第十回  近世數(shù)壇  基礎(chǔ)理論成果絢麗

　　現(xiàn)代計(jì)算  實(shí)際應(yīng)用前景輝煌

　　高斯墓碑上畫(huà)的是正十七邊形圖案。過(guò)直線外一點(diǎn)只有一條平行線嗎？專(zhuān)刮臉的理發(fā)師不知自己的臉蛋該誰(shuí)來(lái)刮。華羅庚說(shuō)：“大哉！數(shù)學(xué)之為用。”海灣戰(zhàn)爭(zhēng)中，數(shù)學(xué)大顯神通。

　　話說(shuō)那18、19世紀(jì)，西歐的數(shù)學(xué)確實(shí)是轟轟烈烈紅紅火火，在幾何、代數(shù)兩方面都有了空前的變化，徹底地解放，兩場(chǎng)大革命相繼進(jìn)行，令人目不暇接�，F(xiàn)在先與諸位道一番幾何的大變化。

　　要說(shuō)這場(chǎng)變化，卻與一個(gè)人有脫不掉的干系。你道是誰(shuí)？那便是赫赫有名的數(shù)學(xué)王子高斯，卡爾·弗里德里希·高斯！他不但被公認(rèn)為是19世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家，而且與阿基米德、牛頓并稱(chēng)為歷史上最偉大的三位數(shù)學(xué)家！

　　小卡爾的故事無(wú)人不曉。從 1 連加到 100，如何簡(jiǎn)便地算，諸位肯定不止一法，覺(jué)得挺容易。不過(guò)諸位可都是老師教會(huì)的，而小卡爾是十歲時(shí)自個(gè)想出來(lái)的，這才真叫不容易。高斯晚年常常幽默地說(shuō)，在他會(huì)說(shuō)話之前，已經(jīng)會(huì)計(jì)算了。神童和天才確實(shí)是不常有的。

　　高斯在1777年出生的時(shí)候，家境可是不太好。父親是瓦工，對(duì)小娃娃讀書(shū)沒(méi)什么興趣。但卡爾的母親卻鼓勵(lì)他學(xué)習(xí)。小學(xué)的校長(zhǎng)也很愛(ài)才，對(duì)他贊不絕口，推薦給不倫瑞克公爵。公爵搞了次“手拉手”活動(dòng)，贊助15歲的高斯進(jìn)了中學(xué)，18歲時(shí)又送他進(jìn)哥廷根大學(xué)。

　　起初高斯對(duì)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)都很感興趣，猶豫不決不知學(xué)什么好。他決定為數(shù)學(xué)而獻(xiàn)身是1796年3月30日的事。這一天，他找到了用尺規(guī)作出正十七邊形的方法！兩千年的難題解決了，卡爾知道自己是屬于數(shù)學(xué)的。對(duì)這個(gè)發(fā)現(xiàn)他是如此的鐘愛(ài)，所以后來(lái)留下話，墓碑上就刻這么個(gè)圖形。

　　高斯用代數(shù)的方法找到了作法。進(jìn)一步，他解決了全部情形：正多邊形的邊數(shù)是多少就能畫(huà)出，是多少用尺規(guī)又作不出，被證明得妥妥貼貼。高斯的才能更進(jìn)一步顯示，20歲作出的博士論文令大家刮目相看，大跌眼鏡，他竟然證出了代數(shù)基本定理，這個(gè)連牛頓、歐拉、拉格朗日等大師也難倒的定理！代數(shù)基本定理是說(shuō)，幾次多項(xiàng)式至少有一個(gè)根。

　　這位數(shù)學(xué)王子在天文學(xué)方面也有拿手絕活。同樣還是很年輕的時(shí)候，他用新方法只根據(jù)很少的數(shù)據(jù)，算出了最新發(fā)現(xiàn)的谷神星的軌道。高斯不管做什么事都要好上加好，力求完美，所以很多成果就永遠(yuǎn)在他的筆記本上不露面。這其中有很多有著重要?jiǎng)?chuàng)見(jiàn)的思想，“非歐幾何”就是一例。

　　什么是非歐幾何呢？那還要從歐幾里德的《原本》說(shuō)起�！对�本》是建立在有限的幾條公理之上的邏輯構(gòu)造的大廈，這是大家都知道的。從公理出發(fā)，能推出所有的定理，而公理本身就不能再往前推了，就把它當(dāng)作不言自明的東西承認(rèn)下來(lái)。

　　對(duì)公理體系也有個(gè)起碼的要求。首先幾條公理之間不能相互矛盾。其次，所用公理要盡可能少，不能把可以從公理推出的定理，也當(dāng)成公理立在那里，也就是各條公理要相互獨(dú)立。

　　在《原本》中一共有九條公理，比如說(shuō)兩點(diǎn)間有唯一直線啦，直線可以任意延長(zhǎng)啦等等。其中有一條叫平平公理，歐幾里德有點(diǎn)把握不住，覺(jué)得它像條定理，可就是沒(méi)法證出來(lái)。沒(méi)法子，還是把它作為公理，放在了其他幾條公理的后面。而且，歐幾里德在證前28個(gè)定理之前，一直沒(méi)有用過(guò)這條平等公理，總想繞開(kāi)它。

　　《原本》中的平行公理挺羅嗦，可以換成功效一樣的其他說(shuō)法，比如初中課本中是這么說(shuō)的：

　　“過(guò)直線外一點(diǎn)能作一條且只能作一條和已知直線平等的直線。”把平行公理作為定理，試圖從其他公理把它推出來(lái)，數(shù)學(xué)家們?yōu)榇嗣β盗藘汕Ф嗄辍?/p>

　　有些人是從正面去證，直接證。當(dāng)他們覺(jué)得大功告成獲得“證明”時(shí)，再仔細(xì)檢查一看，都用了新的假設(shè)，比如像“三角形內(nèi)角和等于兩直角”，“平面上存在著一對(duì)不相等的相似三角形”，等等。

　　這些新的假定都需要用平等公理才能證出，只不過(guò)將平行公理?yè)Q了個(gè)說(shuō)法。這樣的“證明”就犯了邏輯循環(huán)的錯(cuò)誤。

　　直接證勞而無(wú)功，就想到間接去證，用反證法。這樣就先否定平行公理，然后從這個(gè)否定的前提出發(fā)，進(jìn)行一系列推理，如果推出了矛盾，那么對(duì)平行公理的否定就不對(duì)了，就證明了平行公理。想法很好，咱們中學(xué)生都用這樣的反證法。

　　但是用反證法推來(lái)推去，推不出矛盾。比如瑞士的蘭伯特（1728—1777），將平行公理否定，最后推出三角形的內(nèi)角和大于或小于兩個(gè)直角。

　　有人說(shuō)這不就產(chǎn)生矛盾了嘛？其實(shí)一點(diǎn)不矛盾，因?yàn)槿�角形�?nèi)角和定理和平行公理是一碼事，兩者可以相互代替。你用反證法，假設(shè)平行公理不對(duì)，也就是假設(shè)過(guò)直線外一點(diǎn)不是只有一條線和已知直線平行，那么實(shí)際上也等于同時(shí)假定了三角形內(nèi)角和不是兩直角。

　　從否定平等公理，不但推出了三角形內(nèi)角和的稀奇結(jié)論，而且還推出了其他一些和平常的幾何不一樣的定理，不過(guò)就是推不出矛盾來(lái)。

　　正面證不行，反證也不行，看來(lái)平行公理是證不出了。這說(shuō)明平行公理和其他公理地位平等，誰(shuí)也不依賴誰(shuí)，相互獨(dú)立。

　　這一點(diǎn)得到了許多人的承認(rèn)，對(duì)平等公理就只能把它當(dāng)成公理了，要想證明絕對(duì)沒(méi)戲。但是在用反證法時(shí)，從平行公理的反面出發(fā)，卻推出了一系列和歐氏幾何完全一樣的結(jié)論，把它們集中在一起，不就構(gòu)成另一堆定理的系統(tǒng)嗎？它們完全不同于歐氏幾何，但卻完全說(shuō)得通，邏輯上站得住。

