作為一名數(shù)學(xué)老師與數(shù)學(xué)研究者，我一直在思考，數(shù)學(xué)到底是怎樣一個(gè)體系，應(yīng)該怎么教授數(shù)學(xué)這一學(xué)科。接觸的多了，思考的多了，有了一些自己的總結(jié)與心得，愿與大家分享。

　　首先的一個(gè)問題是，數(shù)學(xué)是什么?這個(gè)問題，從不同的角度來看，有不同的答案。一般來說，經(jīng)典的定義是，數(shù)學(xué)是一門研究客觀實(shí)在的數(shù)量關(guān)系和空間位置關(guān)系的一門學(xué)問。而我的回答則是，數(shù)學(xué)是一門語言。我們知道，語言的作用是交流，通過怎樣的方式來交流呢?通過描述的方式來交流。也就是語言的作用主要體現(xiàn)在“描述”上，通過描述所要表達(dá)的對(duì)象，來達(dá)到交流的目的。那么數(shù)學(xué)這一語言描述的是什么呢?是通過怎樣的方式來描述的呢?它到底是怎樣一個(gè)體系呢?下面我逐層來回答這些問題，并相應(yīng)地提出如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。

　　首先，數(shù)學(xué)是對(duì)客觀實(shí)在的描述和總結(jié)。什么是數(shù)學(xué)?顧名思義，數(shù)學(xué)就是關(guān)于數(shù)的學(xué)問。數(shù)學(xué)描述的是客觀的數(shù)量關(guān)系和空間位置關(guān)系。數(shù)學(xué)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一種數(shù)量描述，是對(duì)客觀規(guī)律的一種抽象總結(jié)。所以第一步我們要在現(xiàn)實(shí)中、生活中去感知數(shù)學(xué)，體悟數(shù)學(xué)。也就是說，第一步，我們要形象地、直感地學(xué)數(shù)學(xué)。

　　小孩子認(rèn)識(shí)世界一般通過直感，也就是直接形象地去感知世界，而不是分析。比如，我們問小孩子為什么怕火，他們會(huì)把燒傷的手伸出來，說燙。這是最直接的感覺。一般而言，小學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)主要也是通過直感來認(rèn)知的。想想我們小時(shí)候，最初是怎么學(xué)數(shù)學(xué)的?小時(shí)候?qū)W1+2=3，怎么學(xué)呢?拿一個(gè)蘋果，再添上兩個(gè)蘋果，數(shù)數(shù)是三個(gè)蘋果。所以1+2=3。這都需要通過現(xiàn)實(shí)中的東西來感覺，來認(rèn)知。記得我們小時(shí)候?qū)W算術(shù)，都是通過數(shù)手指頭來幫助運(yùn)算的。后來學(xué)的數(shù)大起來了，手指頭不夠用了，怎么辦呢?我比較聰明，就撿了一堆小石子，一遇到算術(shù)問題就數(shù)石子。

　　通過直感來認(rèn)識(shí)世界，是最原始的本能。甚至可以說是無師自通的。所以即使沒有讀過書的人，也懂得如何計(jì)算數(shù)的加減乘除。小學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)主要就是通過這種形象的、直感的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的�，F(xiàn)在我們已經(jīng)是中學(xué)生了，相應(yīng)地學(xué)數(shù)學(xué)的方法也有了改變。

　　我們知道，小學(xué)時(shí)候的數(shù)學(xué)主要還是和具體的數(shù)字打交道。到中學(xué)后，就脫離具體的數(shù)字，主要和抽象的字母和數(shù)學(xué)符號(hào)打交道了。中學(xué)數(shù)學(xué)的主體是代數(shù)和幾何，而幾何也主要是通過字母來表示和運(yùn)算的。代數(shù)，顧名思義，也就是代替數(shù)字，用抽象的字母和符號(hào)來代替具體的數(shù)字。從這角度來看，我們能很清楚地看出中學(xué)數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別之何在。很多人以為中學(xué)數(shù)學(xué)只是比小學(xué)數(shù)學(xué)多學(xué)了一些知識(shí)，實(shí)際并不然，小學(xué)數(shù)學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)，最重要的并不是那些知識(shí)，而是思維方式的轉(zhuǎn)變，從形象的直感思維向抽象的邏輯思維轉(zhuǎn)變。

