格點與面積習題講解一
如下圖，在一張由一組水平線和一組垂直線組成方格紙上，如果任意相鄰平行線之間的距離都相等，我們就把這樣兩組平行線的交點稱為格點（如下圖中的紅點），把圖中相鄰兩個格點的距離看著一個單位長度，把每個小正方形的面積看作一個面積單位（如圖中帶陰影的方格）。
一個多邊形的頂點如果全是格點，這個多邊形就叫做格點多邊形，本講就，學習求格點多邊形的面積問題。這種格點多邊形的面積計算起來很方便，一般有三種 方法：①規(guī)則的格點多邊形，可以運用多邊形的面積公式求出面積；②一些簡單而又特殊的格點多邊形，可以通過數(shù)格子求出面積；③較復雜的不規(guī)則圖形，一般用 皮克公式計算。其中數(shù)格子的方法比較原始，很少用。
任意格點多邊形，只要數(shù)出多邊形周界上的格點的個數(shù)及圖內(nèi)格點的個數(shù)，就可用下面的皮克公式算出面積：
格點多邊形面積=圖內(nèi)格點個數(shù)+周界格點數(shù)÷2-1
這個公式是皮克(Pick)在1899年給出的，被稱為“皮克定理”，這是一個實用而有趣的定理。
皮克定理的證明：
將格點圖中的每個點看作以這個點為圓心、以單位面積正方形的邊長的一半為半徑的圓。格點多邊形圖內(nèi)的點對應的圓的面積都是圖形面積的一部分；而在多邊 形邊界上的點對應的圓的面積只有一半屬于這個多邊形，且多邊形每個角上的圓屬于圖內(nèi)的面積都不到半個圓，少了其外角對應的扇形面積，因任意多邊形的外角和 是360度，正好是個整圓，所以周界上圓在圖內(nèi)的面積為：周界格點數(shù)÷2-1
所以格點多邊形面積為：圖內(nèi)格點個數(shù)+周界格點數(shù)÷2-1。
皮克定理的證明過程比較抽象，孩子難以理解。本講只要求孩子初步認識格點面積公式，掌握格點面積公式的應用，到初中還會進一步學習皮克定理。