　　不同于歐幾里德幾何的新幾何產(chǎn)生了，它是19世紀(jì)所有復(fù)雜偉大的技術(shù)創(chuàng)造中，最深刻但又是最簡(jiǎn)單的一個(gè)。確實(shí)太簡(jiǎn)單了，只要把平行公理?yè)Q成它的反面，其他公理不動(dòng)，新幾何的基礎(chǔ)就打好了，以后只需要進(jìn)行推理，就能構(gòu)造出非歐幾里德幾何的大廈。

　　要承認(rèn)非歐幾何是十分困難的，盡管邏輯上沒(méi)矛盾，可心理上太難承受。你能相信三角和的內(nèi)角和不等于180度嗎？說(shuō)破嘴皮你也不信，總覺(jué)得和經(jīng)驗(yàn)不符，似乎我們生活的空間，天然地就是歐幾里德式的。

　　咱們的生活空間，不一定是歐幾里德幾何所描繪的，不能先入為主。認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)的在當(dāng)時(shí)是鳳毛麟角，在現(xiàn)在也不多。咱們平常的世界似乎用歐氏幾何都能說(shuō)得通。

　　而首先認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)的，就是高斯。他這么說(shuō)過(guò)：“我們不能證明我們的歐幾里德幾何具有物理的必然性。或許在另一個(gè)世界中我們能洞察空間的性質(zhì)，但現(xiàn)在卻不行。”偉大的天才高斯對(duì)非歐幾何已經(jīng)是明察一切了，但是他怕新的理論不被人理解，會(huì)受到起哄嘲笑，所以一輩子都沒(méi)有公開(kāi)發(fā)表的膽。即使別人已經(jīng)提出來(lái)了，他也表示沉默。

　　那么又是哪一位功夫深湛的大師，有此偉大創(chuàng)造呢？他就是匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶·亞諾什。鮑耶的老爸與高斯是大學(xué)同窗，這位老爸也是位數(shù)學(xué)家，對(duì)平行公理證明了一輩子也沒(méi)什么名堂。

　　鮑耶子承父業(yè)，又接手了這個(gè)問(wèn)題。老爸知道了火冒三丈，立即寫(xiě)信訓(xùn)子，說(shuō)你老爸早已苦頭吃足，你小子要陷進(jìn)去也沒(méi)什么好下場(chǎng)。即使是牛頓在世，他也必陷入泥坑，壞一世英名。你小子趕快給我收攤，改練別的吧。鮑耶牛脾氣一上來(lái)，心想我還就要干到底。1823年，他的思維突然打開(kāi)，迸發(fā)了非歐幾何的新設(shè)想。他寫(xiě)信給父親說(shuō)，“我已經(jīng)在烏有中創(chuàng)造了整個(gè)世界”。

　　鮑耶在 1825 年基本完成了非歐幾何學(xué)，后來(lái)的幾年他央求老爸幫他出版，根本得不到同意。1831年，鮑耶給老爸說(shuō)，咱干脆給高斯伯伯寄份論文，看看他怎么個(gè)說(shuō)法。

　　論文總算到高斯老伯的手中，高斯看后大吃幾驚！他回信給他的同學(xué)說(shuō)，我真是嚇壞了，貴公子所做的一切和鄙人三十幾年前想的完全符合，稱(chēng)贊他等于稱(chēng)贊我自己。使我特高興的是，這么一位出類(lèi)拔萃驚世駭俗的人物，正是老哥你的兒子。

　　說(shuō)實(shí)話，高斯寫(xiě)這封信時(shí)，心里恐怕也是酸酸的，誰(shuí)讓自己沒(méi)那份勇氣呢。卻說(shuō)信到得鮑耶手中，大大刺痛了滿懷希望的他。他不相信有人會(huì)趕在他前面，覺(jué)得高斯老伯倚老賣(mài)老太不仗義。從此郁郁寡歡，58歲就去世了。再說(shuō)這最完整、最先發(fā)表非歐幾何的，卻是俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基。

　　羅先生在22歲時(shí)，就著手研究這個(gè)問(wèn)題。不久，他就意識(shí)到肯定存在另一種幾何學(xué)，他把歐氏幾何的其他公理照樣采用，而對(duì)平行公理進(jìn)行脫胎換骨，變成：過(guò)已知直線外一點(diǎn)至少有兩條直線和已知直線不相交。

　　1826 年，羅巴切夫斯基 33 歲，正式宣讀了非歐幾何的論文。這位幾何學(xué)上的哥白尼，又嚇得教廷胡話連篇，總主教宣布他的學(xué)說(shuō)是邪說(shuō)，有人用匿名信謾罵他，種種花樣不一而足。這一切正如高斯所預(yù)料到的。高斯寫(xiě)信給羅巴切夫斯基，表示十分欽佩�？墒窃诠�開(kāi)場(chǎng)合他又裝成個(gè)沒(méi)事的人，從不多說(shuō)一句話。

　　后來(lái)德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼（1826—1866）又創(chuàng)建另一類(lèi)非歐幾何，人們把它叫做黎曼幾何。黎曼的體系中是這么替換平行公理的。

　　平面上不存在不相交的直線。即平面上不存在平行線。

　　“19世紀(jì)最有啟發(fā)性，最重要的數(shù)學(xué)成就是非歐幾何的發(fā)現(xiàn)”，大數(shù)學(xué)家希爾伯特的評(píng)價(jià)是絕對(duì)權(quán)威的。除了打破了歐氏幾何的一統(tǒng)天下，打破了對(duì)歐氏幾何的盲目崇拜以外，非歐幾何的建立使大家對(duì)公理和公理建立起的體系有了更清楚的認(rèn)識(shí)。

　　一組公理，只要彼此獨(dú)立，互相無(wú)矛盾，就能在這個(gè)基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo)，建設(shè)新體系。哪怕這其中有些公理似乎是很叫人吃驚，很有些不習(xí)慣也不要緊。這么一來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)家的工作方法、方向都產(chǎn)生了很大影響。

　　大家都知道怎么去系統(tǒng)化一門(mén)數(shù)學(xué)了，就是先找出一組公理，然后通過(guò)推理頭頭是道推出其他內(nèi)容。把數(shù)學(xué)的各個(gè)分支都弄成一個(gè)個(gè)公理的體系，就是數(shù)學(xué)地公理化思潮，非歐幾何在這場(chǎng)變化中的作用是很明顯的。首先是對(duì)歐氏幾何嚴(yán)格公理化。歐氏的《原本》雖然也說(shuō)得頭頭是道，但有很多缺點(diǎn)。比如那第四條公理，“凡直角都相等”是可以證明的，不能算公理，不獨(dú)立。再說(shuō)對(duì)一些基本的概念，比如說(shuō)“點(diǎn)、線、面”，沒(méi)有和一般的概念區(qū)別開(kāi)來(lái)。一般的概念都從它們出發(fā)來(lái)定義的。而基本概念本身就不能下定義，否則會(huì)造成邏輯上的麻煩，鬧不好會(huì)循環(huán)定義。

　　正是這么一考慮，德國(guó)大數(shù)學(xué)家希爾伯特在 1899 年出版了《幾何學(xué)基礎(chǔ)》，使得歐氏幾何嚴(yán)格地公理化了。“我們必須能夠用‘桌子、椅子和啤酒杯’，來(lái)代換點(diǎn)、線、面”，希爾伯特的這番話倒不是說(shuō)去研究什么啤酒杯，而是說(shuō)點(diǎn)、線、面不能再給出什么定義了，應(yīng)該作為原始基本概念，所以不管換成什么名稱(chēng)也無(wú)所謂。

　　這一來(lái)，數(shù)學(xué)就更抽象，但是概括包含的內(nèi)容就更多。這種著重于對(duì)象之間的關(guān)系和結(jié)構(gòu)，但是并不把對(duì)象看作是某一些具體的東西，確實(shí)是數(shù)學(xué)中更高明的一步，一種劃時(shí)代的進(jìn)步。

　　同樣的進(jìn)步在代數(shù)中也在進(jìn)行著。

　　比如，乘法有結(jié)合律，加法也有結(jié)合律，咱們把這條共性抽象出來(lái)，就有這么個(gè)式子：

　�。╝*b）*C＝a*（b*c）

　　式子中那“*”號(hào)，就代表了一種更一般的運(yùn)算，比如可以認(rèn)為是乘法，也可以認(rèn)為是加法，不過(guò)不能是除法。這式子中的a、b、c可以是各種各樣的數(shù)，也可以是多項(xiàng)式。