　　現(xiàn)在再計(jì)算1+2=3，我們當(dāng)然不必再數(shù)手指頭了，直接就可以得出答案。這一方面是因?yàn)橛?jì)算經(jīng)驗(yàn)很多，熟能生巧。另一方面，則是因?yàn)槲覀円呀?jīng)可以脫離直感來計(jì)算了，不必借助外界中具體的形象來思考，可以直接通過抽象的邏輯來運(yùn)算。這時(shí)候就到了第二個(gè)層次，要抽象地、邏輯地看數(shù)學(xué)。

　　第二，數(shù)學(xué)是一個(gè)邏輯體系，是邏輯的代言，是通過邏輯的方式來描述客觀實(shí)在的。去年我和浙大人文學(xué)院的教授余式厚老師合作，編寫一套《邏輯達(dá)人》系列的圖書，我們大概六七個(gè)人一天到晚地忙碌。我曾有詩記之。

　　詩書實(shí)腹酒實(shí)樽，

　　樓外寒冬樓內(nèi)春。

　　梅凋鶴去尋無意，

　　家事國情兩不聞。

　　其中我主要編寫的一個(gè)分冊(cè)就是《邏輯與數(shù)學(xué)的聯(lián)姻》。為此我專門寫了一篇文章《邏輯與數(shù)學(xué)的聯(lián)姻》，來闡述邏輯與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系。

　　《邏輯與數(shù)學(xué)的聯(lián)姻》

　　數(shù)學(xué)，自來被認(rèn)為是邏輯的代言。一種說法認(rèn)為，一門學(xué)問能成為一門科學(xué)，必須有數(shù)學(xué)的介入。這個(gè)說法雖有些偏頗，但我認(rèn)為確有其道理。

　　一般來說，學(xué)問分為兩大類，一是科學(xué)，一是藝術(shù)。藝術(shù)源于想象，科學(xué)源于實(shí)踐——

　　當(dāng)然，藝術(shù)的想象是基于實(shí)踐的想象，科學(xué)的實(shí)踐也是基于想象的實(shí)踐。一門

　　學(xué)問能成為一門科學(xué)，必須要對(duì)實(shí)踐過程中發(fā)生的繁雜的現(xiàn)象作一個(gè)分類，從而進(jìn)行概括、梳理、歸納，進(jìn)而探索其本質(zhì)原因。簡(jiǎn)而言之，一門學(xué)問科學(xué)化的過程，

　　就是實(shí)踐化、抽象化、概念化、條理化、體系化的過程。在這一過程中，邏輯理所當(dāng)然地發(fā)揮了不可替代的作用。所以，我認(rèn)為“一門學(xué)問能成為一門科學(xué)，必須有

　　數(shù)學(xué)的介入”這一說法，實(shí)質(zhì)上是“一門學(xué)問能成為一門科學(xué)，必須有邏輯的介入”。只有邏輯介入，我們才能對(duì)那些隨機(jī)的、偶然的、表象的、繁復(fù)的現(xiàn)象，進(jìn)行

　　分類、歸納、總結(jié)，從而實(shí)現(xiàn)人為的復(fù)制。到這時(shí)，一門學(xué)問才真正成為一門完整的、成熟的科學(xué)。對(duì)于人類而言，野蠻與文明的分野，恰是邏輯的開端。

　　人類自認(rèn)識(shí)外界開始，就在進(jìn)行量的探索，在數(shù)的領(lǐng)域中翱翔。所以有歷史學(xué)家考證認(rèn)

　　為，會(huì)計(jì)學(xué)是科學(xué)的開端。事實(shí)上，對(duì)于數(shù)與量的探索，離不開對(duì)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象的抽象、歸納、與總結(jié);同樣，沒有數(shù)量提供的一片原始的、廣闊的天地，抽象、歸納、

　　總結(jié)這些系統(tǒng)性的方法也難以大展拳腳，其威力也難以得到充分的發(fā)揮。簡(jiǎn)而

　　言之，離開了數(shù)學(xué)的邏輯，難以發(fā)揮其作用;離開了邏輯的數(shù)學(xué)，難以形成其體系。數(shù)學(xué)是邏輯的載體，邏輯是數(shù)學(xué)的精神。所以，我認(rèn)為在數(shù)學(xué)與邏輯之間，存在

