第九回  術(shù)精器利  微積分為變量搭脈

　　        西學(xué)東漸  徐光啟與國際接軌

　　利用剛出爐的微積分，被預(yù)測的哈雷彗星一次又一次地出現(xiàn)。但微積分究竟是誰先發(fā)明？是牛頓，還是萊布尼茨？歐拉雙目失明，還寫出四百多篇論文！中國的梅文鼎家族一共出了五六位數(shù)學(xué)家。

　　且說笛卡爾、費爾馬兩位豪杰，用思維這把利劍，辟得一塊個全新的數(shù)學(xué)疆域，真正是盤古開天地一般的功勞。

　　此話怎講？原來所謂初等數(shù)學(xué)，也就是從盤古一直到16世紀(jì)這一段的數(shù)學(xué)，叫常量數(shù)學(xué)。

　　咱們在中小學(xué)學(xué)的，就是常量數(shù)學(xué)。它主要研究靜止的量的各種運算。這些運算現(xiàn)在看來很簡單，但卻整整折磨了多少哲人的思維，達(dá) 4000多年之久！

　　解析幾何的方法一出，變量登上了數(shù)學(xué)的舞臺唱主角。“兩個未知量決定的一個方程，它對應(yīng)著一條軌跡——一條直線或曲線”。費爾馬的這番話就表示了變量的思想。

　　你想想，一個方程中有兩個未知量，一個未知量變化了，另一個不也隨著變化？這實際上還是一種函數(shù)關(guān)系的體現(xiàn)。

　　有人會說，那么不定方程中，未知量的個數(shù)大于方程的個數(shù)，未知量也固定不下來，也在變化，為什么不說不定方程的出現(xiàn)是變量數(shù)學(xué)的開始呢？那不定方程，人們的注意力集中在方程的求解，而并不關(guān)心未知量是不是在變。

　　解析幾何中，曲線的方程一旦用曲線描繪出來，立即得到一種幾何的直觀。人們從點的運動想到所對應(yīng)的量的變化，變量的概念形成了。

　　老前輩恩格斯曾這么說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微積和積分也就立刻成為必要的了。”

　　坐標(biāo)系、變量、函數(shù)，是數(shù)學(xué)的一個轉(zhuǎn)折點，也是變量數(shù)學(xué)發(fā)展的一個決定性步驟。

　　現(xiàn)在，咱們已經(jīng)清晰地聽到了那位巨人的腳步聲了——牛頓，萊布尼茨。那牛頓、萊布尼茨的大名，現(xiàn)在是無人不知，無人不曉。說他們是巨人當(dāng)然不錯；如果把他們當(dāng)成是創(chuàng)建微積分的唯一的兩位，那就不大對了。

　　數(shù)學(xué)和科學(xué)的巨大進(jìn)展，都是建立在幾百年中做出一點一滴貢獻(xiàn)的許多人的工作之上的。這時就需要一個人來走那最高的最后的一步。

　　這個人要有敏銳的透視，從紛紜繁雜的猜測中揀出有價值的想法；這個人要有足夠的想象力，把零亂的思維碎片搭成系統(tǒng)的大廈；這個人要有獻(xiàn)身的精神，不怕坐冷板凳，眼睛不能天天盯著大款。

　　牛頓，萊布尼茨正是這樣的巨人，他們各自獨立地跑完了“微積分”接力賽的最后一棒。

　　微積分的萌芽，是古已有之了。

　　咱們劉徽老先生的著名“割圓術(shù)”，就是把圓近似的割成邊數(shù)很多，邊長很短的正多邊形，來計算圓面積。“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓圍合體而無所失矣。”劉徽的的這一套，阿基米德在公元前 240 年左右也做過。阿基米德也“割”過圓。而且，他不但用內(nèi)接正多邊形去從內(nèi)往外逼近圓，還用外切正多邊形來近似，從外往內(nèi)逼。一內(nèi)一外，把圓周率的真值夾在中間，就能準(zhǔn)確估計誤差了。

　　面積體積計算很重要，17世紀(jì)的工作開始于開卜勒。這位酒保被酒桶體積的計算問題吸引住了。不過他的工作比較粗糙。比如算圓面積，他把圓看成是無窮多個三角形，每個三角形的頂點都在圓心，底在圓周上，然后像正內(nèi)接多邊形的面積一樣，用長乘以半徑除以 2，就是圓的面積了。球的體積也是如此。

　　這里面實際上就是現(xiàn)在所說的積分。不管是劉徽、阿基米德，還是開卜勒，都是一樣的思想，但是，每一種曲線的面積計算，都要用不同類型的直邊形去逼近，一題一法、一題一變化，太煩。

　　而 17 世紀(jì)的一些人則采用了系統(tǒng)的辦法，都用小矩形。比如計算 y=x2之下，從x=0到x=B的面積：

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　　首先將 OB 分為幾份，構(gòu)成一個個小矩形，用矩形面積之和逼近待求面積，當(dāng)這些矩形的寬度d越來越小時，這個面積和就越來越接近曲線下的面積，“割之彌細(xì)，所失彌少。”