　　更進(jìn)一步，a、b、c甚至于可以和數(shù)沒(méi)有一點(diǎn)關(guān)系，而表示另外的對(duì)象。比如，看作是撥鐘的一個(gè)動(dòng)作，可以順時(shí)針撥幾個(gè)小時(shí)，也可以逆時(shí)針向后撥幾個(gè)小時(shí)。那么a*b中，那個(gè)運(yùn)算“*”又看作什么呢？可以看作是先進(jìn)行撥鐘的動(dòng)作a，然后再進(jìn)行撥動(dòng)動(dòng)作b，是撥的順序。

　　這樣一來(lái)，a、b、c 就是多種多樣的向前或向后撥的動(dòng)作。有沒(méi)有結(jié)合律（a*b）*c=a*（b*c）呢？當(dāng)然有。因?yàn)橹灰猘、b、c固定下來(lái)，先做哪個(gè)動(dòng)作都不打緊，最后結(jié)果是一樣的。

　　這就是十九世紀(jì)經(jīng)過(guò)革命的代數(shù)所具有的特點(diǎn)。不但符號(hào)代表的對(duì)象可以更廣泛，五花八門(mén)；而且更著重“代數(shù)結(jié)構(gòu)”。不管什么對(duì)象，什么運(yùn)算，只要符合相同的規(guī)律，就認(rèn)為是同一種代數(shù)結(jié)構(gòu)。

　　上面的那種代數(shù)結(jié)構(gòu)都有結(jié)合律，咱們就把它叫做“半群”。而首先將代數(shù)結(jié)構(gòu)提上數(shù)學(xué)日程的，就是法國(guó)天才數(shù)學(xué)家伽羅華（1811—1832）。而提到伽羅華，也必定要提起挪威的阿貝爾（1802－1829），他們都像在數(shù)學(xué)天空中閃電般的流星，發(fā)射出早期的異彩，后來(lái)又都不幸夭折，而死后才有天才這樣的評(píng)價(jià)。

　　阿貝爾一生道路坎坷，郁郁不得志。這倒霉的命運(yùn)從一出生就伴隨他，從小就受窮，連病都沒(méi)錢(qián)去治。13歲時(shí)到一所教會(huì)學(xué)校學(xué)習(xí)，本來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)是不大感興趣的。正在這時(shí)，來(lái)了一位好老師，年輕熱情，叫洪保。

　　洪老師很快發(fā)現(xiàn)阿貝爾是塊學(xué)數(shù)學(xué)的料，立刻對(duì)他格外關(guān)心，送一些書(shū)讓他自學(xué)，還經(jīng)常在一起討論當(dāng)時(shí)名家歐拉、拉格朗日的著作。阿貝爾立誓要解決五次方程的根式求解問(wèn)題。

　　原來(lái)自卡當(dāng)、塔爾塔里亞解決了三次方程的求根，卡當(dāng)?shù)膶W(xué)生解決了四次以后，五次方程的求根公式卻一直沒(méi)有得到。

　　數(shù)學(xué)大師拉格朗日（1736—1813）想了不少高招還是攻不下來(lái)。1821年，19歲的阿貝爾到克里斯蒂大學(xué)上學(xué)，學(xué)識(shí)大進(jìn)更想一展身手。

　　一開(kāi)始他認(rèn)為已經(jīng)得出了五次方程的求根公式。后來(lái)再檢查一下，發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤。連遭挫折，阿貝爾反復(fù)琢磨，悟出很可能根本就沒(méi)有這樣的求根公式！經(jīng)過(guò)艱苦的努力，阿貝爾終于證明了用公式解一般的五次方程是不可能的。論文發(fā)表后，阿貝爾小小地發(fā)了點(diǎn)財(cái)，拿到一些錢(qián)，允許他到歐洲大陸去旅行。他從法國(guó)到德國(guó)，遍訪名家，誰(shuí)也不把他當(dāng)盤(pán)萊。他再把論文寄給哥廷根的高斯，希望能“一識(shí)韓荊州”，結(jié)果還是不理不睬。

　　阿貝爾一氣之下直奔柏林，不去哥廷根了。在那里他十分幸運(yùn)地結(jié)識(shí)了工程師克雷爾�？死谞柣垩圩R(shí)英雄，甘當(dāng)了一次人梯，特地辦了個(gè)刊物讓阿貝爾施展。這本雜志叫《純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)》，后來(lái)都叫它是“克雷爾雜志”。阿貝爾在第一卷上就發(fā)表了五篇以上論文，頭幾期一共登了22篇。杰出的成就，終于使大家刮目相看。

　　1827年，阿貝爾回到挪威。談不上衣錦榮歸，卻依然是一貧如洗。這時(shí)他又得上了肺結(jié)核，真是屋漏偏逢連陰雨。第二年，四名法蘭西科學(xué)院院士，緊急致信挪威國(guó)王，請(qǐng)他為阿貝爾創(chuàng)造點(diǎn)外部環(huán)境。

　　可是阿貝爾也撐不了多少天了。1829 年 4 月的一天，他永遠(yuǎn)閉上了眼�？墒遣鸥羧�天，卻又接到了柏林大學(xué)的聘書(shū)，他是再也沒(méi)法應(yīng)這個(gè)聘了。再說(shuō)阿貝爾得出五次方程的結(jié)論以后，引起了許多人的注意。內(nèi)中有一位后生小子，還是個(gè)17歲的中學(xué)生，就接著阿貝爾沒(méi)有做完的事情繼續(xù)做下去，徹底解決了方程求解問(wèn)題。

　　此人是誰(shuí)？他就是數(shù)學(xué)史上有名的青年才子伽羅華（1811—1832）。伽羅華的生命比阿貝爾更短、更悲慘。他是巴黎附近一個(gè)小鎮(zhèn)鎮(zhèn)的孩子。12歲上中學(xué)，有些老師給了他“朽木不可雕”的評(píng)語(yǔ)。過(guò)了三年來(lái)了位數(shù)學(xué)教師范厄爾，慧眼識(shí)英才，指導(dǎo)小伽羅華自學(xué)了許多名家巨作。剛過(guò)15歲，伽羅華就顯示出非凡的數(shù)學(xué)天才。

　　眼看著就要進(jìn)大學(xué)，小伽羅華信心十足，兩次報(bào)考重點(diǎn)院校名牌大學(xué)——高等工藝學(xué)院，兩次名落孫山，他滿足不了考官們的死板要求。伽羅華堅(jiān)持不懈，終于在1829年進(jìn)了師范學(xué)院，準(zhǔn)備當(dāng)個(gè)教師，吃口安穩(wěn)飯。

　　在考上大學(xué)之前，中學(xué)生伽羅華就開(kāi)始研究方程論啦。這時(shí)，年輕的阿貝爾成功的消息傳來(lái)，伽羅華大為振奮。繼而覺(jué)得還有不少問(wèn)題需要解決，“阿貝爾的杰出成就轟動(dòng)世界，但他還沒(méi)有解決哪些方程可以用根式求解，而哪些不能。”

　　比如說(shuō)，一般的五次方程是不能有求根公式了，但一些具體的五次方程，

　　阿貝爾當(dāng)然也想過(guò)，什么條件下能有根式求解，但苦苦思索終不可得。

　　絕代天才伽羅華既找準(zhǔn)了這個(gè)問(wèn)題，就傾注全力攻堅(jiān)。恰在此時(shí)，他又遇到一位高手里查德，伽羅華受此人指點(diǎn)，才能充分釋放出來(lái)。1828年，這位17歲的中學(xué)生徹底解決了代數(shù)方程有根式解的條件問(wèn)題，取得了劃時(shí)代意義的成果。大家可能會(huì)問(wèn)，一個(gè)方程的解的問(wèn)題，又如何稱(chēng)上劃時(shí)代？

　　原來(lái)，伽羅華在研究這個(gè)問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“群”這種代數(shù)結(jié)構(gòu)，創(chuàng)立了“群”的研究，這才真正是革了一次命，劃了一下時(shí)代。

