第三講 數(shù)論的方法技巧之一
數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它歷史悠久，而且有著強(qiáng)大的生命力。數(shù)論問題敘述簡(jiǎn)明，“很多數(shù)論問題可以從經(jīng)驗(yàn)中歸納出來，并且僅用三言兩語(yǔ)就能向一個(gè)行外人解釋清楚，但要證明它卻遠(yuǎn)非易事”。因而有人說：“用以發(fā)現(xiàn)天才，在初等數(shù)學(xué)中再也沒有比數(shù)論更好的課程了。任何學(xué)生，如能把當(dāng)今任何一本數(shù)論教材中的習(xí)題做出，就應(yīng)當(dāng)受到鼓勵(lì)，并勸他將來從事數(shù)學(xué)方面的工作。”所以在國(guó)內(nèi)外各級(jí)各類的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，數(shù)論問題總是占有相當(dāng)大的比重。
小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)論問題，常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆。主要的結(jié)論有：
1．帶余除法：若a，b是兩個(gè)整數(shù)，b＞0，則存在兩個(gè)整數(shù)q，r，使得
a=bq+r（0≤r＜b），
且q，r是唯一的。
特別地，如果r=0，那么a=bq。這時(shí)，a被b整除，記作b|a，也稱b是a的約數(shù)，a是b的倍數(shù)。
2．若a|c，b|c，且a，b互質(zhì)，則ab|c。
3．唯一分解定理：每一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即
其中p1＜p2＜…＜pk為質(zhì)數(shù)，a1，a2，…，ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。（1）式稱為n的質(zhì)因數(shù)分解或標(biāo)準(zhǔn)分解。
4．約數(shù)個(gè)數(shù)定理：設(shè)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為（1），則它的正約數(shù)個(gè)數(shù)為：
d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。
5．整數(shù)集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數(shù)。因此，不等式x＜y與x≤y-1是等價(jià)的。
下面，我們將按解數(shù)論題的方法技巧來分類講解。
一、利用整數(shù)的各種表示法
對(duì)于某些研究整數(shù)本身的特性的問題，若能合理地選擇整數(shù)的表示形式，則常常有助于問題的解決。這些常用的形式有：
1．十進(jìn)制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；
2．帶余形式：a=bq+r；
4．2的乘方與奇數(shù)之積式：n=2mt，其中t為奇數(shù)。
例1 紅、黃、白和藍(lán)色卡片各1張，每張上寫有1個(gè)數(shù)字，小明將這4張卡片如下圖放置，使它們構(gòu)成1個(gè)四位數(shù)，并計(jì)算這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差。結(jié)果小明發(fā)現(xiàn)，無(wú)論白色卡片上是什么數(shù)字，計(jì)算結(jié)果都是1998。問：紅、黃、藍(lán)3張卡片上各是什么數(shù)字？
解：設(shè)紅、黃、白、藍(lán)色卡片上的數(shù)字分別是a3，a2，a1，a0，則這個(gè)四位數(shù)可以寫成
1000a3+100a2+10a1+a0，
它的各位數(shù)字之和的10倍是
10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，
這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差是
990a3+90a2-9a0=1998，
110a3+10a2-a0=222。
比較上式等號(hào)兩邊個(gè)位、十位和百位，可得
a0=8，a2=1，a3=2。
所以紅色卡片上是2，黃色卡片上是1，藍(lán)色卡片上是8。
解：依題意，得
a+b+c＞14，
說明：求解本題所用的基本知識(shí)是，正整數(shù)的十進(jìn)制表示法和最簡(jiǎn)單的不定方程。
例3 從自然數(shù)1，2，3，…，1000中，最多可取出多少個(gè)數(shù)使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和能被18整除？
解：設(shè)a，b，c，d是所取出的數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)，則
a+b+c=18m，a+b+d=18n，
其中m，n是自然數(shù)。于是
c-d=18（m-n）。
上式說明所取出的數(shù)中任意2個(gè)數(shù)之差是18的倍數(shù)，即所取出的每個(gè)數(shù)除以18所得的余數(shù)均相同。設(shè)這個(gè)余數(shù)為r，則
a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，
其中a1，b1，c1是整數(shù)。于是
a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。
因?yàn)?/font>18|（a+b+c），所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12。因?yàn)?/font>1000=55×18+10，所以，從1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56個(gè)數(shù)，它們中的任意3個(gè)數(shù)之和能被18整除。
例4 求自然數(shù)N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內(nèi)，它共有10個(gè)約數(shù)。