　　現(xiàn)在再按這些人的說法，認(rèn)為當(dāng)n無窮大時，最后的兩項可以忽略，那么這待求的拋物線下的面積就求出來了：

　　同學(xué)們能看懂這些，看了之后可能很滿意了：任何曲線形的面積似乎都能這么算。

　　但是仔細(xì)考慮一番就會看到有兩個麻煩。麻煩之一是為什么 n 無窮大時，最后兩項能夠略去，沒有理論基礎(chǔ)，沒有證明，只是直觀地覺察到。麻煩之二是從1）式變到2）式，不同的題目要用不同的方法，也是個很不方便的大問題，有時單靠技巧還不一定得出結(jié)果。

　　這個困難困擾了17世紀(jì)所有的數(shù)學(xué)家。但是牛頓和萊布尼茨卻找出了一個解決的通道。相比較而言，牛頓似乎想得更清楚一點。簡單來講，牛頓的思路大致是這樣的：

　　經(jīng)過研究，這種變換果真被牛頓找到了，就是求出當(dāng) x 變化時，S 的變化速度。S 隨著 x 的變化而變化，自然有個變化速度問題，那么這個速度如何求呢？

　　這能不能用S除以求出來呢？那當(dāng)然不行。因為對等速運動時的情況，用距離除以時間這樣常量數(shù)學(xué)的公式是可以的。現(xiàn)在S隨著x變，不是等速變化的，常量數(shù)學(xué)就沒戲了。

　　十六、十七世紀(jì)，正有大量的變速運動的問題要求解決。牛頓是這么考慮的：如果讓x 的變化很小，比如只增加△x 這么一點點，那么 S 也有一點點增加，就用△S表示。

　　因為△x很小，所以這一小段內(nèi)，S的變化可以認(rèn)為是勻速的。這時，變化的速度就可以用△S除以△x來表示：△S△x。

　　如果△x充分的小，那么這速率算得就越精確。當(dāng)然，這樣算出的速度，每一點都不一樣，是一種瞬間的速度。這個速度也是變，不是常量。

　　這么一種求速度的運算，要用到求極限的方法；讓△x 無窮地小，看看△S△x怎么個變化。

　　大伙看看，微分、積分是不是一種可逆的過程？可逆的變換？實際上也完全可以看成是可逆的運算。

　　當(dāng)然能。其實，咱們在初等數(shù)學(xué)里也有這種只對一項進(jìn)行的運算，比如求相反數(shù)，求倒數(shù)。當(dāng)然，現(xiàn)在運算的對像可有了質(zhì)的變化，不是數(shù)，是一個函數(shù)！

　　牛頓和萊布尼茨找到了這么一種互逆的關(guān)系，就解決了大問題。求面積、求體積時常用的求和方法，現(xiàn)在可以用微分的逆運算來求了！

　　而不是像以前那樣，每求一個面積之和，都要算一個特殊的和式。

　　而微分運算的較好算，所以，我們今算幾類（而不是幾個）函數(shù)的微分，反過來，對許多函數(shù)的“面積”就立馬可得。

　　這么個互逆的關(guān)系就叫牛頓—萊布尼茨公式，是微積分基本公式，微積分的金橋工程。

　　牛頓太偉大了。年下在這里只說，偉大的牛頓在數(shù)學(xué)中的大貢獻(xiàn)，而且只說了這大貢獻(xiàn)中的一小部分，當(dāng)然最主要的部分。

　　這位牛頓老先生在中學(xué)的教本里只被描繪成一個偉大的物理學(xué)家，物理學(xué)的祖師爺。如果咱們聽聽偉大的萊布尼茨的說法，也許就更清楚更全面了：“在從世界開始到牛頓生活的年代的全部數(shù)學(xué)中，牛頓的工作超過一半！”

　　一個構(gòu)造了近代物理世界的人，同時又干了數(shù)學(xué)的一半！真神人也！英國詩人波普，用詩這么表達(dá)：

　　自然和自然的規(guī)律沉浸在一片黑暗之中，上帝說：生出牛頓來，一切都就得明朗。

　　大數(shù)學(xué)家拉格朗日也說，他是歷史上最有才能的人；也是最幸運的人，因為宇宙體系只能被發(fā)現(xiàn)一次。

　　波普簡直把牛頓當(dāng)成紅太陽了，就他的作用而論，或許還不算過份，不過牛頓對自己的評價卻十分廉虛：“我不知道世間把我看成什么樣的人；但是，對我自己來說，就像一個在海邊玩耍的小孩，有時找到一塊比較平滑的卵石或格外漂亮的貝殼，感到格外高興。在我面前是完全沒有被發(fā)現(xiàn)的真理的大海洋。”真所謂：“我之所以比別人看得遠(yuǎn)些，那只是由于站在巨人的肩上的緣故。”

　　牛頓老前輩說的都是大實話。如果咱們和他同時代，這么說很可能被認(rèn)為是狂妄�？墒墙裉炜纯�，那愛因斯坦的大發(fā)現(xiàn)，不就包括了牛頓的物理世界，而且有更高發(fā)展嗎？

　　至于站在巨人肩上，那更是千真萬確了。要是沒有從希臘到意大利，從公元前到公元后的無數(shù)大師構(gòu)成一道天梯，他牛頓恐怕是摸天無門了。

　　在牛頓受影響較大的那些人們中，最顯眼的就是他的老師伊薩克·巴羅（1630—1677）。巴羅小時候討人厭，不過從劍橋畢業(yè)后，就成為大學(xué)問家啦。數(shù)學(xué)、物理、天文學(xué)都很高成就。許多微積分的知識，比如求兩上函數(shù)的積和商的微分法則，x的冪函數(shù)的微分，以及至關(guān)重要的微積分基本定理，他都寫在著作里。當(dāng)然他的有些東西說的含糊，沒有像牛頓后來所概括的那樣，清楚而又普遍。