　　“群”是一種重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)。除了要滿足結(jié)合律以外，還要再加上一些條件。所以“群”這種結(jié)構(gòu)就是在上面說(shuō)過(guò)的“半群”的基礎(chǔ)上再添幾條。

　　添的條件倒也一般，第一條是算的對(duì)象里要有一個(gè)元素，叫做單位元，不管其他什么元素和它進(jìn)行運(yùn)算，仍然不變。也就是 a*b＝e*a＝a，這 e 就表示那單位元素。

　　當(dāng)然，運(yùn)算不同、運(yùn)算的對(duì)象不同，這單位元e也不同。比如在乘法里，e當(dāng)然是1；在普通的加法里e＝0，因?yàn)檫@時(shí)候運(yùn)算“*”代表“＋”，a＋o＝o＋a＝a嘛。而如果 a、b、c 等等表示撥鐘的動(dòng)作，那么 e 就是把鐘撥上十二圈，十二小時(shí)這么個(gè)動(dòng)作。你想想，假設(shè)a是把鐘撥到四點(diǎn)，這一個(gè)動(dòng)作。那么a*e就是先撥到四點(diǎn)，再撥十二圈，不還是四點(diǎn)，還等于a嘛：a*e＝ｅ*a＝a。

　　群，還要添上一個(gè)條件，雖然也簡(jiǎn)單，咱們也不打算再多絮叨。千句并成一句：群是近現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的中心，是一種重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

　　降了群這種代數(shù)結(jié)構(gòu)以外，其他還有環(huán)、域、格，等等。

　　年輕的中學(xué)生伽羅華就是發(fā)現(xiàn)了置換群與代數(shù)方程之間的關(guān)系，他用群這種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，非常清晰非常簡(jiǎn)單地一舉攻克了方程的根式求解問(wèn)題。

　　伽羅華為他的發(fā)現(xiàn)欣喜若狂，立即把論文寄給法蘭西科學(xué)院。1828年6月1日，科學(xué)院舉行例會(huì)。主審伽羅華論文的，是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)大權(quán)威柯西（1789—1857）。眾位德高望重的先生正想看看這位乳臭小子搞點(diǎn)什么名堂，可是柯西打開(kāi)皮包，雙手一攤，說(shuō)對(duì)不起，那篇論文找不到了。

　　過(guò)了兩年，伽羅華將論文精心修改，再交法蘭西科學(xué)院。這次決定讓老院士、數(shù)學(xué)家傅立葉（1768—1830）審查�？墒沁�沒(méi)等到開(kāi)會(huì)，傅先生撒手西歸，伽小子的論文又一次下落不明。

　　伽羅華總覺(jué)得“事不過(guò)三”，就第三次再送出自己的成果。這一次總算有了審查意見(jiàn)，著名數(shù)學(xué)家泊松（1781—1840）花了四個(gè)月時(shí)間看稿，最后簽上了“完全不可理解”幾個(gè)字。曲高和寡，連權(quán)威都不解其中奧妙，可見(jiàn)伽羅華領(lǐng)先了多少步！

　　此時(shí)的伽羅華在大學(xué)上學(xué)，卷入了大革命的浪潮，學(xué)校把這位不安分分子開(kāi)除了，還坐了幾個(gè)月的牢。出獄不久，晦氣還未除盡呢，他的情敵又提出挑戰(zhàn)，要和他決斗。

　　決斗前夕，伽羅華料定難逃此劫，要知道對(duì)方是位帝國(guó)的小軍官。所以伽羅華就匆忙將自己的筆記、論文手稿寄給好友，托付后事。

　　決斗的場(chǎng)面，非在下之禿筆所可描繪，無(wú)非是赳赳武夫，翩翩公子，槍來(lái)彈往，血肉模糊。那赳赳武夫是死是傷咱倒不必管他，只是可憐的羅華卻傷重不治，24小時(shí)后閉上了眼，時(shí)年21歲。

　　過(guò)了 14 年，1846 年，法國(guó)數(shù)學(xué)劉維爾（1809—1882）在整理各種遺稿時(shí)，驚異地發(fā)現(xiàn)了伽羅華的思想。他把伽的論文發(fā)表在《數(shù)學(xué)雜志》上。直等到1870年，離伽羅華的發(fā)現(xiàn)已經(jīng)40多年了，他的成就才得到充分肯定。人們撣去了埋在明珠上的厚厚塵土。

　　代數(shù)在更抽象、更有用的方向上發(fā)展。和幾何的解放同時(shí)，代數(shù)也得到了真正的解放。這種解放就表現(xiàn)在對(duì)代數(shù)結(jié)構(gòu)的承認(rèn)，對(duì)代數(shù)結(jié)構(gòu)的看法。

　　比如說(shuō)人們規(guī)定一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，其中的“乘法”，沒(méi)有交換律，也就是a*b不等于b*a，那么你會(huì)怎么看？你肯定很不習(xí)慣，或者認(rèn)為是胡說(shuō)八道。

　　當(dāng)年哈密頓（1805—1865）就遇到過(guò)這樣一種巨大壓力。大家就像責(zé)問(wèn)幾何中怎么會(huì)有不等于 180°的三角形一樣，也非常地憤怒代數(shù)中還有什么交換律不成立的運(yùn)算。

　　出于實(shí)際的考慮，哈密頓給出了這樣一個(gè)乘法表，這里一共有四個(gè)元素l、i、j、k。任兩個(gè)數(shù)相乘，能從這張表中查出來(lái)。比如i×j=k，j×i=k。

　　看清楚了吧？i×j≠j×i！沒(méi)有交換律的乘法！據(jù)說(shuō)，這是經(jīng)過(guò)他 15年的冥思苦想，站在都柏林的一座橋上想到的。連他自己都被這種離經(jīng)叛道突破傳統(tǒng)的思想給震住了，就把這張乘法表刻在橋欄桿上，看看這個(gè)不同凡響的怪物到底是咋回事。

　　其實(shí)，代數(shù)結(jié)構(gòu)的幾條規(guī)定，和幾何體系中的公理差不多，都有某種隨意性，不能只是一種。幾何中的公理?yè)Q了，就得到不同的幾何；而代數(shù)結(jié)構(gòu)中規(guī)則和算律換了，就得到不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

　　這么一種思想漸漸深入人心，大家便見(jiàn)怪不怪，不滿足交換律的代數(shù)越見(jiàn)越多。英國(guó)數(shù)學(xué)家凱利（1821—1895）在 1857年就對(duì)矩陣設(shè)計(jì)了一種“乘法”，規(guī)定了一種“乘法”，這種“乘法”就沒(méi)有交換律。

　　近世的代數(shù)學(xué)就這樣慢慢形成了，這是自從符號(hào)以來(lái)，代數(shù)學(xué)的第二次革命，第二次解放。

　　第一次革命，是符號(hào)的大量使用，使得初等代數(shù)成為科學(xué)的獨(dú)立的基礎(chǔ)（古希臘那會(huì)代數(shù)是幾何的附庸）。第二次革命，就是高等代數(shù)學(xué)的開(kāi)始。

　　兩者的區(qū)別那是高山和平地了。

　　初等代數(shù)是高度計(jì)算性的，要討論運(yùn)算也只是常見(jiàn)的四則運(yùn)算，運(yùn)算的對(duì)象不是有理數(shù)就是實(shí)數(shù)，再不就是復(fù)數(shù)，都是具體的。

　　高等代數(shù)學(xué)是概念性的、公理化的，就拿咱們給大家介紹過(guò)的“半群”這種代數(shù)結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，那里的運(yùn)算對(duì)象a、b、c可不只是數(shù)，而是任什么都行，都可以。而運(yùn)算也可以由你來(lái)規(guī)定。

　　今天，代數(shù)學(xué)的影響十分巨大，不管哪一個(gè)數(shù)學(xué)分支不會(huì)沒(méi)有代數(shù)的思想，它給全部數(shù)學(xué)提供了有力的工具。而且各種自然科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)都要用到代數(shù)。

