第六回  割之又割  割圓術得徽率祖率

　　        開而再開  開方法解天元四元

　　勾股定理的證明，是背柴人的杰作。創(chuàng)造了“割圓術”、“重差術”的數(shù)學大家劉徽很謙虛，說有道難題確實想不出，祖沖之的兒子把它解決了。當中國人用“天元術”解高次方程，津津有味地說著“物不知其數(shù)”時，歐洲還在睡覺。

　　同學們，說到這里，咱們華夏古算的種種，是應該再表一番了。

　　中國古算，自文明升華起，一直領先世界。諸般功績，大家已經有所了解。

　　大致說來、中國的古算、大約可以化為這么幾個階段：

　　從上古結繩記事，發(fā)明十進制位值記數(shù)法，發(fā)現(xiàn)勾股定理，還有分數(shù)的產生，分數(shù)四則運算的運用如此等等，大約有兩三千年時間，是數(shù)學萌芽和初步發(fā)展的階段。

　　從這以后一直到元代中葉，這 1300多年，是中國古算迅速發(fā)展繁榮的時期。這期間大數(shù)學家并起，連綿不斷。

　　先是三國時期的趙爽、劉徽，接著是以計算圓周率著名的祖沖之父子，他們生活在南北朝時代，再往下就是唐代的一行大和尚，到北宋的賈憲，南宋的秦九韶、楊輝，一時間人才迭出，成果累累。一直到元代“四元術”的產生，達到了中國數(shù)學發(fā)展的高峰。

　　這其中一直到清代，中國古算開始走入低谷，緩慢發(fā)展。而西方數(shù)學也開始輸入，一直到鴉片戰(zhàn)爭以后，中西數(shù)學匯合，開始了現(xiàn)代數(shù)學的研究和發(fā)展。

　　咱們這回書，就單說那繁榮昌盛欣欣向榮成果累累的一階段。且說自《九章》成書以來，中國初等數(shù)學的體系初步形成，方方面面都有了成果。這本《九章算術》也是很為矚目，許多人學習、作注。

　　給一本書作注，這是中國古代作學問的一種主要方法。這恐怕與中國書的簡約概括凝煉有關。一個主張、一種學問、一種觀點，往往就那么幾句話，看來是節(jié)約“紙張”，古時用竹簡，挺費事。不過這給后人的理解也添了不少麻煩。

　　所以一部書成了經典，立刻就有許多人圍著它作注釋。你這么理解，他那么認為，典籍上的一句話翻來復去要被“炒”多少遍，反正寫著的人早就作古，他也沒辦法發(fā)表意見，由著別人折騰吧。

　　不過有許多注，當然很有見地，往往發(fā)揚光大了原來的意思，更把自己的新鮮見解加進去，是一些很有價值、更見風采的好文章、好論說。

　　不過給數(shù)學專著作注，弊病恐怕小一些，數(shù)學是形式邏輯作用，一就是一，二就是二，可不能由著性子把正話說反，反話正說。

　　這位劉徽大師就是給《九章算術》作注作得最好的一個。咱們前幾回中談過，現(xiàn)在看到的《九章算術》就是經過劉大師整理過，注解過的內容。

　　《九章算術》是我國的一部最杰出的數(shù)字典籍，是一顆明珠，可與《原來》媲美，稱得上是東西雙璧，蓋世有雙。

　　所以整理注釋《九章》的劉徽，自然是功德無量，給后代做了件大好事。

　　何況在注解中，劉先生匠心獨運，旁證博引，使得原先簡約深奧的術文得到了闡明，得到了解釋。

　　這劉徽在注釋中還有不少發(fā)揮創(chuàng)造，那更是對中國古算的發(fā)揚光大了。有些西方人不明究竟，總覺得中國古算注重計算，沒有自己的理論體系。劉徽就在注釋中，清理古代數(shù)學體系，致力于把“術”文中算理的說清楚。不但說清楚，而且力圖把各種數(shù)學方法、數(shù)學理論之間的關系找出來，追根尋源。

　　所以劉徽的研究，就不是停留在“舉一反三”和簡單的類比上，而是深入探求普通的數(shù)學原理。劉徽力圖用這些普遍的原理去說明和統(tǒng)帥各種方法，這樣就形成了一種獨特的理論邏輯體系。

