在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項(xiàng)任務(wù)，完成某項(xiàng)工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作時(shí)間這三個(gè)量，它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是
工作量=工作效率×時(shí)間.
在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探討這三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問題”.
舉一個(gè)簡單例子.
一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.問兩人合作幾天可以完成？
一件工作看成1個(gè)整體，因此可以把工作量算作1.所謂工作效率，就是單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量，我們用的時(shí)間單位是“天”，1天就是一個(gè)單位，
再根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系式，得到
所需時(shí)間=工作量÷工作效率
=6（天）?
兩人合作需要6天.
這是工程問題中最基本的問題，這一講介紹的許多例子都是從這一問題發(fā)展產(chǎn)生的.
為了計(jì)算整數(shù)化（盡可能用整數(shù)進(jìn)行計(jì)算），如第三講例3和例8所用方法，把工作量多設(shè)份額.還是上題，10與15的最小公倍數(shù)是30.設(shè)全部工作量為30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作所需天數(shù)是
30÷（3+ 2）= 6（天）
數(shù)計(jì)算，就方便些.
∶2.或者說“工作量固定，工作效率與時(shí)間成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.當(dāng)知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問題，也
需時(shí)間是
因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中“把工作量設(shè)為整體1”的做法，而偏重于“整數(shù)化”或“從比例角度出發(fā)”，也許會使我們的解題思路更靈活一些.
一、兩個(gè)人的問題
標(biāo)題上說的“兩個(gè)人”，也可以是兩個(gè)組、兩個(gè)隊(duì)等等的兩個(gè)集體.
例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？
答：乙需要做4天可完成全部工作.
解二：9與6的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需時(shí)間是
（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）.
解三：甲與乙的工作效率之比是
6∶ 9= 2∶ 3.
甲做了3天，相當(dāng)于乙做了2天.乙完成余下工作所需時(shí)間是6-2=4（天）.
例2 一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？
解：共做了6天后，
原來，甲做 24天，乙做 24天，
現(xiàn)在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.
這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率
如果乙獨(dú)做，所需時(shí)間是
如果甲獨(dú)做，所需時(shí)間是
答：甲或乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是75天和50天.
例3 某工程先由甲獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？
解：先對比如下：
甲做63天，乙做28天；
甲做48天，乙做48天.
就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的
甲先單獨(dú)做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當(dāng)于乙要做
因此，乙還要做
28+28= 56 （天）.
答：乙還需要做 56天.
例4 一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲隊(duì)休息了2天，乙隊(duì)休息了8天（不存在兩隊(duì)同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時(shí)間？
解一：甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì)單獨(dú)做2天，共完成工作量
余下的工作量是兩隊(duì)共同合作的，需要的天數(shù)是
2+8+ 1= 11（天）.
答：從開始到完工共用了11天.
解二：設(shè)全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì)單獨(dú)做2天之后，還需兩隊(duì)合作
�。�30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）.
解三：甲隊(duì)做1天相當(dāng)于乙隊(duì)做3天.
在甲隊(duì)單獨(dú)做 8天后，還余下（甲隊(duì)） 10-8= 2（天）工作量.相當(dāng)于乙隊(duì)要做2×3=6（天）.乙隊(duì)單獨(dú)做2天后，還余下（乙隊(duì)）6-2=4（天）工作量.
4=3+1，
其中3天可由甲隊(duì)1天完成，因此兩隊(duì)只需再合作1天.
例5 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了3天，乙隊(duì)休息了若干天.從開始到完成共用了16天.問乙隊(duì)休息了多少天？
解一：如果16天兩隊(duì)都不休息，可以完成的工作量是
由于兩隊(duì)休息期間未做的工作量是
乙隊(duì)休息期間未做的工作量是
乙隊(duì)休息的天數(shù)是
答：乙隊(duì)休息了5天半.
解二：設(shè)全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.
兩隊(duì)休息期間未做的工作量是
�。�3+2）×16- 60= 20（份）.