　　除了幾何和代數(shù)的大革命、大變化，19世紀(jì)還發(fā)生了第三個(gè)有深遠(yuǎn)意義的數(shù)學(xué)事件，這就是微積分的基礎(chǔ)嚴(yán)格化、精確化。

　　咱們?cè)谇懊娼o大家說(shuō)過(guò)，微積分初創(chuàng)之時(shí)，有兩個(gè)麻煩，其中一個(gè)給牛頓—萊布尼茨解決了。另一個(gè)麻煩卻一直沒(méi)解決，起碼是沒(méi)徹底解決。什么麻煩呢？就是基礎(chǔ)不緊密，不穩(wěn)固。

　　比如在牛頓老前輩那會(huì)兒，求微分時(shí)通常都給自變量一個(gè)小小的增加，叫做自變量的無(wú)窮小量。有時(shí)候，他把這無(wú)窮小量不當(dāng)作零，去做除數(shù)；有時(shí)候，他又把這無(wú)窮小量當(dāng)作零，在計(jì)算中舍去。反正怎么有利怎么干，但是結(jié)果卻總是對(duì)的，弄得大家都挺奇怪，挺納悶。

　　可大伙當(dāng)時(shí)都忙著把微積分的大廈朝大里、朝高處擴(kuò)展，那顧得上這基礎(chǔ)！這倒正好倒個(gè)身，先蓋房，后打樁。其實(shí)這在科學(xué)發(fā)展上卻并不奇怪。

　　一開(kāi)始是打天下，要不受束縛天馬行空，這時(shí)就講嚴(yán)格，往往限制了思想。等到一門(mén)學(xué)科成熟了，該暴露的矛盾都暴露出來(lái)了，那就該給它立立法啦！

　　用嚴(yán)密的邏輯規(guī)范它，最好整出一個(gè)公理體系來(lái)！

　　那么這無(wú)窮小量到底是怎么回事呢？是把它看成“零”，還是看成“非零”？回答倒挺古怪：既不是“零”，又不是“非零”。此話怎講？

　　原來(lái)，“零”也好，“非零”也罷，都是常數(shù)，而無(wú)窮小量乃是一變量，在無(wú)窮地變化下去。比如咱們前面提過(guò)的，阿基里斯和烏龜距離是：

　　100，10，1，0．1，0．01，0．001……

　　它就是一個(gè)無(wú)窮小量，可以用一個(gè)字母表示，比如用 A。那么這 A 現(xiàn)在就是一個(gè)變量，而 A 將無(wú)窮變下去，變化的趨勢(shì)是零，這樣我們就說(shuō)變量 A的極限是零。

　　所以極限就是看變量變化的趨勢(shì)，是一種涉及到無(wú)窮的運(yùn)算，新的運(yùn)算。微積分中處處要遇到無(wú)窮，處處就要用到極限運(yùn)算。它是微積分的基礎(chǔ)。

　　首先認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)的是達(dá)蘭貝爾（1717—1783），他在1754年就準(zhǔn)確地指出：需要有嚴(yán)格的極限理論。說(shuō)歸說(shuō)，做歸做；這一件重要的“打樁工程”，又過(guò)了70年才有眉目，那是法國(guó)大權(quán)威柯西的功勞了。盡管他對(duì)伽羅華是不識(shí)英才，不過(guò)這件功勞還是要說(shuō)一番的。

　　當(dāng)然，柯西定義極限是比較嚴(yán)格的，不像咱們上面那樣，列一串?dāng)?shù)，請(qǐng)您看看變化趨勢(shì)，然后就下結(jié)論，說(shuō)有極限或者沒(méi)有極限。

　　那樣做太直觀，很生動(dòng)。但是不嚴(yán)密，容易出錯(cuò)�？挛骶陀昧藬�(shù)學(xué)的語(yǔ)言，用不等式來(lái)刻畫(huà)整個(gè)極限過(guò)程。

　　后來(lái)又過(guò)了50年，德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯在1874年又提出來(lái)，柯西的極限理論，那“打樁工程”做得不徹底，基礎(chǔ)沒(méi)打牢！真正的基礎(chǔ)是實(shí)數(shù)理論！

　　這又是何意思呢？咱們先看下一列數(shù)：

　　1，1．4，1．414，1．4142，1．41421，……

　　如果無(wú)理數(shù)沒(méi)有明確的地位，那么許多極限都不知結(jié)果到底是個(gè)什么東西。所以魏爾斯特拉斯提的很對(duì)，極限的基礎(chǔ)在實(shí)數(shù)理論，準(zhǔn)確地說(shuō)，在無(wú)理數(shù)的定義上。大家在初中見(jiàn)過(guò)無(wú)理數(shù)的定義嗎！沒(méi)有，那時(shí)只不過(guò)列舉了一些無(wú)理數(shù)的例子而已。

　　那么究竟如何定義呢？咱們知道，有理數(shù)是由整數(shù)發(fā)展而來(lái)的，而有理數(shù)就由整數(shù)來(lái)定義：兩個(gè)整數(shù)之比。用舊的數(shù)定義新的數(shù)，這是完全可以的。

　　所以數(shù)學(xué)家們，就用有理數(shù)來(lái)定義無(wú)理數(shù)。這個(gè)工作比較艱苦，由魏爾斯特拉斯（1815—1897）、戴德全（1831—1916）、康托（1845—1918）完成了。這三位都是德國(guó)數(shù)學(xué)家，都是在兩個(gè)世紀(jì)之交時(shí)做出了偉大貢獻(xiàn)的。他們的基本思路都一樣，要給無(wú)理數(shù)一個(gè)明確的“說(shuō)法”。而戴德全和康托，做的就更嚴(yán)格一點(diǎn)，嚴(yán)格地用有理數(shù)來(lái)定義、或者說(shuō)來(lái)產(chǎn)生無(wú)理數(shù)。

　　無(wú)理數(shù)得到了定義，整個(gè)實(shí)數(shù)就嚴(yán)密了，而極限的基礎(chǔ)就鞏固了。一場(chǎng)由于無(wú)窮小問(wèn)題，由于無(wú)理數(shù)的地位而引起的爭(zhēng)論，也就是平常所說(shuō)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，得到徹底解決。

　　說(shuō)起來(lái)，魏爾斯特拉斯是大器晚成的人。他年青時(shí)代研究的是法律、經(jīng)濟(jì)，很遲才開(kāi)始搞數(shù)學(xué)，而且還是個(gè)中學(xué)的教書(shū)匠�？磥�(lái)一輩子只能弄弄初等數(shù)學(xué)了。一般認(rèn)為，要成為第一流的數(shù)學(xué)家，必須很早就開(kāi)始進(jìn)行數(shù)學(xué)研究，不能老泡在初等數(shù)學(xué)里解五花八門(mén)的題。

　　但是魏爾斯特拉斯卻打破了這個(gè)一般！雖然他40歲才到柏林大學(xué)，過(guò)了八年才當(dāng)上教授，但他照樣在高等數(shù)學(xué)上做出了杰出的成就。而且書(shū)教得更好，是世界知名的高等數(shù)學(xué)教師。更被稱(chēng)為“現(xiàn)代分析之父”。

　　和魏先生相比，康托的人生是另一番的色彩。這位處于世紀(jì)之交的偉人，做了一件可以說(shuō)讓數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)入新世紀(jì)的工作，開(kāi)天辟地。

　　康托出生于俄國(guó)的一個(gè)丹麥—猶太血統(tǒng)家庭。后來(lái)全家從圣彼得堡遷居法蘭克福。老爸讓他學(xué)工，所以在1863年他18歲時(shí)，進(jìn)了柏林大學(xué)，這一下可真是如魚(yú)得水，他得到魏爾斯特拉斯高明的指點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)的興趣更濃了。

　　四年后的博士論文中就有了“離經(jīng)叛道”的觀點(diǎn)了，他認(rèn)為，在數(shù)學(xué)中提問(wèn)的藝術(shù)比起解法來(lái)更重要。

　　康托在1869年到哈勒大學(xué)教書(shū)，過(guò)了十年提升為教授，一直到去世，都在這工作。倒不是康托想在這小地方混一輩子，他也很想在柏林找一個(gè)錢(qián)多一點(diǎn)的、聲望高一些的教授職位。