　　著一種互相促進(jìn)、互相補(bǔ)充、互相成就，甚至互相表達(dá)、互相代言的關(guān)系。因此，數(shù)學(xué)也就水到渠成地被認(rèn)為是邏輯的代言。也就理所當(dāng)然地有了“一門學(xué)問能成為

　　一門科學(xué)，必須有數(shù)學(xué)的介入”這一說法。

　　以上的說法，絕對(duì)不是無稽之談。一般認(rèn)為，兩千多年前成書于古希臘的《幾何原本》

　　是數(shù)學(xué)的集大成之作，同時(shí)也是邏輯學(xué)應(yīng)用的集大成之作。這是很早之前邏輯學(xué)與數(shù)學(xué)就已進(jìn)行聯(lián)姻的一個(gè)明證。包括美國總統(tǒng)林肯在內(nèi)的千千萬萬的人，都是通過

　　學(xué)習(xí)《幾何原本》來訓(xùn)練自己的邏輯思考能力的。

　　考慮到邏輯與數(shù)學(xué)的這種歷史淵源與現(xiàn)實(shí)關(guān)系，在本套《邏輯達(dá)人》系列叢書中，我們特意編寫了這本《邏輯與數(shù)學(xué)的聯(lián)姻》，再次展現(xiàn)邏輯學(xué)與數(shù)學(xué)之間微妙的關(guān)系，以及兩者融合后所散發(fā)出的無窮的魅力。

　　既然數(shù)學(xué)與邏輯之間有如此緊密的聯(lián)系，我們就不能孤立地將它們分裂開來。我學(xué)數(shù)學(xué)是非常注重?cái)?shù)學(xué)的邏輯性的。在邏輯上能將數(shù)學(xué)融會(huì)貫通后，再隨心所欲地發(fā)

　　揮數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的正途。據(jù)我自己總結(jié)，我學(xué)數(shù)學(xué)的方法就是我所說的“三化方法”：概念的抽象化、思維的條理化、邏輯的體系化。其中概念是對(duì)

　　思考對(duì)象的抽象總結(jié)，是邏輯賴以存在的根基，可以說沒有概念就沒有邏輯，所以我們要深入地、抽象地去理解概念，而不能流于直觀和表面。我曾寫過一篇《我的

　　邏輯觀》簡(jiǎn)述我對(duì)邏輯的思考：

　　《我的邏輯觀》

　　去年冬天在余式厚老師處編寫《邏輯達(dá)人》系列叢書。我們大概六七個(gè)人一天到晚地忙碌。我曾有詩記之。

　　詩書實(shí)腹酒實(shí)樽，

　　樓外寒冬樓內(nèi)春。

　　梅凋鶴去尋無意，

　　家事國情兩不聞。

　　因?yàn)槲业臄?shù)學(xué)功底不錯(cuò)，便主要負(fù)責(zé)編寫《數(shù)學(xué)與邏輯的聯(lián)姻》這一分部，整天埋首于

　　邏輯問題和數(shù)學(xué)問題，間或幫著答疑解惑。我是以數(shù)學(xué)和邏輯立足根基的，不敢自夸有成，亦小有所得。我的邏輯學(xué)不是來自于書本或其他人的教授，純粹是我自己

　　從數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與思考中體悟、總結(jié)來的，是數(shù)學(xué)的副產(chǎn)品，是我自己的

　　邏輯學(xué)。雖不博大精深，但還算切實(shí)有用。這里我并不想過多地談邏輯，因我未系統(tǒng)學(xué)過邏輯學(xué)，也或有誤導(dǎo)讀者之嫌。所以這里只是簡(jiǎn)單介紹一下我的邏輯觀。

　　我認(rèn)為邏輯只是定義與性質(zhì)、性質(zhì)與定義，定義與定義、性質(zhì)與性質(zhì)之間的等價(jià)或包含

　　關(guān)系。欲有邏輯，必先有定義，也必先有性質(zhì)，然后則邏輯自然生成。所謂定義，就是對(duì)某一思考對(duì)象的人為的抽象總結(jié)，抽象出其最基本、最本質(zhì)的性質(zhì)，這一性

　　質(zhì)與這一定義完全成最簡(jiǎn)等價(jià)關(guān)系。所謂最簡(jiǎn)等價(jià)，便是沒有、也不需

　　要多余的條件，兩者獨(dú)立互為充分必要條件的關(guān)系。這一定義便表示這一性質(zhì)，這一性質(zhì)也便等同這一定義，兩者之間完全劃等號(hào)。例如我們講平行四邊形，何為平