　　他是擔(dān)任劍橋的盧卡斯講座教授的第一人，1669 年，巴羅先生自動讓賢，以高尚的精神把這一席位讓給他的學(xué)生伊薩克·牛頓。他是最先識出牛頓的超人才能的人之一。

　　不過小時候的牛頓可是不太怎樣，既不是神童，也沒進(jìn)重點學(xué)校上學(xué)，除了在機(jī)械方面有興趣外，其他好像沒有什么特殊的才能。他在1642年的圣誕節(jié)那天出生在英格蘭的一個小村莊里，父親是農(nóng)民。他進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)，但那份幾何答卷是有缺陷的。1661年開始在劍大學(xué)之一學(xué)院上學(xué)，倒也安靜專心。剛結(jié)束大學(xué)課程，可怕的鼠疫就在倫敦地區(qū)蔓延，他離開劍橋，在家鄉(xiāng)渡過了1665年和1666兩年。

　　在這兩年里，他得到了解決微積分問題的一般方法，做了他的第一個光學(xué)實驗：白光是由各種顏色的光混合而成的。那舉世聞名的萬有引力定律，雖然早有人提出過，但在牛頓手里，被構(gòu)造成一座雄偉力學(xué)大廈的基礎(chǔ)。

　　牛頓1667年回到劍橋，他的老師巴羅讓賢，牛頓遂擔(dān)任了盧卡斯講座數(shù)學(xué)教授。不過聽他課的學(xué)生很少牛頓看來不是個好教師。牛頓在1672年發(fā)表了他的光的顏色的論文，不料遭到猛烈的攻擊，過了三年，他的另一篇論文又一次落到同樣下場，牛老先生想想挺寒心，覺得很無聊，發(fā)誓生前再也不發(fā)表論文。

　　他對這些無聊的爭論很厭惡，所以才有這么種極端的反應(yīng)。不過后來他的好朋友們再三勸說，不發(fā)表可是人類的一大損失��！他這才發(fā)表了一些。怕事還是有事。他的微積分方面的思想發(fā)表推遲，結(jié)果又引起他和革命尼茨大師在這方面優(yōu)先權(quán)的大爭論。不但這兩個人爭論，而且雙方的朋友都參加了爭吵；不但雙方的朋友參加進(jìn)來，而且英國和歐洲大陸的數(shù)學(xué)家分成了兩派。

　　不但分成了兩派，而且英國和歐洲大陸的數(shù)學(xué)家停止了思想學(xué)術(shù)交流。因為牛頓的微積分主要使用了幾何方法，所以在他死后差不多100年中，英國人繼續(xù)以幾何為主要工具。而西歐的數(shù)學(xué)家繼續(xù)發(fā)展萊布尼茨的那一套，并且改善進(jìn)步了。

　　這事鬧得實在太不咋樣，影響太大，壞影響！它不僅使英國的數(shù)學(xué)家落在后面，而且使數(shù)學(xué)家損失了一批最有才能的人，他們應(yīng)該可以作出的貢獻(xiàn)。兩位大師的晚年心境都不很愉快，到死都沒弄清楚，留下一塊病在心上。

　　說起來實在是一場天大的誤會。牛頓被以前的事弄怕了，很厭煩發(fā)表自己的成果。不過他也很想讓好友們知道他在干什么。所以在 1665 年到 1687年間，把微積分方面的一些發(fā)現(xiàn)通知了他的朋友。特別在1669年，他把《分析學(xué)》這篇論文送給恩師巴羅過目，而巴羅還給其他人看了。

　　而萊布尼茨于 1672 年到過巴黎，1673 年更訪問了倫敦，并和一些知道牛頓工作的人通信，然而，萊布尼茨直到1684年才在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表微積分文章，太有“瓜田李下”之嫌了。英國的紳士們把他描繪成剽竊者也算事出有因。

　　其實，那萊布尼茨先生也不喜歡發(fā)表文章。后來，人們在他成百頁的筆記本中才發(fā)現(xiàn)，萊布尼茨1675年就獨立地得到他的微分法。

　　雖然牛頓的工作做在前，在 1665年得到了大部分成果，但發(fā)表更后，直到1687年才公開發(fā)表在他的巨著《原理》中。

　　說起來，連這本《原理》都是他的朋友哈雷的力勸才出版的。1684年哈雷再三敦促勸說，經(jīng)過兩年的艱苦勞動，1687年哈雷協(xié)助牛頓編輯，還自掏腰包付印出版。

　　這本書給牛頓帶來巨大的聲望，但它很難懂。他告訴朋友說，他有意使它難懂，“免得遭到數(shù)學(xué)知識淺薄的人的抑制”。牛頓先生確實是一想到爭論頭就脹，挺害怕。就說這本《自然哲學(xué)的基本原理》，寫到第三冊，指責(zé)又來了，這次是虎克。氣得牛先生封了筆，哈雷又得好說歹說勸解一番，這才有了結(jié)果。這本影響巨大的書發(fā)表后兩年，牛頓進(jìn)入議會。再過十年，1699年，被提升為造幣廠廠長。1703年被選為皇家學(xué)會主席，連連被選一直到死，搞了點小小的終身制。又過了兩年，被皇家封為爵士�？偹阍谏�前得到了莫大的榮譽(yù)，成了英國的國粹，國寶。