　　但是那位柏林的大權(quán)威克羅耐克（1823—1891）處處跟他為難，跟他過(guò)不去。原來(lái)這位克老頭對(duì)康托的成果很難接受，許多東西和他腦瓜里的傳統(tǒng)背道而馳，完全相反。這自然引起他的敵視。

　　這位克老頭粗暴地攻擊康托的思想，整整十年他都沒(méi)放松過(guò)。弄得康托精神崩潰，常常住病院。雖然在1887年好了一陣子，恢復(fù)工作了，可是后來(lái)又不靈了。1918年1月6日，康托在哈勒大學(xué)附近的精神病院中去世。

　　那么康托的驚世駭俗之論，石破天驚之語(yǔ)，究竟是所說(shuō)何論，所論何事呢？

　　說(shuō)起來(lái)倒也無(wú)啥稀奇，那方法就是古人數(shù)數(shù)時(shí)就用過(guò)的“一一對(duì)應(yīng)”！啥叫“一一對(duì)應(yīng)”？比如班上有 40 名學(xué)生，40 個(gè)位子，那么一人一位；反過(guò)來(lái)，一位一人，這就叫一一對(duì)應(yīng)。如果哪一天位子多出來(lái)兩個(gè)，就知道人少位子多了，兩者不一樣多。

　　如此說(shuō)來(lái)，此方法很好改革，經(jīng)常用�？墒侨绻麑⑦@方法用好用活一直用下去，卻有了想不到的結(jié)果。我們將話題再拉到伽利略身上。

　　大家應(yīng)能記得，伽利略老先生曾有如此一說(shuō)：

　　“平方數(shù)的個(gè)數(shù)不小于所有數(shù)的總數(shù)；所有數(shù)的總數(shù)也不大于平方數(shù)的個(gè)數(shù)。”

　　所有數(shù)，就是所有的自然數(shù)，即 1、2、3、4，……等等，有無(wú)窮多個(gè)。

　　而平方數(shù)，即指……等等，伽先生之意，是說(shuō)這兩部分?jǐn)?shù)完全一樣多！這可是亙古未有之論！要知道，平方數(shù)是自然數(shù)的一部分；1，4，9，25，……自然數(shù)的一部分，竟然和自然數(shù)的全體一樣多，豈非大大出人意外？“部分小于全體”，這是舉世公論的原則，歐幾里德在《原本》中，更把它列為公理之一，為何伽利略竟反其道而行？

　　那么伽利略為何有此結(jié)論？是否故意出此出人意外之狂言以招搖天下？非也。伽利略是有根有據(jù)的。根據(jù)就是“一一對(duì)應(yīng)”。請(qǐng)看如下兩者之間的一一對(duì)應(yīng)：

　　兩者之間，每個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)著對(duì)方唯一的一個(gè)數(shù)，就像坐位子，一位一人，反過(guò)來(lái)，也一人一位，位子與人完全一樣多。如今看來(lái)，平方數(shù)與自然數(shù)也是這番情境，結(jié)論自然不言自明：兩者一樣多！

　　結(jié)論既得，則“全體大于部分”的公理頃刻瓦解。原來(lái)，這條原則在對(duì)象只有有限個(gè)時(shí)，是完全對(duì)的；而一涉及到無(wú)窮，就有時(shí)對(duì)有時(shí)不對(duì)了。而自然數(shù)全體、平方數(shù)全體都是無(wú)窮。

　　比如說(shuō)，自然數(shù)全體1到100這一部分相比，仍然是“全體大于部分”，因?yàn)閮烧咧�間不能一一對(duì)應(yīng)。但是若是伽利略所說(shuō)的情況，那么這條以前的“公理”就不“公”了。這“公理”時(shí)對(duì)時(shí)錯(cuò)，當(dāng)然就不能再姓“公”，這是進(jìn)入無(wú)窮世界后的又一大發(fā)現(xiàn)。

　　這無(wú)窮世界的方方面面就是如此的不同，絕對(duì)能讓你留連忘返，樂(lè)不思蜀。當(dāng)年的康托大師就是因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了這無(wú)窮的奧妙，不禁萬(wàn)分驚異，連自家也不相信，更使那些權(quán)威粗暴猛烈地攻擊十年。

　　康托早期對(duì)微積分的基礎(chǔ)很有研究。繼而他對(duì)“無(wú)窮點(diǎn)集”作了描繪。什么是點(diǎn)集呢？就是點(diǎn)的集合。集合這個(gè)概念現(xiàn)在或多或少大家都了解一點(diǎn)。而康托就是集合論的奠基人，獨(dú)創(chuàng)者。一個(gè)獨(dú)行天下，獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷，這在數(shù)學(xué)的發(fā)展中倒是不多見(jiàn)的。

　　康托稱(chēng)，集合是一些確定的、彼此不同的東西的總體。比如，某人書(shū)包中書(shū)的全體，可構(gòu)成一個(gè)集合；太陽(yáng)系中所有行星，亦可成一集合。此外，全體自然數(shù)，全體平方數(shù)，某個(gè)二次方程的根，等等，都各自能構(gòu)成一個(gè)個(gè)集合。而組成集合的“東西”，康托把它叫做集合中的元素。

　　緊接著，康托決定討論一下集合中元素多少的問(wèn)題�？低性谶@里抓住了比較多少的關(guān)鍵：一一對(duì)應(yīng)。這可是每個(gè)平常人都經(jīng)常用的，可你自己還渾然不覺(jué)。

　　比如，你到店里買(mǎi)十根鉛筆，這買(mǎi)的鉛筆自然也能構(gòu)成一個(gè)集合。那你怎么能知道這個(gè)集合中的元素有多少？有人說(shuō)，那太簡(jiǎn)單了，一根一根數(shù)唄，數(shù)完了是幾，就是多少根。

　　告訴你，你這時(shí)用的就是一一對(duì)應(yīng)！為什么呢？因?yàn)槟阍跀?shù)第一根時(shí)，嘴里說(shuō)了個(gè)“1”，再數(shù)下一根，跟著說(shuō)個(gè)“2”，……，這么數(shù)著說(shuō)著，就是把買(mǎi)的鉛筆和從1開(kāi)始的自然數(shù)“一一對(duì)應(yīng)”起來(lái)了！

　　數(shù)完了，就在鉛筆的集合，和數(shù)的某個(gè)集合之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。這時(shí)，咱們當(dāng)然可以說(shuō)兩者的元素一樣多！于是你也就知道買(mǎi)了幾根鉛筆。

　　平常的道理，人人都用，可就是熟視無(wú)睹！而康托就把這其中的道理一總結(jié)，再一推廣，就得出了驚人的發(fā)現(xiàn)�？低姓J(rèn)為不僅有限的集合用一一對(duì)應(yīng)可以知道多少，而且元素?zé)o限多的集合更要用這種方法，正如伽利略問(wèn)題一樣。這樣，他就把兩個(gè)能夠一一對(duì)應(yīng)的集合稱(chēng)為有相同的“勢(shì)”，意思是一樣“多”。

　　運(yùn)用這一思想，康托發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)集合與自然數(shù)集合等勢(shì)！也就是兩者元素一樣多！這可真是個(gè)驚人的發(fā)現(xiàn)！要知道，在數(shù)軸上有理數(shù)密密麻麻地分布著，要多稠密有多稠密；而自然數(shù)卻稀稀落落，還只在數(shù)軸的右半部！

　　請(qǐng)想一想，每一個(gè)自然數(shù)周?chē)�，不�?jiǎn)直就有無(wú)數(shù)多個(gè)數(shù)也數(shù)不清的有理數(shù)嗎？

