什么是數(shù)學化，數(shù)學化的內(nèi)涵是什么？

     數(shù)學化是弗賴登塔爾數(shù)學教育思想的核心，在弗賴登塔爾（(H.Freudenthal,1905—1990)是國際上極負盛名的荷蘭數(shù)學家和數(shù)學教育家.）看來，數(shù)學化有橫向（水平）數(shù)學化和縱向（垂直）數(shù)學化之分，橫向數(shù)學化是“把生活世界引向符號世界”，縱向數(shù)學化是“在符號世界里符號的生成，重塑和被使用”。也可以這樣理解：橫向數(shù)學化的產(chǎn)物是生成生活與數(shù)學的聯(lián)系，縱向數(shù)學化的產(chǎn)物是生成抽象的數(shù)學知識之間的聯(lián)系。

如何處理好橫向與縱向數(shù)學化的關(guān)系？

    弗賴登塔爾原來并不接受橫向與縱向數(shù)學化的劃分，但最終他不僅接受了這種劃分的思想，甚至到了極力推崇的地步。原因是如果用雙重的二分法分別從橫向數(shù)學化和縱向數(shù)學化進行分類，數(shù)學教育可以分成四種類型，且分別對應(yīng)著的哲學觀：
1、缺少橫向數(shù)學化，也缺乏縱向數(shù)學化，是機械主義：
2、橫向數(shù)學化得到成長，但縱向數(shù)學化不足，是經(jīng)驗主義；
3、橫向數(shù)學化不足，但縱向數(shù)學化被培養(yǎng)起來，是結(jié)構(gòu)主義：
4、橫向數(shù)學化與縱向數(shù)學化都得到成長，是現(xiàn)實主義。當下我國基礎(chǔ)教育數(shù)學課程改革倡導(dǎo)現(xiàn)實主義的教學，橫向數(shù)學化與縱向數(shù)學化要結(jié)伴而行，均衡發(fā)展。數(shù)學課要上出數(shù)學味。選擇橫向的和縱向的數(shù)學化兩個標準，來設(shè)計和分析數(shù)學教學，會幫助教師更好地理解自己教學設(shè)計的明確的或含蓄的意圖，防止數(shù)學教學偏離現(xiàn)實主義的正確道路。

   例如，小學一年級學生怎樣學習加法呢?首先，要向?qū)W生提供熟悉的現(xiàn)實情境：笑笑左手拿著2支鉛筆，右手拿著3支鉛筆，她一共有幾文鉛筆?其次，指導(dǎo)學生參與活動：
①笑笑的一只手拿著幾支鉛筆，你就在本子上畫幾個小圓圈；
②笑笑的另一只手拿著幾支鉛筆，你在本子上繼續(xù)畫上幾個小圓圈；
②數(shù)一數(shù)你的本子上一共畫了幾個小圓圈?
④想一想：你所畫的這些小圓圈表示什么意義?

  讓每個學生都經(jīng)歷上述畫圖、數(shù)數(shù)與思考等數(shù)學活動，都體驗并獲得一個數(shù)學事實：2支鉛筆與3支鉛筆合起來一共有5支鉛筆。在這個基礎(chǔ)上，教師才把這個數(shù)學事實加以形式化，寫出加法算式：2十3＝5或3十2＝5，并指導(dǎo)學生結(jié)合具體情境運用語言描述或解釋算式中每一個數(shù)或運算符號的意義。進而讓學生在新的情境中嘗試應(yīng)用加法算式，表示現(xiàn)實生活中大量存在的加法結(jié)構(gòu)。