　　1727 年這位一代偉人去世，終年 84 歲，按照現(xiàn)在的規(guī)矩，下聯(lián)合國旗向他致哀都應(yīng)該。

　　卻說英吉利海峽另一側(cè)的萊布尼茨（1646—1716），咱們早已“見過面”。比起牛頓來，萊布尼茨聰慧而早熟，從小就是神童。他于1646年出生于德國萊比錫城。從兒童時起，就自學(xué)拉丁文，希臘文，不到二十歲，就熟練掌握了教科書的數(shù)學(xué)、哲學(xué)、神學(xué)和法學(xué)知識。

　　15歲進(jìn)萊比錫大學(xué)，研究法律，可在答辯了關(guān)于邏輯的論文之后，得到的卻是哲學(xué)學(xué)士學(xué)位。那萊比錫大學(xué)又以他年青，胡子短為借口，不授給他博士學(xué)位。萊布尼茨立刻遷到紐倫堡，寫了一篇法學(xué)方面的杰出論文，獻(xiàn)給美因茨的選帝候。選帝侯大加贊賞，命其重修法典，然后又派他做外交使節(jié)，到巴黎，到倫敦。

　　這倒挺有點像李太白，“十五好劍術(shù)，遍干諸侯，三十成文章，歷抵卿相”，頗有些入世用世達(dá)則兼濟(jì)天下的氣慨。

　　1672年3月先生出使巴黎，遇到不少數(shù)學(xué)家，科學(xué)家，尤其是大物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家惠更斯，更是親自給他講解數(shù)學(xué)，激起了他對數(shù)學(xué)的濃厚興趣。

　　雖然他20歲時就發(fā)表過數(shù)學(xué)論文，但他說自己直到1672年還基本上不懂?dāng)?shù)學(xué)。這自然是他的自謙之詞，但是也可以看出受高人指點后的確不一樣，對數(shù)學(xué)的理解更加深刻了。

　　1673年他又出使倫敦，遇到另外一批杰出的人才，切磋磨砥，大有收益，那數(shù)學(xué)的興趣更濃了。他研究了笛卡爾，研究了帕斯卡那吸收進(jìn)去的原料經(jīng)過天才腦瓜的聚合反應(yīng)更以理倍的能量負(fù)外散發(fā)。

　　后來，萊布尼茨到漢諾威工作，當(dāng)了另一位選帝侯的圖書館館長，空閑的時間當(dāng)然就多了。學(xué)者的天才得以盡情發(fā)揮，莫不是“日試萬言，倚馬可待”，寫在成各種學(xué)科的論文盈千累萬，也算是著作等身了。

　　他涉獵的范圍太廣泛了，盡管卷入了各種政治活動，包括為他的東家活動英國王位，但他并沒放棄科學(xué)興趣，他研究了邏輯學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、數(shù)學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)，加上當(dāng)今寵兒計算機(jī)。如果要說“家”的話，那么他毫不含糊地就是哲學(xué)家、法學(xué)家、歷史學(xué)家、語法言學(xué)家，邏輯學(xué)家，大數(shù)學(xué)家。

　　草草一算，照現(xiàn)今來說，可算得上七棲八棲明星，數(shù)一數(shù)二“大腕”�？纯丛蹅兊娜R“大腕”，再想想當(dāng)今一些人物，拍了幾部影視片再在歌壇上“炒”它一曲，居然就稱什么兩棲三棲，倒也覺得挺滑稽。不過也許那些“腕們”自己幽自己的默，外帶著涂個三花臉逗咱們一笑也未可知。

　　萊布尼茨與牛頓各自獨立地跑完微積分的最后一棒，但他的微積分卻與牛頓的微積分有明顯的不同。牛頓是用幾何的語言敘述他的成果，而萊布尼茨的理論則用代數(shù)的妙語來表達(dá)。

　　萊布尼茨是歷史上最大符號學(xué)家之一。他所創(chuàng)立的微積分符號遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號，優(yōu)于牛頓的幾何方法，這對微積分的傳播和發(fā)展有極大的影響。

　　英國的數(shù)學(xué)界落后了歐洲100年，原因也正在此。

　　他所引入的許多的微積分符號現(xiàn)在通行世界。比如，對一個函數(shù)求微分，也就是求函數(shù)對x變化率，他引進(jìn)的微分符號就是“d”。對函數(shù)求積分，萊布尼茨引入的積分號是“∫”，是個伸長的 S，也就是和“sum”的第一個字母。積分就是以求面積之和引入的。

　　為何如此？道理很簡單，先對f（x）“積”，積過之后再“微”，積分和微分互逆，自然就回到了原地，微積分基本定量嘛！就好像任一個數(shù)加上4后再減去4，結(jié)果還是原來的數(shù)，加減互逆！

　　用一個式子表示這個基本定理，就是：

　　清清楚楚，明明白白，微積分之間的基本關(guān)系一目了然，微分積分是互逆運算。

　　而牛頓對這個基本定理的表達(dá)就全用幾何的方式，難以理解，現(xiàn)在是早已不用了。

　　雖然兩位大師因為優(yōu)先權(quán)問題弄得很不愉快，但兩人都受到巴羅先生，這位牛頓的老師的很多啟發(fā)，這就叫“本是同根生了”。

　　萊布尼茨的另一件大功勞就是對數(shù)理邏輯的天才預(yù)見和開辟。

　　咱們說過，笛卡爾早就認(rèn)為，邏輯上的原量和方法也能符號化。因為那時候代數(shù)的各種符號剛剛顯出它的神力，解方程立方程就可以把以前難想的問題機(jī)械化地解決了。還有那：