因此乙休息天數(shù)是
（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.
解三：甲隊(duì)做2天，相當(dāng)于乙隊(duì)做3天.
甲隊(duì)休息3天，相當(dāng)于乙隊(duì)休息4.5天.
如果甲隊(duì)16天都不休息，只余下甲隊(duì)4天工作量，相當(dāng)于乙隊(duì)6天工作量，乙休息天數(shù)是
16-6-4.5=5.5（天）.
例6 有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要10天，單獨(dú)完成乙工作要15天；李單獨(dú)完成甲工作要 8天，單獨(dú)完成乙工作要20天.如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？
解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙.
設(shè)乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數(shù)），張每天完成4份，李每天完成3份.
8天，李就能完成甲工作.此時(shí)張還余下乙工作（60-4×8）份.由張、李合作需要
�。�60-4×8）÷（4+3）=4（天）.
8+4=12（天）.
答：這兩項(xiàng)工作都完成最少需要12天.
例7 一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需10天，乙獨(dú)做需15天，如果兩人合作，他
要8天完成這項(xiàng)工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？
解：設(shè)這項(xiàng)工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.
兩人合作，共完成
3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）.
因?yàn)閮扇撕献魈鞌?shù)要盡可能少，獨(dú)做的應(yīng)是工作效率較高的甲.因?yàn)橐?天內(nèi)完成，所以兩人合作的天數(shù)是
（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.
很明顯，最后轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”型問題.
例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨(dú)做時(shí)
如果這件工作始終由甲一人單獨(dú)來做，需要多少小時(shí)？
解：乙6小時(shí)單獨(dú)工作完成的工作量是
乙每小時(shí)完成的工作量是
兩人合作6小時(shí)，甲完成的工作量是
甲單獨(dú)做時(shí)每小時(shí)完成的工作量
甲單獨(dú)做這件工作需要的時(shí)間是
答：甲單獨(dú)完成這件工作需要33小時(shí).
這一節(jié)的多數(shù)例題都進(jìn)行了“整數(shù)化”的處理.但是，“整數(shù)化”并不能使所有工程問題的計(jì)算簡便.例8就是如此.例8也可以整數(shù)化，當(dāng)求出乙每
有一點(diǎn)方便，但好處不大.不必多此一舉.
二、多人的工程問題
我們說的多人，至少有3個(gè)人，當(dāng)然多人問題要比2人問題復(fù)雜一些，但是解題的基本思路還是差不多.
例9 一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問甲一人獨(dú)做需要多少天完成？
解：設(shè)這件工作的工作量是1.
甲、乙、丙三人合作每天完成
減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成
答：甲一人獨(dú)做需要90天完成.
例9也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.請?jiān)囈辉嚕?jì)算是否會方便些？
例10 一件工作，甲獨(dú)做要12天，乙獨(dú)做要18天，丙獨(dú)做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？
解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.
說明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了
2+6+12=20（天）.
答：完成這項(xiàng)工作用了20天.
本題整數(shù)化會帶來計(jì)算上的方便.12，18，24這三數(shù)有一個(gè)易求出的最小公倍數(shù)72.可設(shè)全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了
例11 一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？
解：丙2天的工作量，相當(dāng)乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當(dāng)于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.
他們共同做13天的工作量，由甲單獨(dú)完成，甲需要
答：甲獨(dú)做需要26天.
事實(shí)上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相當(dāng)于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來完成.
例12 某項(xiàng)工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作.問甲組2人和乙組7人合作多少時(shí)間能完成這項(xiàng)工作？
解一：設(shè)這項(xiàng)工作的工作量是1.
甲組每人每天能完成
乙組每人每天能完成
甲組2人和乙組7人每天能完成
答：合作3天能完成這項(xiàng)工作.
解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成.
現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：
甲組獨(dú)做12天，乙組獨(dú)做4天，問合作幾天完成？
小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性.解二是比例靈活運(yùn)用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數(shù).