　　不但要有理論，而且還要論證。這就和有些人認為的東方沒有證明的看法完全不同了。劉徽曾經說過：“不有明據(jù)，辯之斯難。”也就是說，要論證的話，一定要有可靠的證據(jù)。他還主張“析理以辭，解體用圖”。意思是用邏輯知識去推理，用幾何圖形去進行直觀分析，兩種辦法結合起來，證明問題。

　　在注《九章》中，他就這樣，用邏輯推理和直觀推理的方法，把《九章》提到了新的理論高度。他不僅對書中有價值的公式、定理（就是“術文”）都作出了合乎邏輯的證明，而且對各種算法中涉及的數(shù)學概念，也給出了嚴格的定義，形成一整套理論。

　　劉老先生虛懷若谷，知之為知之，不知為不知，從不裝模作樣、不懂裝懂�！毒耪隆分星虻捏w積有錯誤，他發(fā)現(xiàn)了。但是經過長期的努力，他也是沒能有結果。這時他不是用一個改進的公式去代替，而是實事求是地說真話：“敢不闕疑，以俟能言者。”意思是把這個疑難問題空缺在這里吧，等待以后能夠解決它的人。

　　在《九章》注釋的過程中，那些精彩的證明和解釋發(fā)揮，當然都是好論文。但是最有成果的獨家創(chuàng)造是他老人家附有“勾股章”之后的心得體會。后人看它很不錯，就把這一部分單獨成篇，起個名叫《海島算經》。

　　這《海島算經》是我國古算中的著名經典的十分之一。在我國古算中，共有十部書最有名最珍貴，叫做“算經十書”。

　　在“算經十書”中，《周髀算經》最古，《九章算術》最宏博豐富，其次為《孫子算經》。這三部價值最大，而其中又以《九章》為代表。劉徽能以自己豐富的學識，為《九章》這本“算經之最”作注，自然是不簡單，何況他所著的《海島算經》也能算上一份，更加了不起。說到這里，還不得不提另一位人物趙爽。

　　趙爽與劉徽是同時代人，不過不在一個國家，或者說那時是“一制三國”，在三國時代。劉在魏國，被曹操的孫子管著；趙在吳國，是孫權子孫的臣民。劉徽以注《九章》著名，而趙爽則以注《周髀》而著稱。兩人的貢獻都很大，對后世的影響也很大。

　　趙爽又名嬰，字君卿，他自己說是“負薪余日，聊觀周髀”，也就是背柴火休息下來，研究研究《周髀算經》。有人根據(jù)他這一句話，說他是體力勞動者，平民數(shù)學家，看樣子都不太像。真正是樵夫出身，哪有那閑功夫去看什么周髀？就是想看，也沒那么多好條件。

　　對劉徽的一切也不太明白，只知他受了一次封，不過那是八九百年后的宋朝了。那時為了提倡恢復數(shù)學教育，在宋徽宗大觀三年（1109年）追封了歷代“著名算數(shù)者”，一共70多位，而且還在孔廟的兩側走廊畫影造形，享受一下國家級待遇。

　　那追封的人中有“張衡西鄂伯”、“祖沖之范陽子”，等等。封建社會共有五等爵位：公、侯、伯、子、男，所以張衡得了個三等爵位，祖沖之是四等。劉徽得的是“淄鄉(xiāng)男”，第五等。從中也可以知道，劉徽是淄鄉(xiāng)人，即現(xiàn)如今山東臨淄或淄川一帶人。因為以上所封的人大多符合籍貫。

　　花開兩朵，各表一枝。我再說一說那趙爽的成就。

　　趙爽注《周髀》，首先第一件功勞就是證明了勾股定理。

　　在咱們中國歷史上，有案可考的第一個勾股定理證明，就是趙先生。趙先生的證法是用了“弦圖”，而且是彩色的。從下圖可以看出，兩個打陰影的正方形面積，就是勾的平方和股的平方�，F(xiàn)在把三角形Ⅰ移到Ⅱ，三角形Ⅱ移到Ⅲ，又構成了一個新的正方形，它的面積正好是弦的平方。由此，定理得證。

