉除數(shù)的整數(shù)倍，從而得到余數(shù).
例18 求645763除以7的余數(shù).
解：可以先去掉7的倍數(shù)630000余15763，再去掉14000還余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余數(shù)是6.這個(gè)過程可簡單地記成
645763→15763→1763→363→13→6.
如果你演算能力強(qiáng)，上面過程可以更簡單地寫成：
645763→15000→1000→6.
帶余除法可以得出下面很有用的結(jié)論：
如果兩個(gè)數(shù)被同一個(gè)除數(shù)除余數(shù)相同，那么這兩個(gè)數(shù)之差就能被那個(gè)除數(shù)整除.
例19 有一個(gè)大于1的整數(shù)，它除967，1000，2001得到相同的余數(shù)，那么這個(gè)整數(shù)是多少？
解：由上面的結(jié)論，所求整數(shù)應(yīng)能整除 967，1000，2001的兩兩之差，即
1000-967＝33＝3×11，
2001-1000＝1001＝7×11×13，
2001-967＝1034＝2×11×47.
這個(gè)整數(shù)是這三個(gè)差的公約數(shù)11.
請(qǐng)注意，我們不必求出三個(gè)差，只要求出其中兩個(gè)就夠了.因?yàn)榱硪粋�(gè)差總可以由這兩個(gè)差得到.
例如，求出差1000-967與2001-1000，
那么差
2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）
�。�1001＋33
＝1034.
從帶余除式，還可以得出下面結(jié)論：
甲、乙兩數(shù)，如果被同一除數(shù)來除，得到兩個(gè)余數(shù)，那么甲、乙兩數(shù)之和被這個(gè)除數(shù)除，它的余數(shù)就是兩個(gè)余數(shù)之和被這個(gè)除數(shù)除所得的余數(shù).
例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余數(shù)是5＋9＝14被13除的余數(shù)1.