例13 制作一批零件，甲車間要10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要6天就能完成.乙車間與丙車間一起做，需要8天才能完成.現(xiàn)在三個(gè)車間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比乙車間多制作零件2400個(gè).問丙車間制作了多少個(gè)零件？
解一：仍設(shè)總工作量為1.
甲每天比乙多完成
因此這批零件的總數(shù)是
丙車間制作的零件數(shù)目是
答：丙車間制作了4200個(gè)零件.
解二：10與6最小公倍數(shù)是30.設(shè)制作零件全部工作量為30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.
乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知
乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.
已知
甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.
綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是
12∶8∶7.
當(dāng)三個(gè)車間一起做時(shí)，丙制作的零件個(gè)數(shù)是
2400÷（12- 8） × 7= 4200（個(gè)）.
例14 搬運(yùn)一個(gè)倉庫的貨物，甲需要10小時(shí)，乙需要12小時(shí)，丙需要15小時(shí).有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時(shí)開始搬運(yùn)貨物，丙開始幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn).最后兩個(gè)倉庫貨物同時(shí)搬完.問丙幫助甲、乙各多少時(shí)間？
解：設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉庫的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2，所需時(shí)間是
答：丙幫助甲搬運(yùn)3小時(shí)，幫助乙搬運(yùn)5小時(shí).
解本題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運(yùn)兩個(gè)倉庫的時(shí)間.本題計(jì)算當(dāng)然也可以整數(shù)化，設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉庫全部工作量為 60.甲每小時(shí)搬運(yùn) 6，乙每小時(shí)搬運(yùn) 5，丙每小時(shí)搬運(yùn)4.
三人共同搬完，需要
60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小時(shí)）.
甲需丙幫助搬運(yùn)
�。�60- 6× 8）÷ 4= 3（小時(shí)）.
乙需丙幫助搬運(yùn)
�。�60- 5× 8）÷4= 5（小時(shí)）.
三、水管問題
從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，注水量或排水量就是工作量.單位時(shí)間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同.
例15 甲、乙兩管同時(shí)打開，9分鐘能注滿水池.現(xiàn)在，先打開甲管，10分鐘后打開乙管，經(jīng)過3分鐘就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個(gè)水池的容積是多少立方米？
甲每分鐘注入水量是
乙每分鐘注入水量是
因此水池容積是
答：水池容積是27立方米.
例16 有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現(xiàn)在
按預(yù)定時(shí)間注滿水池，如果開始時(shí)就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預(yù)定時(shí)間注滿水池.問開始時(shí)打開了幾根水管？
答：開始時(shí)打開6根水管.
例17 蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需3小時(shí)，單開丙管需要5小時(shí).要排光一池水，單開乙管需要
、乙、……的順序輪流打開1小時(shí)，問多少時(shí)間后水開始溢出水池？
，否則開甲管的過程中水池里的水就會溢出.
以后（20小時(shí)），池中的水已有
此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進(jìn)了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達(dá)井口，每小時(shí)它總是爬3尺，又滑下2尺.問這只青蛙需要多少小時(shí)才能爬到井口？
看起來它每小時(shí)只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小時(shí)后，它再爬1小時(shí)，往上爬了3尺已到達(dá)井口.
因此，答案是28小時(shí)，而不是30小時(shí).
例18 一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個(gè)水龍頭，2小時(shí)半就把水池水放空，如果打開8個(gè)水龍頭，1小時(shí)半就把水池水放空.現(xiàn)在打開13個(gè)水龍頭，問要多少時(shí)間才能把水放空？
解：先計(jì)算1個(gè)水龍頭每分鐘放出水量.
2小時(shí)半比1小時(shí)半多60分鐘，多流入水
4 × 60= 240（立方米）.
時(shí)間都用分鐘作單位，1個(gè)水龍頭每分鐘放水量是
240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），
8個(gè)水龍頭1個(gè)半小時(shí)放出的水量是
8 × 8 × 90，
其中 90分鐘內(nèi)流入水量是 4 × 90，因此原來水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.