　　但是經(jīng)過(guò)康托用一一對(duì)應(yīng)的巧妙辦法，確實(shí)使有理數(shù)與自然數(shù)集等勢(shì)！只要看看這張圖，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，所有的正有理數(shù)都在這個(gè)陳列中，第一行是分母為1的有理數(shù)，第二行是分母為2的。也不是說(shuō)，現(xiàn)在證明了所有正有理數(shù)與自然數(shù)集一一對(duì)應(yīng)！那么全體有理數(shù)，即再加上負(fù)有理數(shù)和零，還能做到這一點(diǎn)嗎？這也不難，只要在每個(gè)正有理數(shù)旁邊，添上那個(gè)負(fù)的即可：當(dāng)然，在最前面先加上 0，這樣所有的有理數(shù)就有規(guī)律地排成了一列，也就是和自然數(shù)集一一對(duì)應(yīng)！說(shuō)明兩者“等勢(shì)”，或者說(shuō)“一樣多”！有人會(huì)說(shuō)，因?yàn)檫@兩個(gè)集合都是無(wú)窮多元素，所以別費(fèi)勁我就清楚，凡是無(wú)窮都一樣多。這么說(shuō)你可就大錯(cuò)特錯(cuò)了！康托進(jìn)一步證明了，自然數(shù)和實(shí)數(shù)，就建立不起來(lái)任何一種—一對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)然，這是用反證法來(lái)證明的，因?yàn)槟阋�說(shuō)明任何一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系都不存在、最好的辦法就是用反證法。

　　這就說(shuō)明了，無(wú)窮與無(wú)窮是不同的。實(shí)數(shù)要比有理數(shù)、自然數(shù)高一個(gè)層次，因?yàn)?ldquo;勢(shì)”不相等。而有理數(shù)、自然數(shù)是同一個(gè)層次的無(wú)窮。

　　康托就是這樣一位給無(wú)窮世界分出層次的立法者，其中最低一個(gè)無(wú)窮的層次，無(wú)窮世界中“勢(shì)”最小的，就是自然數(shù)集、有理數(shù)集。

　　康托說(shuō)，如果自然數(shù)集的勢(shì)用d表示的話，那么有理數(shù)集的勢(shì)當(dāng)然也是d，但實(shí)數(shù)集的勢(shì)可就大于d了。他進(jìn)一步證明，有一級(jí)比一級(jí)更大的勢(shì)，無(wú)窮的階梯就這樣給他找出來(lái)，證出來(lái)了。

　　接著，他又引進(jìn)了基數(shù)和序數(shù)的理論，驚人的創(chuàng)造，卓越的證明一項(xiàng)接一項(xiàng)。他一個(gè)人就這樣從1874年29歲起，一直寫(xiě)到1897年，完整地獨(dú)立地建造了整個(gè)集合論基礎(chǔ)。他的成績(jī)是這樣巨大，工程是如此宏偉，結(jié)論是如此驚人。當(dāng)他得出、證出一些結(jié)論時(shí)，他寫(xiě)信給戴德金說(shuō)：“我驚呆了，我簡(jiǎn)直不能相信它。”

　　他驚呆在何處呢？原來(lái)他證出了，一條線段上的點(diǎn)與一條直線上的點(diǎn)一樣多！這只要看一看下頁(yè)的圖就能明白，圓周上的點(diǎn)和直線上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。更進(jìn)一步，他證明了，線段上的點(diǎn)，直線上的點(diǎn)，平面上的點(diǎn)，整個(gè)地球的點(diǎn)，統(tǒng)通一樣多！真是令人目眩，吃不消！

　　不過(guò)咱們可要給大伙說(shuō)清楚，康大師可是規(guī)規(guī)矩矩用一一對(duì)應(yīng)的方法給你證明出來(lái)的，不是亂說(shuō)，更不是說(shuō)凡是無(wú)窮都一樣。

　　盡管有人竭力反對(duì)，正像人們后來(lái)所說(shuō)的，這些思想和想法是如此的革命，不遭到反對(duì)那倒是個(gè)奇跡，然而，許多卓越的數(shù)學(xué)家深深為之感動(dòng)。戴德金、魏爾斯特拉斯、希爾伯特，他們都勇敢地支持捍衛(wèi)康托的集合論。

　　希爾伯特（1862—1943），這位20世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家，對(duì)他本國(guó)同行的偉大創(chuàng)造贊不絕口：“沒(méi)有人能把我們從康托為我們創(chuàng)造的樂(lè)園中開(kāi)除出去。”希爾伯特的贊美到了無(wú)以復(fù)加、最高級(jí)的水平：“這是數(shù)學(xué)思想的最驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類(lèi)活動(dòng)的最美的表現(xiàn)之一”。

　　大哲學(xué)家羅素把康托的工作說(shuō)成是“可能是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作。”

　　確實(shí)，集合論的創(chuàng)立為整個(gè)數(shù)學(xué)奠下了基礎(chǔ)。今天的數(shù)學(xué)，每一個(gè)分支都把集合論作為第一塊基石。就是以前的一些老概念，人們用了幾十年幾百年了，也用集合論的語(yǔ)言和思想再改造一下，重新包裝一番，果然是美倫美奐，思想更深刻，形式更簡(jiǎn)約。

　　1900年，新舊世紀(jì)之交，數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展成一個(gè)龐大的領(lǐng)域，一切都井井有條。特別是經(jīng)過(guò)希爾伯特提但的公理化運(yùn)動(dòng)，他的《幾何基礎(chǔ)》的出版，每個(gè)分支都可以如此這般的公理化一番，整得有板有眼。而它們的共同基礎(chǔ)當(dāng)然是集合論。

　　可正當(dāng)其時(shí)，集合論卻出了問(wèn)題，出了大問(wèn)題，整個(gè)數(shù)學(xué)界大為震動(dòng)，數(shù)學(xué)史上第三次危機(jī)爆發(fā)了。

　　什么大問(wèn)題呢？就是出現(xiàn)了自相矛盾怎么也說(shuō)不清的悖論。當(dāng)時(shí)，德國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷格（1848—1925）已經(jīng)完成關(guān)于算術(shù)基礎(chǔ)的兩冊(cè)巨著，這可是整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)工程。而羅素恰恰在這時(shí)候把發(fā)現(xiàn)的悖論告訴了他。

　　弗雷格懊悔不迭：“一個(gè)科學(xué)家遇到的最不痛快的事莫過(guò)于：在工作完成時(shí)，把基礎(chǔ)丟棄。在這部著作即將付印時(shí)，我收到羅素先生的信時(shí)就是這么尬尷。”

　　那么羅素發(fā)現(xiàn)的集合論悖論是什么樣的呢？他自己在 1919 年曾經(jīng)這樣通俗的說(shuō)明了遇到的悖論：有一個(gè)村的理發(fā)師宣布，他給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且只給這些老爺們刮臉。

　　現(xiàn)在對(duì)理發(fā)師自己的臉蛋就發(fā)生了極大的矛盾。假如他給自己刮臉，按照原則，作為理發(fā)師他又不能給自己刮；而假如他不給自己刮，按照規(guī)定，他又得給自己刮臉。

　　刮也不行，不刮也不成，理發(fā)師就這么僵著！當(dāng)然這著名的理發(fā)師悖論只不過(guò)用來(lái)形容集合論中的類(lèi)似情況。而自從在集合論中發(fā)現(xiàn)悖倫，陸陸續(xù)續(xù)又弄出不少�？低斜救艘言缬邪l(fā)現(xiàn)。

　　矛盾到底如何解決，一時(shí)沒(méi)了個(gè)主意。后來(lái)大家想一想，覺(jué)得康托一開(kāi)始對(duì)集合的定義不嚴(yán)密，這是產(chǎn)生矛盾的根源。正本清源，就需要用公理化的方法來(lái)進(jìn)行治理整頓。

　　1908 年，由策梅羅（1871—1953）首先提出了一個(gè)集會(huì)論的公理體系，后來(lái)又經(jīng)弗蘭克爾的改進(jìn)，現(xiàn)在就把這叫做ZF公理集合論。

　　咱們?cè)谶@說(shuō)說(shuō)談?wù)劊�轉(zhuǎn)瞬已有百年光陰，從19世紀(jì)進(jìn)入了20世紀(jì)。這百多年間，中國(guó)數(shù)學(xué)又如何發(fā)展？

　　同學(xué)們自能記清，從徐光啟開(kāi)始慢慢輸入西洋數(shù)學(xué)，中國(guó)的數(shù)學(xué)家正想看看“外面的世界”，喝點(diǎn)牛奶，不料里面的一切卻“很無(wú)奈”，雍正爺關(guān)上窗戶叫了個(gè)暫停。