　　行四邊形的定義?有人說兩組對(duì)邊分別平行、兩組對(duì)邊分別相等，兩組對(duì)角分別相等、兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。這便錯(cuò)了，因?yàn)檫@不是最簡(jiǎn)等價(jià)

　　關(guān)系，而是把定義與性質(zhì)亂糟糟混合在一起，不明所以。事實(shí)上平行四邊形的定義只是“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形”。一個(gè)四邊形是“平行四邊形”，便表示“兩

　　組對(duì)邊分別平行”，一個(gè)四邊形“兩組對(duì)邊分別平行”，便表示它是“平行四邊形”。對(duì)于四邊形而言，“平行四邊形”與“兩組對(duì)邊分別平行”兩者之間完全劃等

　　號(hào)。其它的諸如兩組對(duì)邊分別相等、兩組對(duì)角分別相等、兩條對(duì)角線互相平分，都是在這一定義的基礎(chǔ)上通過邏輯推導(dǎo)出來的，只是它的衍生性質(zhì)——當(dāng)然可以證明

　　它們也都是等價(jià)的。

　　定義從何而來?定義來自于概念。所謂概念便是人們對(duì)事物本身的認(rèn)識(shí)，我字面理解一

　　下，就是人對(duì)事物本身概括地思考它是什么。簡(jiǎn)單來說，我認(rèn)為概念就是沒完全脫離實(shí)體存在的、不成熟的定義。概念來自于哪里?我認(rèn)為概念來自于常識(shí)。所謂常

　　識(shí)，便是人們對(duì)思考對(duì)象經(jīng)過積累的、直接的、實(shí)踐性的、感覺性的認(rèn)

　　識(shí)。另外補(bǔ)充一下，我認(rèn)為邏輯賴以存在的公理、公設(shè)也是對(duì)常識(shí)的抽象總結(jié)。所以我認(rèn)為，邏輯是常識(shí)的抽象影像，或說邏輯只是常識(shí)的另一種抽象的表述形式。

　　邏輯與常識(shí)經(jīng)常表現(xiàn)出高度的一致，原因也在于此。其實(shí)日常生活中，很多人都是把邏輯與常識(shí)混為一談了，錯(cuò)把常識(shí)當(dāng)邏輯。舉例來說，如果我說因?yàn)榻裉礻幪欤?/p>

　　所以今天不會(huì)下雨。別人會(huì)說我說話不合邏輯。事實(shí)上，這句話無干邏輯，只是不合常識(shí)。對(duì)于一般人來說，是常識(shí)告訴我們陰天往往會(huì)下雨，而不是邏輯。那么怎

　　么才關(guān)系到邏輯呢?如果我們給“陰天”和“下雨”下個(gè)定義，便是邏輯的問題了。比如，我們定義“陰天”為“由于天空中水滴很多而凝聚成云，從而引起的一種

　　陽光很少或不能透過云層,

　　天色陰暗的天空狀況”，定義“下雨”為“空氣中凝結(jié)的小水滴從天空中落下來”。那么“陰天往往會(huì)下雨”便是一個(gè)邏輯問題了。“陰天”表示“空氣中小水滴很

　　多”，“小水滴很多”則“凝結(jié)起來降下來”的概率就很大，這便是往往會(huì)“下雨”了。

　　理清了邏輯與定義的關(guān)系，理清了邏輯與常識(shí)的區(qū)別，然后才能逐步理解何謂邏輯，在此基礎(chǔ)上才能最好地、準(zhǔn)確地運(yùn)用邏輯。脫離了常識(shí)談邏輯，基本上只是做做頭腦游戲，沒多大意義。

　　記得在余老師處，每天都是我們自己燒菜，洗潔精用得很快。有一次余老師一次性購買了三瓶洗潔精，一位女生問他為何不買桶裝洗潔精。余老師愕然問道：“洗潔精有桶裝的么?”我笑道：“余老師，您邏輯學(xué)雖然好，可是只有邏輯是不夠的，還需要常識(shí)。”滿屋哄然大笑。