　　微積分對于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，那是須臾離不開的寶貝。就是在剛剛形成那會，也立刻有了意想不到的應(yīng)用。

　　話說1758年12月，歐洲各地千萬個腦袋都時時望天上看。這是因為去世已16年的哈雷教授（1656——1742）生前曾預(yù)言，這年年底將出現(xiàn)彗星。人們焦慮地期待著，總覺得一個人能推測生后之事，做出那么準(zhǔn)確的預(yù)告似乎有點玄。誰知到12月底，拖著長長尾巴的彗星果真出現(xiàn)了！彗量，這對天外來客如期而至，立刻轟動全球。

　　這顆慧星就被命名為“哈雷彗星”。哈雷生前是牛頓的好友，他對牛大師推崇備至。利用剛剛出爐的微積分，他對彗星軌道進(jìn)行研究推算，大膽推測1531年、1607年、1682年三次出現(xiàn)的彗量實際上是同一顆！

　　再用好朋友創(chuàng)造的方法和定律一推算，這顆彗星繞太陽的周期是76年，因此1758年將回到地球附近。哈雷給它號的脈一次又一次應(yīng)驗了，1834年、1910年，1986年，哈雷彗星一次又一次出現(xiàn)。

　　利用微積分這個工具，擺鐘的運動和周期能夠精確計算。牛頓還根據(jù)擺鐘周期與重力的關(guān)系，考察了地球各地的擺鐘運動，是出了地球是扁圓的結(jié)論！

　　微積分在繼續(xù)擴(kuò)展自己的領(lǐng)地。數(shù)學(xué)家們暫時忘掉了嚴(yán)密性，不管它對不對，邏輯上能不能嚴(yán)格證明，只要是直觀上覺得對，又能解決問題，那就大膽地往前走。

　　本來，數(shù)學(xué)處處講嚴(yán)密，要證明，這是歐幾里德給數(shù)學(xué)的大貢獻(xiàn)�？墒前阉季S束縛在嚴(yán)密的網(wǎng)里，就沒有創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)。17、18 世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們，就在微積分的基礎(chǔ)還很不穩(wěn)固，有很多東西不能自圓其說的情況下，開始把這所大廈往大里蓋，往高里碼。

　　這其間最有名的就是伯努利家族。

　　咱們學(xué)過數(shù)理科學(xué)的人，對“伯努利”三個字是如雷貫耳，經(jīng)常遇到。概率論里的“伯努利定理”，“伯努利分布”，還有什么“伯努利多項式”，“伯努利雙紐線”，以及流體力學(xué)中的“伯努利議程”，如此等等。

　　不過這些東西不都是一個人的，有好多個伯努利的功勞。伯努利家放是數(shù)學(xué)史上最著名的家族，也算是歷史奇觀吧。

　　這個家族的光榮首先從兩弟兄開始，老大叫雅科布·伯努利（1654—1705），老二叫約翰·伯努利（1667—1748）。

　　這兩位都是萊布尼茨的鐵桿，在那場優(yōu)先權(quán)的大爭論中沖鋒陷陣，當(dāng)然那都是無用功了。但是他們是最早認(rèn)識到微積分的驚人力量，并把這個偉大的工具應(yīng)用于各類問題的科學(xué)家。

　　最著名的，要算最速降線問題。

　　這問題說起來挺簡單，就是從A到B造一條滑道，使得物體最快下滑。按一般的想法，這滑梯就是A、B間的直線，兩點間距離最短是直線嘛！可是大名鼎鼎的伽利略覺得沒那么簡單，他認(rèn)為這最速降線是一條過 A、B的圓弧�，F(xiàn)在咱們仔細(xì)想想怕是也能想通：雖然弧線比直線長些，但它最初的下降速度快，所以總時間必然少了。

　　不過那位老二約翰認(rèn)為，伽利略雖然指出了方向，但沒有講清為什么。所以他在1696年呼吁大家來解決這個問題，比試比試看誰解決得好。經(jīng)過兩兄弟的努力，還有牛頓、萊布尼茨等人的工作，終于弄清楚了，這兩點間的最速降線，既非直線也非圓弧，而是一段圓擺線！

　　圓擺線大伙沒聽說過，可是卻天天見到。你在自行車車輪上做個記號，車輪沿著直線往前滾，那畫出的記號在空中跑過的軌跡就叫擺線，又叫旋輪線。

　　隔了一年，老二的約翰又解決了一個短程線問題，不過只是部分解決。短程線說起來大家又覺得好理解：平面上的兩點，距離最短的是過這兩點的線段。

　　可是要是在球面上呢？地球上兩點間的最短線就不是直線了，球面上沒有的線，那是過這兩點的球的大圓！問題再擴(kuò)展，任一個曲面上這短程線又當(dāng)如何？可就是個高精尖課題啦。

　　類似的還有老大雅科布提出過的等周問題，這些都是一類求極值的問題：最快、最短、最大，這些都是后來發(fā)展起來的一門學(xué)科——變分學(xué)的先聲，微積分的發(fā)展。

