學(xué)而思奧數(shù)天天練欄目每日精選中等、高等難度試題各一道。中難度試題適合一些有過思維基礎(chǔ)訓(xùn)練、考題學(xué)習(xí)經(jīng)歷，并且奧數(shù)成績(jī)中上的學(xué)生。高難度試題立足于杯賽真題、綜合應(yīng)用和加深各知識(shí)點(diǎn)，適合一些志在競(jìng)賽 中奪取佳績(jī)的學(xué)生。

　　·本周試題由學(xué)而思奧數(shù)名師鄭欣精選、解析，以保證試題質(zhì)量。

　　·每周末，我們將一周試題匯總為word版本試卷，您可下載打印或在線閱讀。

　　·每道題的答題時(shí)間不應(yīng)超過15分鐘。答案明日公布！

　　難度：★★★★

　　小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)天天練：約數(shù)與倍數(shù)

　　A,B兩數(shù)都僅含有質(zhì)因數(shù)3和5,它們的最大公約數(shù)是75.已知數(shù)A有12個(gè)約數(shù)，數(shù)B有10個(gè)約數(shù)，那么A,B兩數(shù)的和等于多少?


　　【答案】

　　由題意知A可以寫成3×52×a，B可以寫成3×52×6,其中a、b為整數(shù)且只含質(zhì)因子3、5.

　　即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均為自然數(shù)(可以為0)

　　由A有12個(gè)約數(shù),所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，

　　所以  .對(duì)應(yīng)A為31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875；

　　由B有10個(gè)約數(shù),所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以 .對(duì)應(yīng)B為31+0×52+2=1875．

　　只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875．

　　那么A,B兩數(shù)的和為675+1875=2550

　　難度：★★★★★　

　　小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)天天練：約數(shù)與倍數(shù)

　　兩個(gè)不同自然數(shù)的和是60，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和也是60.問這樣的自然數(shù)共有多少組?


　　【答案】

　　解答：設(shè)這兩數(shù)為a,b,記a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．

　　它們的和為:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60…………①

　　它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和為：

　　[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，

　　且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②

　　聯(lián)立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1．

　　即說明一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù),不妨記a=kb(k為非零整數(shù))，

　　有 ,即 確定，則k確定，則kb即a確定

　　60的約數(shù)有1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60這12個(gè)，b可以等于1，2，3，4，5，6，10．12，15，20這10個(gè)數(shù)，（因?yàn)槿绻鸼=60，則(k+1)=1，而k為非零整數(shù)，矛盾；b=30，則a=30，a=b，矛盾）

　　對(duì)應(yīng)的a、b有10組可能的值，即這樣的自然數(shù)有10組．

　　進(jìn)一步，列出有(a,b)為（1,59），(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20)。