競(jìng)賽專題選講囊括了希望杯、華羅庚金杯、走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園、EMC、全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽和數(shù)學(xué)解題能力展示等在內(nèi)的國(guó)內(nèi)主要數(shù)學(xué)競(jìng) 賽的精華試題

　　[專題介紹] 把4只蘋(píng)果放到3個(gè)抽屜里去，共有4種放法（請(qǐng)小朋友們自己列舉），不論如何放，必有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋(píng)果。

　　同樣，把5只蘋(píng)果放到4個(gè)抽屜里去，必有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋(píng)果。

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　　更進(jìn)一步，我們能夠得出這樣的結(jié)論：把n＋1只蘋(píng)果放到n個(gè)抽屜里去，那么必定有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋(píng)果。這個(gè)結(jié)論，通常被稱為抽屜原理。

　　利用抽屜原理，可以說(shuō)明（證明）許多有趣的現(xiàn)象或結(jié)論。不過(guò)，抽屜原理不是拿來(lái)就能用的，關(guān)鍵是要應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去尋找“抽屜”，制造“抽屜”， 弄清應(yīng)當(dāng)把什么看作“抽屜”，把什么看作“蘋(píng)果”。

　　[經(jīng)典例題]

　　【例1】一個(gè)小組共有13名同學(xué)，其中至少有2名同學(xué)同一個(gè)月過(guò)生日。為什么？

　　【分析】每年里共有12個(gè)月，任何一個(gè)人的生日，一定在其中的某一個(gè)月。如果把這12個(gè)月看成12個(gè)“抽屜”， 把13名同學(xué)的生日看成13只“蘋(píng)果”，把 13只蘋(píng)果放進(jìn)12個(gè)抽屜里，一定有一個(gè)抽屜里至少放2個(gè)蘋(píng)果，也就是說(shuō)，至少有2名同學(xué)在同一個(gè)月過(guò)生日。

　　【例 2】任意4個(gè)自然數(shù)，其中至少有兩個(gè)數(shù)的差是3的倍數(shù)。這是為什么？

　　【分析與解】首先我們要弄清這樣一條規(guī)律：如果兩個(gè)自然數(shù)除以3的余數(shù)相同，那么這兩個(gè)自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。 而任何一個(gè)自然數(shù)被3除的余數(shù)，或者是0，或者是1，或者是2，根據(jù)這三種情況，可以把自然數(shù)分成3類，這3種類型就是我們要制造的3個(gè)“抽屜”。我們把 4個(gè)數(shù)看作“蘋(píng)果”，根據(jù)抽屜原理，必定有一個(gè)抽屜里至少有2個(gè)數(shù)。換句話說(shuō)，4個(gè)自然數(shù)分成3類，至少有兩個(gè)是同一類。既然是同一類，那么這兩個(gè)數(shù)被3 除的余數(shù)就一定相同。所以，任意4個(gè)自然數(shù)，至少有2個(gè)自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。

　　想一想，例2中4改為7，3改為6，結(jié)論成立嗎？

　　【例3】有規(guī)格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內(nèi)，試問(wèn)不論如何取，從箱中至少取出多少只就能保證有 3雙襪子（襪子無(wú)左、右之分）？

　　【分析與解】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪子嗎？回答是否定的。

　　按5種顏色制作5個(gè)抽屜，根據(jù)抽屜原理1，只要取出6只襪子就總有一只抽屜里裝2只，這2只就可配成一雙。拿走這一雙，尚剩4只，如果再補(bǔ)進(jìn)2只又成 6 只，再根據(jù)抽屜原理1，又可配成一雙拿走。如果再補(bǔ)進(jìn)2只，又可取得第3雙。所以，至少要取6＋2＋2=10只襪子，就一定會(huì)配成3雙。

　　思考：1.能用抽屜原理2，直接得到結(jié)果嗎？

　　2.把題中的要求改為3雙不同色襪子，至少應(yīng)取出多少只？

　　3.把題中的要求改為3雙同色襪子，又如何？

　　【例4】一個(gè)布袋中有35個(gè)同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有10個(gè)，另外還有3個(gè)藍(lán)色球、2個(gè)綠 色球，試問(wèn)一次至少取出多少個(gè)球，才能保證取出的球中至少有4個(gè)是同一顏色的球？

　　【分析與解】從最“不利”的取出情況入手。

　　最不利的情況是首先取出的5個(gè)球中，有3個(gè)是藍(lán)色球、2個(gè)綠色球。

　　接下來(lái)，把白、黃、紅三色看作三個(gè)抽屜，由于這三種顏色球相等均超過(guò)4個(gè)，所以，根據(jù)抽屜原理2，只要取出的球數(shù)多于（4-1）×3=9個(gè)，即至少應(yīng) 取出 10個(gè)球，就可以保證取出的球至少有4個(gè)是同一抽屜（同一顏色）里的球。

　　故總共至少應(yīng)取出10＋5=15個(gè)球，才能符合要求。

　　思考：把題中要求改為4個(gè)不同色，或者是兩兩同色，情形又如何？

　　當(dāng)我們遇到“判別具有某種事物的性質(zhì)有沒(méi)有，至少有幾個(gè)”這樣的問(wèn)題時(shí)，想到它——抽屜原理，這是你的一條“決勝”之路。

　　提示

　　抽屜原理還可以反過(guò)來(lái)理解：假如把n＋1個(gè)蘋(píng)果放到n個(gè)抽屜里，放2個(gè)或2個(gè)以上蘋(píng)果的抽屜一個(gè)也沒(méi)有（與“必有一個(gè)抽屜放2個(gè)或2個(gè)以上的蘋(píng)果”相 反），那么，每個(gè)抽屜最多只放1個(gè)蘋(píng)果，n個(gè)抽屜最多有n個(gè)蘋(píng)果，與“n+1個(gè)蘋(píng)果”的條件矛盾。

　　運(yùn)用抽屜原理的關(guān)鍵是“制造抽屜”。通常，可采用把n個(gè)“蘋(píng)果”進(jìn)行合理分類的方法來(lái)制造抽屜。比如，若干個(gè)同學(xué)可按出生的月份不同分為12類，自然 數(shù)可按被3除所得余數(shù)分為3類等等。