　　比起大哥來，約翰在數(shù)學(xué)上貢獻(xiàn)更多，但是脾氣很不好。約翰腦子快一點，有些恃才傲物，功名心切。弟兄倆很快在許多問題上互相挑戰(zhàn)。他們各自發(fā)表文章，鬧得最后就不和諧了。萊布尼茨就在兩邊調(diào)停，當(dāng)當(dāng)和事佬。

　　可是老大雅科布總覺得萊某偏袒約翰，而且自己發(fā)現(xiàn)的東西，萊布尼茨聲稱早就做過了。所以盡管一開始對萊先生很尊重，以師禮待之，到最后牛萊風(fēng)波再起，他寫信給對方，對萊老頭可就不恭敬啦。約翰則是鐵心衛(wèi)道，時不時上陣對英國紳士們叫叫陣，唇槍舌劍來一頓。
　　雅科布大哥的最大貢獻(xiàn)是他的名著《推測術(shù)》，也就是現(xiàn)在常說的概率論。

　　概率這門數(shù)學(xué)從卡當(dāng)那會兒討論賭博開始，到這時，已經(jīng)變成了一門完整的科學(xué)，概率論誕生了。

　　概率論研究的是大量的偶然現(xiàn)象。投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面的可能是多大？大家都能猜出是 1/2。投擲的次數(shù)越多，出現(xiàn)正面的次數(shù)和投擲總次數(shù)的比就越接近1/2。歷史上好多名人都做過這個試驗。

　　雅科布總結(jié)了這方面的經(jīng)驗，得出一條定理，就叫做“大數(shù)定理”，也就是“伯努利定理”。關(guān)鍵在于，他不但提出，還給出了證明，這才是難點所在。

　　這兩位自學(xué)成才的弟兄，不但做出了如此巨大的成就，而且培養(yǎng)出下一代伯努利。老二的三個兒子個個都是將門虎子，承繼父業(yè)。老二的老二丹尼爾·伯努利更是了得，著名的伯努利分布、流體力學(xué)中的伯努力利議程就是此人所為。由于這些杰出的成就，他曾十次獲得法蘭西科學(xué)院的嘉獎。

　　概略地算一下，這個瑞士的家族，總共產(chǎn)生了11位數(shù)學(xué)家。列入吉尼斯當(dāng)之無愧。

　　不過，這個家族最光榮的一件事，要算是培養(yǎng)出歐拉這么一位頂級的人物。歐拉的恩師就是約翰·伯努利，無怪乎人們說，他是那個時代最成功的教師。
　　歐拉（1707－1783），是 18世紀(jì)數(shù)學(xué)界的中心人物，堪與阿基米德、牛頓和高斯為伍，因為他們不但是數(shù)學(xué)家，也都是大物理學(xué)家，典型的數(shù)、理雙棲大師級人才。
　　歐拉誕生于瑞士名誠巴塞爾，13歲就進(jìn)入巴塞爾大學(xué)，師從約翰·伯努利。17 歲成為這所大學(xué)有史以來最年輕的碩士。18 歲發(fā)表論文，19 歲獲法蘭西科學(xué)院獎金。

　　通過約翰老師的兩個兒子：尼古勞斯·伯努利（1695—1726）和丹尼爾尼爾·伯努利，歐拉在1733年獲得俄國圣彼得堡科學(xué)院的任命。起先他是丹尼爾（1700—1728）的助手，后來很快接替這位伯努利當(dāng)了教授。

　　26歲的歐拉做了數(shù)量驚人的研究工作，可是由于太忙，條件也不好，28歲右眼就失明了。34 歲時應(yīng)普魯士皇上的邀請，到柏林主持普魯士研究院，一干就是25年。

　　1766年，俄國女皇葉卡捷琳娜二世親自出面懇請歐拉重返彼得堡。他的工作條件大大改善了，但積勞成疾，左眼也失了明。接著又遭火災(zāi)，大部分藏書和手稿化為灰燼。但歐拉沒有屈服，他說：“如果命運是塊頑石，我就化作大鐘，將它砸得粉碎！”大火過后，歐拉已是位 66 歲的老人啦，可是他并沒有停止思想停止工作，又與衰老和黑暗拼搏了17年！憑口授發(fā)表了400多篇論文，許多部論著，占他一生成果的一半！

　　歐拉確實是一位多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，堪稱空前絕后，他同以前的笛卡爾、牛頓、以及以后的高斯不同，他沒有開辟新的數(shù)學(xué)分支，但沒有一個人像他那樣多產(chǎn)，像他那樣巧妙地把握數(shù)學(xué)，他對數(shù)學(xué)的每一個分支都有貢獻(xiàn)。

　　他是頂呱呱的方法發(fā)明家，又是一位熟練的巨匠。所以如果咱們學(xué)數(shù)學(xué)時一再聽到歐拉，大可不必驚奇：歐拉公式、歐拉多項式、歐拉定理、歐拉常數(shù)、歐拉積分和歐拉線，等等。

　　請看如下最著名的公式：

　　其實道理也挺簡單，是歐拉大師發(fā)現(xiàn)的。如那“田”字“串”字，可以變換成下列圖形。那么一來那幾個連結(jié)弧線的點便是問題的關(guān)鍵。我們可以看到，點1有三條弧線交匯于此，將這樣的點稱為奇點。點1到點4都是奇點。而像點5到點8，就都是偶點了。