　　不過，趙爽只在圖旁寫了一句話：“按弦圖可以。”就像那位印度數(shù)學家寫了一個字：“瞧！”

　　勾股定理的各種應用，始終是中國古算的一個特征，叫做“勾股術”。

　　第四回中列出一些“勾股術”的公式，都可以用上面的那種方法來證明。也就是想辦法作一個圖，然后割補、移位，這就叫“出入相補原理”，這是劉徽提出的思想，趙爽首先運用，日后更被許多人用得淋漓盡致，做出了不少好文章呢！

　　再說趙爽除建了這第一功以外，更從分數(shù)運算中，概括出“齊同術”。

　　原來那《周髀》、《九章》中，雖然分數(shù)的加、減、乘、除都有很多的例子，但是沒有概括出運算的法則。

　　所謂“同”，就是把分母乘在一起，使分母不同的分數(shù)變得分母相同，這也就是今天所謂“通分”的來歷。

　　那么“齊”是什么意思呢？比如現(xiàn)在有兩個分數(shù)：

　　這樣齊同之后，就可以進行四則運算了�！吨荀隆贰ⅰ毒耪隆分械姆謹�(shù)運算就是通過齊同后做的，只不過沒說明罷了。

　　在《周髀》中，還有測量太陽高度的問題，大概的辦法就是在地上立兩根測桿，古代叫做“表”，然后計下兩根“表”的長度，兩表之間的距離，兩表留下的影子，這樣，古人認為就能得出太陽的高度了。

　　這自然是錯誤的。因為如果兩根測量桿離得較近的話，影子的長度就差不多一樣了；而兩根測量桿高有十萬八千里，那么地球不是一個平面，是彎曲的，而這種測高的算理，是基于測量的基準面是個平面，所以也會錯。古人有測量太陽高度的雄心壯志，當然令人敬佩，雖然有錯，精神可嘉。

　　何況用來測一高山、高建筑，所說的一切就完全正確了。因為這時當然可以把測量的基準面——地面認為是個平面，兩根“表”離得近嘛。

　　趙爽就給《周髀》中這么個方法作了注釋，詳細說明了求法。以后更由劉徽發(fā)揚光大，用來表海島的高、遠，著成《海島算卷》，成一家之說。

　　那么，《周髀》上的“日高圖”（測太陽高度的示意圖），究竟是什么樣子的呢？原圖是早已沒有了，但能根據(jù)趙爽的說明將其恢復。

　　趙爽根據(jù)“表”的距離、表高和景差——也就是兩個影子（“景”）的差，得出以下求日高的公式：

　　他測量的方法是這樣的：

　　立兩根一樣長的標桿（“表”），使得和要測的海島三點一線。然后“人目著地取望島峰”，眼睛要趴在地下對準島峰看，這樣對于兩個“表”就分別取得了H和I點。那么“表目距的差”就是F1減去DH了。

　　用這種測量方法可以測量很高，以及底部不能到達的物體的高度。不但如此，還能測出海島離觀察點有多遠。

　　那么這個測高公式是怎么得出的呢？是不是有證明呢？原本劉徽是有圖有注，而“注”就是證明。到后來，就只有公式沒有圖和注了。

　　南宋的大數(shù)學家楊輝說過，“海島算法，隱奧莫得其秘”。楊先生甚至將海島置于座右，以推想“先賢作法之萬一”。

　　到得清朝，李潢等數(shù)學家都嘗試給出劉徽那時候的證明、不過經現(xiàn)代一些數(shù)學家的研究，覺得那些證明都不太符合當時的實際情況。

　　那么劉徽那時的“古證”，究竟是個什么樣子呢？現(xiàn)代大數(shù)學家吳文俊先生根據(jù)各方面的分析，給出了這么一個古證的復原：

　　首先，對于矩形AB，對角線上化一點C，可以得到矩形CI）的面積等于矩形CE的面積。這其中的道理也不復雜，因為△ABD＝△ABE，而在這兩個大三角形中，各有兩對小三角形，面積也是相等的，等量減等量，當然就得到所說的兩個矩形面積相等。