　　直到鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)大炮轟開(kāi)國(guó)門(mén)，這才開(kāi)始了西洋數(shù)學(xué)輸入的第二次浪潮。從此，中西數(shù)學(xué)合流，并逐漸開(kāi)始現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究。簡(jiǎn)單一句話：與國(guó)際接軌。

　　這第二次浪潮中的兩員主將，就是李善蘭、華蘅芳。

　　李善蘭（1811—1882）是浙江海寧人。十歲時(shí)看了《九章》，自此就喜歡上數(shù)學(xué)啦。二三十歲的時(shí)候就很有名氣了。1852年他來(lái)到上海，用八年時(shí)間和英國(guó)人偉烈亞力一起，翻完了《幾何原本》、《代微積拾級(jí)》、《代數(shù)學(xué)》等許多科學(xué)書(shū)籍。

　　《代微積拾級(jí)》是中國(guó)第一部微積分的譯本。當(dāng)年在上海印刷時(shí)，沒(méi)發(fā)電廠，只好用牛來(lái)帶動(dòng)印刷機(jī)。所以那圈內(nèi)人士也就苦笑笑來(lái)點(diǎn)黑色幽默，說(shuō)老牛你咋跑錯(cuò)了地方不耕隴畝卻耕起了書(shū)田。

　　李善蘭生于晚清亂世，列強(qiáng)環(huán)顧中華，當(dāng)然要探索強(qiáng)兵富國(guó)之道。他曾經(jīng)十分感慨地寫(xiě)道：“嗚呼！今歐羅巴各國(guó)日益強(qiáng)盛，為中國(guó)邊患。推原其故，制器精也；推原制器之精，算學(xué)明也。”李善蘭也有一定道理。

　　李善蘭在素?cái)?shù)論和級(jí)數(shù)論方面都有卓越的成就。他發(fā)現(xiàn)的恒等式被西方稱(chēng)作“李善蘭恒等式”，馳名宇內(nèi)。

　　中西兩大數(shù)學(xué)潮流終于會(huì)合到一起，這部演義也快煞尾。

　　概而言之，以《原本》為代表的西方數(shù)學(xué)和以《九章》為代表的中國(guó)古算，代表兩種不同的傾向，邏輯傾向和算法傾向。

　　邏輯傾向著重概念與推理，算法傾向以機(jī)械的思維方式、程序化的步驟為特色。世界近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上，各個(gè)時(shí)期的傾向也各有側(cè)重。大致來(lái)講，新方法的發(fā)明、新學(xué)科的創(chuàng)建時(shí)期，以算法傾向?yàn)橹鳎坏鹊匠晒�不斷涌現(xiàn)，需要總結(jié)歸納，又轉(zhuǎn)入了邏輯傾向。

　　兩種傾向各有優(yōu)劣，不可偏廢。就最近四百年而言，經(jīng)歷了一個(gè)“算法——邏輯——算法”的循環(huán)，目前正處于算法傾向東山再起、日趨重要之際。17、18世紀(jì)微積分發(fā)明時(shí)，那新方法、新思想剛剛出現(xiàn)，各路豪杰紛紛一試牛刀，只顧用得暢快，那管得有沒(méi)有矛盾！這時(shí)自然是傾向于算法。

　　18世紀(jì)初葉，從柯西、魏爾斯特拉斯諸家對(duì)極限論嚴(yán)格化開(kāi)始，到康托“集合論”，布爾伯特公理化的提倡，又轉(zhuǎn)入了新的演繹時(shí)期，使得數(shù)學(xué)在新的邏輯框架內(nèi)活動(dòng)。

　　上世紀(jì)40年代，轟然一聲巨響，人類(lèi)歷史上最偉大的發(fā)明——電子計(jì)算機(jī)在美國(guó)誕生。不到50年，竟然遍及各領(lǐng)域各學(xué)科各環(huán)節(jié)和地區(qū)。其普及速度之快，影響之大，無(wú)哪一項(xiàng)發(fā)明可與這相比。由此，算法傾向抬頭，已成為這一個(gè)世紀(jì)之交的新特點(diǎn)。

　　“四色問(wèn)題”的證明是計(jì)算機(jī)的勝利，更是以算法為內(nèi)容的計(jì)算數(shù)學(xué)的勝利。所謂“四色問(wèn)題”，是在1852年提出的世界級(jí)難題，它要求證明，任一張平面地圖，總可以用四種顏色區(qū)分相鄰的國(guó)家地區(qū)。

　　一個(gè)世紀(jì)以來(lái)，多少人對(duì)此問(wèn)題都久攻不下，1976年，美國(guó)伊利諾大學(xué)的阿貝爾和哈肯宣布：他們?cè)陔娔X的幫助 F，把世界級(jí)難題“四色定理”證出來(lái)了！數(shù)學(xué)界大大震動(dòng)，郵政局專(zhuān)門(mén)發(fā)行了紀(jì)念封、紀(jì)念戳。它的劃時(shí)代意義就在于：機(jī)器和計(jì)算進(jìn)入了被看作自由發(fā)揮天地的證明領(lǐng)域。今天，計(jì)算已和實(shí)驗(yàn)方法、理論方法鼎足而立，成為第三種科學(xué)方法而引入科技界。

　　今日之?dāng)?shù)學(xué)，不但是科學(xué)，也是能產(chǎn)生直接效益的技術(shù)。“大哉，數(shù)學(xué)之為用”，這是早在1959年，華羅庚教授發(fā)出的贊嘆和感慨。他精彩地?cái)⑹隽藬?shù)學(xué)在“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之迷、日用之繁”林林總總、形形色色諸多方面的應(yīng)用。

　　有人說(shuō)第一次世界大戰(zhàn)是化學(xué)戰(zhàn)（火藥），第二次是物理戰(zhàn)（作戰(zhàn)軍械、原子彈），而當(dāng)今的戰(zhàn)爭(zhēng)就是數(shù)學(xué)戰(zhàn)。

　　海灣戰(zhàn)爭(zhēng)期間，美軍遠(yuǎn)涉重洋，大批人員和物資僅短短一月就調(diào)運(yùn)到位，是由于采用了運(yùn)籌學(xué)和優(yōu)化技術(shù)，運(yùn)用了遍布各地的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)。再看那電子對(duì)抗，敵我模式識(shí)別，其中也時(shí)時(shí)離不開(kāi)數(shù)學(xué)。

　　美國(guó)在進(jìn)攻伊拉克前，對(duì)伊方點(diǎn)燃油井造成的后果捉摸不透，遂就教于某頭腦公司研究此問(wèn)題。該公司找出數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行一系列模擬計(jì)算后得出結(jié)論：大火將造成重大的污染，波及一系列地區(qū)，但不地造成全球性氣候變化，不會(huì)對(duì)生態(tài)和經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)造成重大損失。這才促成布什下決心，刮起“沙漠風(fēng)暴”。

　　而當(dāng)今諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎(jiǎng)，更是數(shù)學(xué)一試拳腳的好去處。從 1969 年到 1981年間頒發(fā)的13個(gè)諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)中，有七個(gè)獲獎(jiǎng)工作是相當(dāng)數(shù)學(xué)化的。不懂?dāng)?shù)學(xué)，就不懂經(jīng)濟(jì)學(xué)。

　　大哉，數(shù)學(xué)之為用！數(shù)學(xué)作為一種文化，對(duì)人類(lèi)精神的熏陶、人類(lèi)素質(zhì)的培養(yǎng)，更在不知不覺(jué)之中顯露其至大至深。從 19世紀(jì)始，到二戰(zhàn)時(shí)期，全球有影響的數(shù)學(xué)家中，德國(guó)約占43％！而且不乏諸多大師級(jí)人物！因此，我們對(duì)德國(guó)人慣有的那種嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真、一絲不茍的作風(fēng)，應(yīng)當(dāng)是不奇怪了。

　　幾千年數(shù)學(xué)風(fēng)云，縮于數(shù)20萬(wàn)字演義之中。興衰交替的史實(shí)，正凸現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想的演變。在此世紀(jì)交替之時(shí)，我們想起上一個(gè)世紀(jì)之交時(shí)的那位大師——希爾伯特所說(shuō)的話：

　　我們必須知道，我們必將知道。