解：把數(shù)N寫成質(zhì)因數(shù)乘積的形式
由于N能被5和72=49整除，故a3≥1，a4≥2，其余的指數(shù)ak為自然數(shù)或零。依題意，有
�。�a1+1）（a2+1）…（an+1）=10。
由于a3+1≥2，a4+1≥3，且10=2×5，故
a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1，
即a1=a2=a5=…an=0，N只能有2個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)5和7，因?yàn)?/font>a4+1≥3＞2，故由
�。�a3+1）（a4+1）=10
知，a3+1=5，a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2，a4+1=5，即N=52-1×75-1=5×74=12005。
例5 如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍數(shù)，那么N等于多少個(gè)2與1個(gè)奇數(shù)的積？
解：因?yàn)?/font>210=1024，211=2048＞2000，每一個(gè)不大于2000的自然數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)相乘，其中2的個(gè)數(shù)不多于10個(gè)，而1024=210，所以，N等于10個(gè)2與某個(gè)奇數(shù)的積。
說明：上述5例都是根據(jù)題目的自身特點(diǎn)，從選擇恰當(dāng)?shù)恼麛?shù)表示形式入手，使問題迎刃而解。
二、枚舉法
枚舉法（也稱為窮舉法）是把討論的對(duì)象分成若干種情況（分類），然后對(duì)各種情況逐一討論，最終解決整個(gè)問題。
運(yùn)用枚舉法有時(shí)要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸�，分類的原則是不重不漏。正確的分類有助于暴露問題的本質(zhì)，降低問題的難度。數(shù)論中最常用的分類方法有按模的余數(shù)分類，按奇偶性分類及按數(shù)值的大小分類等。
例6 求這樣的三位數(shù)，它除以11所得的余數(shù)等于它的三個(gè)數(shù)字的平方和。
分析與解：三位數(shù)只有900個(gè)，可用枚舉法解決，枚舉時(shí)可先估計(jì)有關(guān)量的范圍，以縮小討論范圍，減少計(jì)算量。
設(shè)這個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位的數(shù)字分別為x，y，z。由于任何數(shù)除以11所得余數(shù)都不大于10，所以
x2+y2+z2≤10，
從而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位數(shù)必在以下數(shù)中：
100，101，102，103，110，111，112，
120，121，122，130，200，201，202，
211，212，220，221，300，301，310。
不難驗(yàn)證只有100，101兩個(gè)數(shù)符合要求。
例7 將自然數(shù)N接寫在任意一個(gè)自然數(shù)的右面（例如，將2接寫在35的右面得352），如果得到的新數(shù)都能被N整除，那么N稱為魔術(shù)數(shù)。問：小于2000的自然數(shù)中有多少個(gè)魔術(shù)數(shù)？
對(duì)N為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)分別討論。
N|100，所以N=10，20，25，50；
N|1000，所以N=100，125，200，250，500；
�。�4）當(dāng)N為四位數(shù)時(shí)，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。符合條件的有1000，1250。
綜上所述，魔術(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)為14個(gè)。
說明：（1）我們可以證明：k位魔術(shù)數(shù)一定是10k的約數(shù)，反之亦然。
（2）這里將問題分成幾種情況去討論，對(duì)每一種情況都增加了一個(gè)前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決。
例8 有3張撲克牌，牌面數(shù)字都在10以內(nèi)。把這3張牌洗好后，分別發(fā)給小明、小亮、小光3人。每個(gè)人把自己牌的數(shù)字記下后，再重新洗牌、發(fā)牌、記數(shù)，這樣反復(fù)幾次后，3人各自記錄的數(shù)字的和順次為13，15，23。問：這3張牌的數(shù)字分別是多少？
解：13+15+23=51，51=3×17。
因?yàn)?/font>17＞13，摸17次是不可能的，所以摸了 3次， 3張撲克牌數(shù)字之和是17，可能的情況有下面15種：
�、�1，6，10 �、�1，7，9 �、�1，8，8
④2，5，10 ⑤2，6，9 �、�2，7，8
⑦3，4，10 �、�3，5，9 ⑨3，6，8
⑩3，7，7 (11)4，4，9 (12)4，5，8
(13)4，6，7 (14)5，5，7 (15)5，6，6
只有第⑧種情況可以滿足題目要求，即
3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。
這3張牌的數(shù)字分別是3，5和9。
例9 寫出12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。
分析一：在尋找質(zhì)數(shù)的過程中，我們可以看出100以內(nèi)最多可以寫出7個(gè)連續(xù)的合數(shù)：90，91，92，93，94，95，96。我們把篩選法繼續(xù)運(yùn)用下去，把考查的范圍擴(kuò)大一些就行了。
解法1：用篩選法可以求得在113與127之間共有12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)：
114，115，116，117，118，119，120，
121，122，123，124，125，126。