　　在今天，這種方法就是所謂割補法，可以用來計算面積。而在古代，這就歸納成了一條重要的原理，叫“出入相補，各從其類”，這是劉大師的杰作，我們在前面就看到了用這條“出入相補原理”來證明勾股定理。

　　這么一來，“海島高”就簡單多了！

　　矩形JG＝矩形GB    矩形KE＝矩形EB

　　兩式相減    矩形JG－矩形KE＝矩形GD，所以

　�。‵I－DH）×AC＝ED×DF，

　　而FI－DH就是“表目距的差”，所以有表目距的差×（島高－表高）＝表高×表距，由此自然能得到島高公式。

　　瞧，多么輕松，多么自然，更主要是符合當時的各方面實際。

　　《海島算經》的第一題，就是這么個測島高的問題。他老先生開頭就是這么一句：“今有望海島……”所以后人、后生就把這本書起個名，叫《海島算經》。

　　《海島算經》只有九個問題，都是一些“測”和“望”問題。不是“望海島”，就是“望谷”，“望松”，“望樓”等等。因為要“測”，首先必須用標桿“望”，而且都是兩“望”兩“測”，得到的公式，分母都像上面的一樣，是兩測之差，所以這一解題的招術就叫“垂差術”，是咱們中國古算一大創(chuàng)造，優(yōu)良傳統(tǒng)。

　　劉大師在給《九章》作注的序文中說：“凡望極高，測絕深而兼知其遠者，必用垂差。”

　　他那《海島算經》里的九題，都是高的摸不著頭，低的探不著底。而且要測的東西，底部也挨不上去。

　　這“出入相補原理”，可是當時的一大法寶。比如用來證有勾股定理。古代的中國數(shù)學家們，從劉徽、趙爽開始，一直到清朝的梅文鼎、李善蘭都用這個法寶，設計出各種巧妙方法，不厭其煩一證再證，樂在其中。有位華衡芳老先生，設計出22圖，來證這么個定理，真可算得上一絕。

　　還有第四回中說過，已知勾股之差和弦的長度，求勾、股，或者是已知股弦之和以及勾，求股、弦，等等，在《九章》中都給出了公式，而證明，可就是劉徽用“出入相補原理”給出的啦。

　　這個原理在今天，對咱們還有用處，用面積相等來求長度，大家好好想想，見到過嗎？恐怕不止一次吧。

　　劉徽用“垂差術”創(chuàng)造出的測量奇跡，西歐社會即使到了15、16世紀，也望塵莫及。

　　卻說劉徽另一件功勞就是圓周率的計算。

　　說到圓周率，大家都清楚，那不是3．1415926嘛！有人還會進一步背到小數(shù)點后面100，300位，倒也真算得記憶的好漢，好學的君子。

　　只是這圓周率的求法就不那么簡單了。’首先是要確定一個計算的步驟，計算的公式；然后是一步一步不畏艱難不怕繁雜去算，古時的計算工具，最先進的就是算籌；最后還要有一種科學的誤差分析和誤差估計的辦法，算對了還是算錯了，誤差是多少，要有個明白的說法。

　　這么三件事可不是所有人都能認識到的。在一些人的腦袋里，似乎圓周率的計算很簡單，畫一個圓出來，半徑當然是已知的，然后用一根絹子把圓周一圍，得個尺寸，最后再相除一下，不就解決問題了嗎？

　　豈不知你這樣量圓周誤差不但大，而且各人有各人的量法，誤差還很隨意，不好控制。再說了，把一個長度量準了，可要受到測量工具的限制，沒法準到多少多少位。

　　而大師劉徽就是認識到咱們所說的三個要點，做了這三件事的中國第一人！足可笑傲江湖，橫刀立馬，稱雄天下。代表了當時乃至一千多年后的世界水平。

　　直接“量”，自然是不行，劉徽以前的人大致是用這個方法吧，或者比它好不了多少，所以得出的圓周率大多是“周三徑一”，或者是用 10來近似。

　　劉徽慧眼獨具，他采用的是“算”的辦法，這樣就達到了三個要求。讓咱們來看一下下頁的圖，這首先是一個半徑為1的圓，內接一個正六邊形。

　　正六邊形的面積當然好計算，就用它來近似代替圓的面積，而圓的面積就是π的值。當然用正六邊形近似圓，很不精確。

　　不過不要緊，下一步是在此基礎上作正十二邊形，計算這個十二邊形的面積。大家可以看到，圖中那正十二邊形的一部分（全部的 1/6），是一個四邊形，這個四邊形是兩個三角形底對底（公用一底）構成的，面積好算，是六邊形的邊長乘以半徑，再除以2。這樣十二邊形的面積自然可以得到。