　　歐拉注意到，如果要畫一個筆畫，不是起筆點和落筆點，那么它若有一條弧線進(jìn)點，就必有另一條弧線出筆，即不是起筆或落筆，必是偶點！

　　這樣一來，能夠一筆畫的就只能有零個或兩個奇點！一筆畫問題就此解決！請看，歐拉的思路多明確，多清楚！這是29歲時的歐拉向圣彼得堡科學(xué)院遞交的一篇論文《哥尼斯堡的七座橋》所證明的結(jié)果。

　　原來這一筆畫就起始于哥城的七座橋。這座名城共有七座橋連接了四外區(qū)域，很早以來城中的居民就熱衷于這么個有趣的問題，能不能“一筆畫”走過這七座橋。咱們把圖畫在這里，這些弧線自然就是橋了，大伙不妨用歐拉的辦法判斷一下，有沒有解。

　　這一筆畫到后來有了發(fā)展。中國數(shù)學(xué)家管梅谷在1960年提出過一個郵遞員問題，是說郵遞員投遞郵件，從郵局出發(fā)，對管區(qū)內(nèi)的每條街（弧線）都至少通過一次，再回到郵局。當(dāng)然有時沒法“一筆畫”了，有的街道要經(jīng)過兩次以上。不過最后有一個要求：要選擇一條最短的路。管先生給出了算法，所以這問題國際上就稱“中國郵遞員的問題”。

　　西歐的數(shù)學(xué)波瀾迭起，高潮頻頻，那咱們中國當(dāng)時的情況又如何呢？讓咱們把鏡頭再緩緩移回東方。

　　且說咱中國的古代數(shù)學(xué)，自殷商而至宋元，一路領(lǐng)先，成就卓著。直至秦、李、楊、朱四大家，并起于宋元交替之際，創(chuàng)“天元術(shù)”，“四元術(shù)”，東方巨龍騰飛環(huán)宇。

　　到得明代，創(chuàng)造性的工作，尤其是在理論方面幾乎是沒有了，中國數(shù)學(xué)走入了低潮。大量的數(shù)學(xué)經(jīng)典因為無人研究，找都找不到啦！天元術(shù)，四元術(shù)更是無人知曉，幾乎成了絕學(xué)。像《九章》這樣的名著都不再流傳，只有《永樂大曲》才收有抄本。

　　就連有點名氣的數(shù)學(xué)家吳敬，也都是聽說過有《九章》，恐怕都沒有直接看過，他算得上是個實用數(shù)學(xué)的推廣者，介紹了一種“寫算”的乘法，就是咱們前面說過“格子算法”，程大位（1533—1615）把它叫做“鋪地錦”的。

　　程大位是位平民，以畢生精力進(jìn)行實用自然術(shù)研究，使珠算得以普及，也實在是難能可貴了�？墒沁@時的西域，數(shù)學(xué)正發(fā)展得紅紅火火，面臨著革命的前夜呢。

　　時光很快到了明朝末年。政治腐敗，連年災(zāi)荒，農(nóng)民起義，倭寇襲擾，弄得皇帝老兒坐不成龍庭，明王朝處于覆滅的前夜。

　　文化方面，尤其是科學(xué)技術(shù)一片凋零。就是對歷法，這個關(guān)系國計民生的大事，也是嚴(yán)禁民間研究，“習(xí)歷者遣戍，造歷者殊死”。明朝用的《大統(tǒng)歷》，日積月累用下來已有較大誤差了，可是這歷法依然改不得。而且精通歷法的人才也缺乏，改歷想改也難。

　　就在這時，耶穌會傳教士來到中國，傳入了西洋的天文歷法，也傳來了西方的數(shù)學(xué)，從此，西方數(shù)學(xué)開始傳入了中國。

　　這傳教士中影響最大的是意大利人利瑪竇（1552—1610）。1582年他來到中國，帶來了世界地圖，自鳴鐘、天文儀器和數(shù)學(xué)書籍。結(jié)識了不少士大夫知識階層人士，其中就有徐光啟。

　　徐光啟是1600年認(rèn)識利先生的，便和他一塊研究兩方科學(xué)。過了六年，就由利瑪竇“口譯”，徐光啟“筆受”，兩人合作翻譯了《幾何原本》。翻到第六卷，徐光啟要求繼續(xù)翻，利瑪竇認(rèn)為這歐氏幾何的精要都在前六卷，就先出版，看看大家喜歡不喜歡吧。這樣，第二年就出版了。

　　在那科技衰落、知識饑餓、中國古算一片荒廢之時，這本書確實給中國數(shù)學(xué)界帶來生機(jī)，中國數(shù)學(xué)，從此進(jìn)入了西學(xué)東漸的時期。

　　徐光啟（1562—1633）中過講士，當(dāng)過禮部尚書，位至文淵閣大學(xué)士。后來他在一些西洋人的參加下，用西洋新法修訂了新的歷法——《崇禎歷書》，不過崇禎帝不久就到煤山上吊了，用不上了。徐光啟也早在這之前去世了。

　　這時已是 17 世紀(jì)，中國被滿洲人坐天下了，但這歷法又提到了皇上面前。后來，《崇禎歷書》明朝沒趕上用，清朝入關(guān)后倒用上了。清政府任命參加過明朝改歷的德國人湯若望掌管欽天監(jiān)，湯先生想想不如把《崇禎歷書》換個名獻(xiàn)上去得了。順治二年（1645年），就把這本歷書稱作《時憲歷》頒行天下。到了順治十四年（1657），一直到康熙三年（1664），有人幾次上書，竭力反對西洋歷法，聲稱“寧可中夏無好歷法，不可中夏有西洋人”。那時康熙帝才十來歲，做不得主，就由著他們廢了西洋歷，將湯若望打入大牢，還殺了五個中國人的頭。