　　其實(shí)對(duì)于生活而言，只有邏輯和常識(shí)還是不夠的，這兩者只是人們對(duì)身外的認(rèn)識(shí)，另外

　　還需要對(duì)心內(nèi)的訴求，這便是信念。信念無干邏輯，無干常識(shí)，無需經(jīng)過理性的審查，只是一個(gè)“信”字，所謂“信則靈”。然而我們不能因?yàn)樾拍顭o需經(jīng)過理性的

　　審查，便說信念不理性。事實(shí)上經(jīng)過優(yōu)勝劣汰的選擇，信念與理性是呈現(xiàn)高度一致性的——雖然并不完全一致。

　　我一直用邏輯體系安排自己的生活，最終卻發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)互相矛盾的公設(shè)。自由與責(zé)任，難矣哉兩全。其中的協(xié)調(diào)與取舍實(shí)在令人頭疼。單純的邏輯是沒有意義的，還需要信念與常識(shí)。縱使邏輯不能幫我解決所有問題，我還有理性。當(dāng)然，偶爾也可以借鑒一下隨機(jī)體系。

　　基于以上所說，第二步，我們要抽象地、邏輯地學(xué)數(shù)學(xué)。這是中學(xué)必須要完成的一個(gè)培養(yǎng)。至于怎么學(xué)呢?我有以下三個(gè)總結(jié)：

　　(一)加深對(duì)概念與公理的理解，從抽象、邏輯上理解，而不能流于直觀化、表面化(而這正是大多數(shù)學(xué)生的問題所在);

　　(二)學(xué)會(huì)對(duì)概念與公理的運(yùn)用，并融入潛意識(shí)，形成本能。一切問題都回歸到基本的概念與公理，并從概念與公理出發(fā)進(jìn)行邏輯推導(dǎo)。我認(rèn)為這將會(huì)培養(yǎng)學(xué)生深刻理解問題本質(zhì)，從基本假設(shè)出發(fā)建立理論體系的能力，對(duì)學(xué)生日后的發(fā)展將有不可估量的影響;

　　(三)強(qiáng)化思維訓(xùn)練，加強(qiáng)思維的靈活與開闊，打破僵化的思維模式，學(xué)會(huì)正確的思考方法。以我的經(jīng)驗(yàn)，我認(rèn)為，多思考、分析趣題、難題，并思考其之思考，是比較有效的方法。

　　最后，數(shù)學(xué)就是一套思維方法，是溝通形象與抽象的一座橋梁。數(shù)學(xué)要培

　　養(yǎng)的就是能夠從直觀的、具體的形象中抽象出邏輯概念，又能夠把抽象的概念翻譯成直觀的、具體的形象，但是又不是簡(jiǎn)單地等同于直觀對(duì)象的能力。我所看到的數(shù)

　　學(xué)家大部分都是這樣的，在他們眼中，抽象的概念本身就像是直觀可以感知的東西。(當(dāng)然也有一些代數(shù)學(xué)家能夠直接地進(jìn)行抽象的思考)。這是思維的高級(jí)階段，

　　已經(jīng)是形象思維和抽象思維完全融為一體，無所謂形象還是抽象了。

　　通過以上敘述，我們可以看出，小學(xué)階段，我們主要通過形象、直感的思維方式學(xué)數(shù)學(xué)，并逐漸通過形象、直感的方式，培養(yǎng)抽象的、邏輯的思維方式。中學(xué)階段

　　——包括初中和高中——則主要培養(yǎng)并加強(qiáng)抽象的、邏輯的思維，并逐步完成邏輯的概念化、條理化和體系化。如果大學(xué)還要就一步深修數(shù)學(xué)，則還要培養(yǎng)將形象、

　　直感的思維與抽象的、邏輯的思維通匯貫通，融為一體的化合思維。也即是我所說的，抽象之抽象，謂之悟。這時(shí)則可以體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性和思想性。

　　以上所談思維的三個(gè)階段，就像人生的三重境界，第一境界，看山是山，看水是水;第二境界，看山不是山，看水不是水;第三境界，看山還只是山，看水還只是

　　水。小孩子的形象的直感思維，就是第一境界，看山是山，看水是水。中學(xué)要培養(yǎng)的抽象的邏輯思維，是第二境界，看山不是山，看水不是水。再然后才是第三境

　　界，看山還只是山，看水還只是水。這時(shí)形象的直感思維和抽象的邏輯思維已經(jīng)融為一體了，分不清彼此。這是思維的最高層境界。