　　再一步，我不說同學們也會料到，就是再作正二十四邊形。根據(jù)計算十二邊形面積的方法，那當然要首先知道十二邊形的邊長，才能算出二十四邊形的面積。

　　這個邊長如何算？讓咱們再看一看圖。

　　因為PT是六邊形邊長之半，OP是半徑，那當然就能用勾股定理得出OT；然后從OR中減去OT，自然就得到TR；最后在三角形PTR中再用勾股定理，就得到了十二邊形的邊長PR。

　　就這么一直做下去，邊數(shù)翻倍，十二、二十四、四十八、九十六……這些面積一個比一個大，一個比一個更接近圓的面積。這就是劉徽創(chuàng)造的、大名鼎鼎的“割圓術”。

　　所謂“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”。

　　劉老先生的意思就是，“割”得越“細”，相差得就越少；一直不停地“割”下去，以至于不可割，就與圓完全一樣，而沒有誤差啦！

　　實際上又怎么能沒有誤差呢？因為你沒法一直不停地“割”下去，所以你就得估計一下誤差，看看算到多少邊形，就可以精確到小數(shù)點多少位。想到這一層的人更少，也更不容易，但更加重要。請想一想，這么重要的一個常數(shù)，你對它的精確度心里沒譜，能放心使用嗎？要是用到關鍵的地方，說不定會衛(wèi)星落地，核彈誤爆。

　　那么劉大師是如何估計誤差的呢？讓咱們回頭再看看那張圖。

　　劉徽又在R處添了一條切線，然后由P、Q作垂線，得到一個矩形，這一塊矩形連同三角形OPQ，構成的面積可就超過了圓的面積了。

　　所以如果咱算到正十二邊形，那么圓面積就大于正十二邊形，而小于這么一個齒輪形的面積。這么一來，圓周率的真值也就在這兩者之間，它的精確度不就估計出來了嘛！

　　按算到一百九十二邊形來看，誤差不超過0．232，那么π本身就差不到0．003，所以劉徽就把圓周率之值取為3．14。

　　這么一個圓周率的值，被人們稱之為“徽率”。

　　這一下就可以放心了，那 3．14的第二位小數(shù)是完全準確的，不是瞎蒙，有根有據(jù)。

　　不過那3．1416的圓周率值，竟然打起了一場官司，有人認為它是祖沖之得出的。興起這場爭論的是清朝數(shù)學家李潢。后來參加筆戰(zhàn)的人就越來越多啦，從解放前一直爭到解放后，挺熱鬧。許多數(shù)學家都熱鬧過，大部分人都主張還算是劉徽閣下的。

　　說起來也是“是非成敗轉頭空”，就算是劉先生的，與他也沒什么大關系了。只不過爭論一番，弄清發(fā)展的來龍去脈，也還是有益處的。咱們這也算是“古今多少事，都付笑談中”。

　　話說那祖沖之自然也是一等一流的數(shù)學大師。到如今，也只有他老人家是第一個登月的中國人。

　　此話怎說？卻原來祖老先生不但在中國，而且全球聞名，所以就把月球上的一座球形山，命名為祖沖之山。

　　大家若是中秋賞月，或是閑來無事看吳鉤，那么吳剛嫦娥倒是見不著，而是常常能看祖老先生了。

　　那祖沖之（429—500）是南北朝時代南朝的宋（420—478）、齊（479—502）兩朝人，比劉徽、趙爽晚了200多年。

　　祖沖之在劉宋朝廷被安排在政府的學術機構——華林學省工作，并“賜宅宇車服”，搞學術研究，是個享受國家津貼的有貢獻學者。后來又調到各處任地方官，大約是縣團級。晚年被提升為長水校尉，成為高級將領，而且給當局上書獻策，談談治國方略，以圖一展抱負。不過這些治國安邦的計劃也沒實現(xiàn)。