　　后來很快發(fā)現(xiàn)是件冤案，為湯若望等平了反�？滴醮蟮鄹�覺得教訓(xùn)很深，用人頭交了學(xué)費，太有點慘痛了，決定自己親自學(xué)習(xí)，把一幫西洋人再請入宮，給他講述西洋的天文、數(shù)學(xué)。另一方面廣泛招賢，訪求人才，鼓勵倡導(dǎo)教學(xué)天算圖書的編寫�；噬峡偹憬o科學(xué)技術(shù)添了把草料。

　　正是在這樣的條件，大數(shù)學(xué)家梅文鼎（1633—1721）出現(xiàn)了。梅文鼎是安徽宣城人，從小就熱愛數(shù)學(xué)、天文學(xué)。在當(dāng)時許多古算書，古算法都瀕臨失傳的情況下，一方面苦心鉆研，另一方面吸取剛傳入的西方數(shù)學(xué)片斷知識，“集古今之大成，溶中西于一爐”，做出了許多優(yōu)秀成果。

　　他被梁啟超稱為算學(xué)天文方面清代的“天山之祖，”清代六大儒之一。日本的一位先生更把梅文鼎、牛頓、關(guān)教和（一位日本數(shù)學(xué)家）并稱為 17、18世紀(jì)世界上三大數(shù)學(xué)家。不過，梅先生縱然在中國當(dāng)時數(shù)第一，到世界上去比，自然不能和牛頓并肩，整體水平低下是不會有大家出現(xiàn)的。日本先生的好意咱們心領(lǐng)了。

　　梅文鼎著作甚豐，共有88種200余卷。他將西方傳入的筆算由橫式改為豎式，經(jīng)符合中國當(dāng)時直書的習(xí)慣。對耐普爾算尺，他也進(jìn)行了改造，能進(jìn)行采、除、開方，后來寫成《籌算》一本。不過他主要在正多面體和球面三角方面，有不少創(chuàng)見。

　　梅先生的豐富常識受到康熙帝的嘗識，皇上親自召見，恩寵有加，以后又征召他的孫子梅■進(jìn)入內(nèi)廷蒙養(yǎng)齋任編修。這使梅氏祖孫的知名度大大提高，使他們的學(xué)說思想和著作廣為流傳，遂成一派學(xué)說，其影響達(dá)康、乾以下200余年，直到清末。經(jīng)皇上親自包裝，效果確實不同。

　　有趣的是，梅氏家族也是我國少見的數(shù)學(xué)家族，除梅文鼎祖孫二人外，還有梅文鼐等其他四、五位數(shù)學(xué)家。與伯努利家族東西輝映，可稱為奇觀。不過從雍正帝登上龍廷，西方的洋鬼子又被趕出國門，西洋教學(xué)的傳入又被皇上叫了個暫停。咱中國這批數(shù)學(xué)家一頭的興趣沒了個去處，只得撥轉(zhuǎn)馬頭再向中國古算，整理發(fā)掘出散失已久的中國古算名著。古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)來了段“回光返照”。

　　要說這古算書的發(fā)掘整理，那要談到乾隆爺編的《四庫全書》了。巨型叢書《四庫全書》修了十年才完成，共收書3503種，79337卷，分經(jīng)史子集四部，故名“四庫”耳。通過這部叢書的編修，許多古典算書得以保存下來，對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)掘研究起了推動作用。

　　在《四庫》編纂中對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的搜集整理起主要作用有的戴震、李潢等許多人。

　　戴震（1724—1777）系安徽休寧人，對數(shù)學(xué)、天文、史地、音韻有深刻研究，中過舉。后被推薦為四庫館纂修官。戴震傾注了大量的精力，對《周髀》、《九章》、《孫子算經(jīng)》等四部書詳加�？�，改了很多錯誤文字，對《九章》中早已散佚的很多圖形予以補(bǔ)繪。

　　那位李潢（？－1811），雖然當(dāng)過工部左侍郎，也就是副部長一級的位置，但還是個學(xué)問家，尤精算學(xué)。編纂《四庫全書》時，他以翰林院編修的資格擔(dān)任總目協(xié)纂官，對《九章》、《海島算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》三部書進(jìn)行了校注和研究。這些校注工作都是挺費神的。因為這些古書輾轉(zhuǎn)傳抄，文字多一些少一些，讀不通的地方很多。就拿戴震整理過的《九章》來說，不通的地方還有不少。李潢再次校訂，多方研究，使這些不通之處都能文從字順，容易讀懂了。

　　還有一些《四庫全書》中沒有收集的，其他一些學(xué)者又進(jìn)行了整理搜集刻印。經(jīng)過這樣多方面的努力，埋沒湮滅數(shù)百年之久的科學(xué)遺產(chǎn)重見天日，這是一個很大的成就。

　　不過當(dāng)時的中國數(shù)學(xué)界也是沒了辦法才把全部精力投入到這檔子事吧。

　　皇帝老兒對西洋數(shù)學(xué)叫暫停，一停就是100多年，可那正是人家“火”起來的100多年呢！

　　欲知后事如何，且聽下回分解。