六年級(jí)奧數(shù)及答案：同余問(wèn)題
1、求437×309×1993被7除的余數(shù)。
思路分析：如果將437×309×1993算出以后，再除以7，從而引得到，即437×309×1993=269120769，此數(shù)被7除的余數(shù)為1。但是能否尋找更為簡(jiǎn)變的辦法呢？
437≡3（mod7）
309≡1（mod7）
由“同余的可乘性”知：
437×309≡3×1（mod7）≡3（mod7）
又因?yàn)?993≡5（mod7）
所以：437×309×1993≡3×5（mod7）
≡15（mod7）≡1（mod7）
即：437×309×1993被7除余1。
2、70個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外，每個(gè)數(shù)的三倍恰好等于它兩邊兩個(gè)數(shù)的和，這一行最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，……，問(wèn)這一行數(shù)最右邊的一個(gè)數(shù)被6除的余數(shù)是幾？
思路分析：如果將這70個(gè)數(shù)一一列出，得到第70個(gè)數(shù)后，再用它去除以6得余數(shù)，總是可以的，但計(jì)算量太大。
即然這70個(gè)數(shù)中：中間的一個(gè)數(shù)的3倍是它兩邊的數(shù)的和，那么它們被6除以后的余數(shù)是否有類(lèi)似的規(guī)律呢？
0，1，3，8，21，55，144，……被6除的余數(shù)依次是
0，1，3，2，3，1，0，……
結(jié)果余數(shù)有類(lèi)似的規(guī)律，繼續(xù)觀察，可以得到：
0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，……
可以看出余數(shù)前12個(gè)數(shù)一段，將重復(fù)出現(xiàn)。
70÷2=5……10，第六段的第十個(gè)數(shù)為4，這便是原來(lái)數(shù)中第70個(gè)數(shù)被6除的余數(shù)。
思路分析：我們被直接用除法算式，結(jié)果如何。
3、分別求滿(mǎn)足下列條件的最小自然數(shù)：
（1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。
�。�2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。
�。�3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。
�。�4）用3除余2，用7除余4，用11除余1。
思路分析：
�。�1）該數(shù)減去1以后，是3，5和7的最小公倍數(shù)105，所以該數(shù)的是105+1=106
�。�2）該數(shù)減去1以后是5和7的公倍數(shù)。因此我們可以以5和7的公倍數(shù)中去尋找答案。下面列舉一些同時(shí)被5除余1，被7除余1的數(shù)，即
1，36，71，106，141，176，211，246，……從以上數(shù)中尋找最小的被3除余2的數(shù)。
36≡0（mod3），71≡2（mod3），符合條件的最小的數(shù)是71。
（3）我們首先列舉出被5除余2，被7除余2的數(shù)，2，37，72，107，142，177，212，247，……
從以上數(shù)中尋找最小的被3除余1的數(shù)。
2（mod3），37≡（mod3）、因此符合條件的最小的數(shù)是37。
�。�4）我們從被11除余1的數(shù)中尋找答案。
1，12，23，34，45，56，67，78，89，100，133，144，155，166，177，188，199，210，232，243，……
1（mod3）； 1（mod7）， 不符合
12≡0（mod3）， 12≡5（mod7） 不符合
23≡2（mod3）， 23≡2（mod7） 不符合
34≡1（mod3）， 34≡6（mod7） 不符合
45≡0（mod3）， 45≡3（mod7） 不符合
56≡2（mod3）， 56≡0（mod7） 不符合
67≡1（mod3）， 67≡4（mod7） 不符合
78≡0（mod3）， 78≡1（mod7） 不符合
89≡2（mod3）， 89≡5（mod7） 不符合
100≡1（mod3）， 100≡2（mod7） 不符合
122≡2（mod3）， 122≡3（mod7） 不符合
133≡1（mod3）， 133≡0（mod7） 不符合
144≡1（mod3）， 144≡4（mod7） 不符合
155≡2（mod3），155≡1（mod7） 不符合
166≡1（mod3），166≡5（mod7） 不符合
177≡0（mod3），177≡2（mod7） 不符合
188≡2（mod3），188≡6（mod7） 不符合
199≡1（mod3），199≡3（mod7） 不符合
210≡0（mod3），210≡0（mod7） 不符合
221≡2（mod3），221≡4（mod7） 符合
因此符合條件的數(shù)是221。
4、判斷以下計(jì)算是否正確
�。�1）42784×3968267=1697598942346
�。�2）42784×3968267=1697598981248
思路分析：若直接將右邊算出，就可判斷
41784×3968267=169778335328，可知以上兩結(jié)果均是錯(cuò)的；但是計(jì)算量太大。
如果右式和左式相等，則它們除以某一個(gè)數(shù)余數(shù)一定相同。因?yàn)榍笠粋�(gè)數(shù)除以9的余數(shù)只需要先求這個(gè)數(shù)數(shù)字之和除以9的余數(shù)，便是原數(shù)除以9的余數(shù)。我考慮上式除以9的余數(shù)，如果余數(shù)不相同，則上式一定不成立。
�。�1）從個(gè)位數(shù)字可知，右式的個(gè)位數(shù)字只能是8，而右式個(gè)位為6，因此上式不成立。
�。�2）右式和左式的個(gè)位數(shù)字相同，因而無(wú)法斷定上式是否成立，但是
4+2+7+8+4=25， 25≡7（mod9）
3+9+6+8+2+6+7=41，41≡5（mod9）
42784≡7（mod9）；3968267≡5（mod9）
42784×3968267≡35（mod9）
≡8（mod9）
（1+6+9+7+5+9+8+9+4+2+3+4+8）≡3（mod9）
因此（2）式不成立
以上是用“除9取余數(shù)”來(lái)驗(yàn)證結(jié)果是否正確，常被稱(chēng)為“棄九法”。
不過(guò)應(yīng)該注意，用棄九法可發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，但用棄九法沒(méi)找出錯(cuò)誤卻不能保證原題一定正確。