　　祖沖之最突出的成就倒不是政績，而是數(shù)學了。他繼承劉徽思想，通過研究劉徽的注釋和《九章》，水平自然不淺。

　　他認為徽率3．14不夠精密，繼續(xù)往下推求，用的還是“割圓術”，他的新結果是：

　　3．1415926＜“正數(shù)”＜3．1415927所謂“正數(shù)”就是圓周率的準確值。

　　但由于它是無理數(shù)，不能用有限小數(shù)或分數(shù)表示準確值，所以只能用有限小數(shù)不斷逼近他，用一串有限小數(shù)逐漸地靠近那個準確值。

　　不但要用一串有限小數(shù)去逼近，而且要用上限和下限兩個數(shù)（或兩串數(shù)）去“夾”，這樣，圓周率這個無理數(shù)就被準確地描繪出來了。

　　因為這么一“夾”，就有了精度的衡量，“正數(shù)”（準確值）的大小范圍明瞭了，這可是一種非常非常先進的思想，了不得，是現(xiàn)代數(shù)學才有的思想。而劉徽和祖沖之在那么遙遠的年代就有此卓見，同學們，你看應當如何評價呢？

　　祖老先生把那個不足近似值3．1415926，叫做“朒數(shù)”，而那個過剩近似值3．1415927叫做“盈數(shù)”。按他的話說，“正數(shù)在朒盈二限之間”，可嘆，可敬！

　　祖沖之的這個圓周率，自然叫“祖率”，保持了一千多年的世界紀錄。公元1596年，荷蘭數(shù)學家盧道夫經過長期艱苦努力，把圓周率算到15位小數(shù)。1610年他逝世后，人們在他的墓碑上刻上他的這個成果，并把這個數(shù)叫做“盧道夫數(shù)”。數(shù)學家墓碑都挺有職業(yè)味道，你說是不是？

　　當然，現(xiàn)在計算圓周率，可不是用這種方法。不是方法不對，而是用這種方法太慢。從這我們也可以想見劉徽、祖沖之的計算工作是多么繁重，要知道，計算中要有多次開平方呢！

　　祖沖之還給出了分數(shù)形式的“約率”、“密率”，

　　約率，就是精確度差一些的；密，就是精確度好一點的。

　　圓周率看起來是個簡單的問題，其實真不簡單，它往往反映了當時的數(shù)學水平和數(shù)學思想。

　　祖沖之的家庭真算是書香門弟了，他的先輩有搞建筑工程的，有寫詩作文的，也都有歷法研究的根底。他的兒子、孫子都精通歷法。

　　尤其是兒子祖?，更是了得，很可以說“青出藍而勝于藍”。他造過當時的計時工具——漏刻。在梁天監(jiān)十三年（514 年），去搞治淮工程，后來工程被水沖垮了，就被逮入獄，不知是不是判的是瀆職罪。出獄后遇到一位高人給他講授數(shù)學，恐怕是得益非淺。

　　祖的拿手絕活就是計算體積。

　　許多體積問題咱們在《九章》都已見到“術文”了，都很正確，只有唯一一點遺憾，就是球體的公式不對。

　　這一點劉徽老先生已經發(fā)現(xiàn)。那么如何解決呢？他想了一個關鍵的辦法，就是在一個正方體里，縱橫交錯內切兩個圓柱。那兩個圓柱相交的公共部分，就是他所說的“牟合方蓋”，像個做得不太好的燈籠，或是兩把底對底的方形傘。

　　這么個圖形不太好想象，要發(fā)揮一下大伙的水平了。這個圓形名子怪，樣子也挺怪。那么劉徽先生為何出此怪招呢？

　　原來他天才地發(fā)現(xiàn)，如果用一個平行截面去截它的話，不管這個截面是上去一點，還是往下截一點，截出的總是一個正方形！

　　如果在這個“牟合方蓋”里再內切一球（實際上也是原正方體的內切球），那么再用截面平行去截，截面就是一個正方形含內切圓。那個內切圓就是球的截口。

　　■

　　正方形與內切圓的面積比是 4：π。而現(xiàn)在任意一個平行截面都是這樣的形狀，都是4：π，你說說，“牟合方蓋”與球的體積之比是不是也是4：π響？因為體積，咱們可以看作是這無數(shù)平行截面壘積而成的！