打開13個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水8×13，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要
5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分鐘）.
答：打開13個(gè)龍頭，放空水池要54分鐘.
水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.
例19 一個(gè)水池，地下水從四壁滲入池中，每小時(shí)滲入水量是固定的.打開A管，8小時(shí)可將滿池水排空，打開C管，12小時(shí)可將滿池水排空.如果打開A，B兩管，4小時(shí)可將水排空.問打開B，C兩管，要幾小時(shí)才能將滿池水排空？
解：設(shè)滿水池的水量為1.
A管每小時(shí)排出
A管4小時(shí)排出
因此，B，C兩管齊開，每小時(shí)排水量是
B，C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時(shí)間是
答： B， C兩管齊開要 4 小時(shí) 48分才將滿池水排完.
本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量.由于不知具體數(shù)量，像工程問題不知工作量的具體數(shù)量一樣.這里把兩種水量分別設(shè)成“1”.但這兩種量要避免混淆.事實(shí)上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8與12的最小公倍數(shù) 24.
17世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓寫過一本《普遍算術(shù)》一書，書中提出了一個(gè)“牛吃草”問題，這是一道饒有趣味的算術(shù)題.從本質(zhì)上講，與例18和例19是類同的.題目涉及三種數(shù)量：原有草、新長出的草、牛吃掉的草.這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的.
例20 有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一
草；21頭牛9星期吃完第二片牧場的草.問多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場的草？
解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量×牛頭數(shù)×星期數(shù).根據(jù)這一計(jì)算公式，可以設(shè)定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計(jì)量單位.
原有草+4星期新長的草=12×4.
原有草+9星期新長的草=7×9.
由此可得出，每星期新長的草是
�。�7×9-12×4）÷（9-4）=3.
那么原有草是
7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.
對第三片牧場來說，原有草和18星期新長出草的總量是
這些草能讓
90×7.2÷18=36（頭）
牛吃18個(gè)星期.
答：36頭牛18個(gè)星期能吃完第三片牧場的草.
例20與例19的解法稍有一點(diǎn)不一樣.例20把“新長的”具體地求出來，把“原有的”與“新長的”兩種量統(tǒng)一起來計(jì)算.事實(shí)上，如果例19再有一個(gè)條件，例如：“打開B管，10小時(shí)可以將滿池水排空.”也就可以求出“新長的”與“原有的”之間數(shù)量關(guān)系.但僅僅是例19所求，是不需要加這一條件.好好想一想，你能明白其中的道理嗎？
“牛吃草”這一類型問題可以以各種各樣的面目出現(xiàn).限于篇幅，我們只再舉一個(gè)例子.
例21 畫展9點(diǎn)開門，但早有人排隊(duì)等候入場.從第一個(gè)觀眾來到時(shí)起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多.如果開3個(gè)入場口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)，如果開5個(gè)入場口，9點(diǎn)5分就沒有人排隊(duì).問第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是8點(diǎn)幾分？
解：設(shè)一個(gè)入場口每分鐘能進(jìn)入的觀眾為1個(gè)計(jì)算單位.
從9點(diǎn)至9點(diǎn)9分進(jìn)入觀眾是3×9，
從9點(diǎn)至9點(diǎn)5分進(jìn)入觀眾是5×5.
因?yàn)橛^眾多來了9-5=4（分鐘），所以每分鐘來的觀眾是
�。�3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.
9點(diǎn)前來的觀眾是
5×5-0.5×5=22.5.
這些觀眾來到需要
22.5÷0.5=45（分鐘）.
答：第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是8點(diǎn)15分.
從例20和例21中，我們也注意到，設(shè)置計(jì)算單位的重要性.選擇適當(dāng)?shù)牧孔鳛橛?jì)算單位，往往使問題變得簡單且易于表達(dá).本書中多次提到設(shè)單位問題，請同學(xué)們注意學(xué)習(xí).