分析二：如果12個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，第1個(gè)是2的倍數(shù)，第2個(gè)是3的倍數(shù)，第3個(gè)是4的倍數(shù)……第12個(gè)是13的倍數(shù)，那么這12個(gè)數(shù)就都是合數(shù)。
又m+2，m+3，…，m+13是12個(gè)連續(xù)整數(shù)，故只要m是2，3，…，13的公倍數(shù)，這12個(gè)連續(xù)整數(shù)就一定都是合數(shù)。
解法2：設(shè)m為2，3，4，…，13這12個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。m+2，m+3，m+4，…，m+13分別是2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，4的倍數(shù)……13的倍數(shù)，因此12個(gè)數(shù)都是合數(shù)。
說明:我們還可以寫出
13！+2，13！+3，…，13！+13
�。ㄆ渲�n！=1×2×3×…×n）這12個(gè)連續(xù)合數(shù)來。
同樣，
�。�m+1）！+2，（m+1）！+3，…，（m+1）！+m+1是m個(gè)連續(xù)的合數(shù)。
三、歸納法
當(dāng)我們要解決一個(gè)問題的時(shí)候，可以先分析這個(gè)問題的幾種簡(jiǎn)單的、特殊的情況，從中發(fā)現(xiàn)并歸納出一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑。這種從特殊到一般的思維方法稱為歸納法。
例10 將100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)從小到大排成一個(gè)數(shù)字串，依次完成以下5項(xiàng)工作叫做一次操作：
�。�1）將左邊第一個(gè)數(shù)碼移到數(shù)字串的最右邊；
�。�2）從左到右兩位一節(jié)組成若干個(gè)兩位數(shù)；
�。�3）劃去這些兩位數(shù)中的合數(shù)；
�。�4）所剩的兩位質(zhì)數(shù)中有相同者，保留左邊的一個(gè)，其余劃去；
�。�5）所余的兩位質(zhì)數(shù)保持?jǐn)?shù)碼次序又組成一個(gè)新的數(shù)字串。
問：經(jīng)過1999次操作，所得的數(shù)字串是什么？
解：第1次操作得數(shù)字串711131131737；
第2次操作得數(shù)字串11133173；
第3次操作得數(shù)字串111731；
第4次操作得數(shù)字串1173；
第5次操作得數(shù)字串1731；
第6次操作得數(shù)字串7311；
第7次操作得數(shù)字串3117；
第8次操作得數(shù)字串1173。
不難看出，后面以4次為周期循環(huán)，1999=4×499+3，所以第1999次操作所得數(shù)字串與第7次相同，是3117。
例11 有100張的一摞卡片，玲玲拿著它們，從最上面的一張開始按如下的順序進(jìn)行操作：把最上面的第一張卡片舍去，把下一張卡片放在這一摞卡片的最下面。再把原來的第三張卡片舍去，把下一張卡片放在最下面。反復(fù)這樣做，直到手中只剩下一張卡片，那么剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第幾張？
分析與解：可以從簡(jiǎn)單的不失題目性質(zhì)的問題入手，尋找規(guī)律。列表如下：
設(shè)這一摞卡片的張數(shù)為N，觀察上表可知：
�。�1）當(dāng)N=2a（a=0，1，2，3，…）時(shí)，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的最后一張，即第2a張；
�。�2）當(dāng)N=2a+m（m＜2a）時(shí)，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第2m張。
取N=100，因?yàn)?/font>100=26+36，2×36=72，所以剩下這張卡片是原來那一摞卡片的第72張。
說明：此題實(shí)質(zhì)上是著名的約瑟夫斯問題：
傳說古代有一批人被蠻族俘虜了，敵人命令他們排成圓圈，編上號(hào)碼1，2，3，…然后把1號(hào)殺了，把3號(hào)殺了，總之每隔一個(gè)人殺一個(gè)人，最后剩下一個(gè)人，這個(gè)人就是約瑟夫斯。如果這批俘虜有111人，那么約瑟夫斯的號(hào)碼是多少？
例12 要用天平稱出1克、2克、3克……40克這些不同的整數(shù)克重量，至少要用多少個(gè)砝碼？這些砝碼的重量分別是多少？
分析與解：一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡(jiǎn)單的情形開始研究。
�。�1）稱重1克，只能用一個(gè)1克的砝碼，故1克的一個(gè)砝碼是必須的。
�。�2）稱重2克，有3種方案：
①增加一個(gè)1克的砝碼；
�、谟靡粋�(gè)2克的砝碼；
�、塾靡粋�(gè)3克的砝碼，稱重時(shí)，把一個(gè)1克的砝碼放在稱重盤內(nèi)，把3克的砝碼放在砝碼盤內(nèi)。從數(shù)學(xué)角度看，就是利用3-1=2。
（3）稱重3克，用上面的②③兩個(gè)方案，不用再增加砝碼，因此方案①淘汰。
�。�4）稱重4克，用上面的方案③，不用再增加砝碼，因此方案②也被淘汰。總之，用1克、3克兩個(gè)砝碼就可以稱出（3+1）克以內(nèi)的任意整數(shù)克重。
�。�5）接著思索可以進(jìn)行一次飛躍，稱重5克時(shí)可以利用
9-（3+1）=5，
即用一個(gè)9克重的砝碼放在砝碼盤內(nèi)，1克、3克兩個(gè)砝碼放在稱重盤內(nèi)。這樣，可以依次稱到1+3+9=13（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重。
而要稱14克時(shí)，按上述規(guī)律增加一個(gè)砝碼，其重為
14+13=27（克），
可以稱到1+3+9+27=40（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重。
總之，砝碼的重量為1，3，32，33克時(shí)，所用砝碼最少，稱重最大，這也是本題的答案。
這個(gè)結(jié)論顯然可以推廣，當(dāng)天平兩端都可放砝碼時(shí)，使用1，3，
這是使用砝碼最少、稱重最大的砝碼重量設(shè)計(jì)方案。