　　劉徽在這里提出了一個很重要的思想，就是兩個幾何體，如果用任一個平行截面去截，截得的兩個截面的面積比總是a：b，那么這兩個幾何體的體積之比也是a：b。

　　現(xiàn)在如果這個比是1：l，也就是兩個截面積相等，那么自然兩個幾何體的體積就應該相等了。這正是祖?提出的著名判斷：

　　冪勢既同，則積不容異。

　　冪勢，即作面積講；而積，就是體積了。祖?的這一段話后來就被命名為“祖?原理”，在計算體積中有極重要的基礎作用。不過，咱們也看到了，劉徽也有著同樣光輝的發(fā)現(xiàn)和應用，所以還是叫“劉祖原理”為好。

　　但是劉徽在得出了“車合方蓋”和球的體積之比之后，他就想計算出那個怪物的體積了。不過進展很不順利，他對這個“方圓相纏，濃纖詭互”的復雜圓形沒有了辦法，只有“以俟能言者”了。

　　祖?看到這個問題后，自然也是想了半天，后來他靈機一動，于脆去計算從正方體中去掉“牟合方蓋”后，所余下那部分的體積。如果能算出來，那么“牟合方蓋”的體積只要兩下一減就得到了。

　　他成功了！用的也是“劉祖原理”！他首先構造了一個容易算體積的方錐，而后再去截！

　　這成功確實不容易，難怪他在得出了球的體積之后，得意洋洋地說：“等數(shù)既密，心亦昭晰，張衡放舊，貽曬干后；劉微循故，未暇校新，夫豈難哉？抑未之思也。”

　　意思是張衡、劉徽都按著舊套子去干。這有什么難的？那不過是沒好好想罷了。

　　這么重要的“劉祖原理”，西方一直到17世紀意大利數(shù)學家卡瓦列利才發(fā)現(xiàn)，他們那一直把它叫做“卡瓦列利”公理，好像是不太公平吧！

　　祖代父子還有一本高級專著：《綴術》。據(jù)說是“旨要精密，算氏之最者也”，曾經被當作當時數(shù)學專業(yè)的必修書，要學四年。

　　但是曲高和寡，“學官莫能究其深奧，故廢而不理”，這部好書就在北宋天對、元豐年間（1023—1078）失傳了。也正是個“把闌干拍遍，無人會，登臨意”。

　　魏晉南北朝時期，雖然戰(zhàn)亂頻繁，但數(shù)學成果倒不少。當時有一本著名的算經，叫《孫子算經》，大約是公元400前后的產品，全書三卷，作者已經不詳了。

　　《孫子算經》之所以有名，是因為有一個著名的問題：物不知其數(shù)。

　　即所謂：“今有物，不知其數(shù)。三、三數(shù)之余二；五、五數(shù)之余三；七、七數(shù)之余二。問物幾何？”

　　也就是說有一堆東西，3個3個數(shù)余兩個；5個5個數(shù)余3個，7個7個數(shù)也余2個，問你一共有多少個物體。

　　翻譯成數(shù)學語言，無外乎是被3 除余2，被 5除余 3 如此等等，所以我們今天用方程列出就是：

　　N＝3x＋2

　　N＝5y＋3

　　N＝7z＋2

　　這里N 表示物體總數(shù)，X、y、z 分別表示被 3、5、7 除后所得的商。三個方程，四個未知數(shù)，那么有解的話，就肯定不會唯一的了。這類方程叫不定方程，同學們想必均已知曉。

　　這個問題現(xiàn)在可以用同余的知識來解決。當時的《孫子算經》是這么給出招“術”的：

　　將三三數(shù)之的余數(shù)，乘以 70；五的余數(shù)乘到 21；七七之余乘以 15。然后相加，再減去105的若干倍，即得答案23。

　　這其中的 70，21，15，顯然是關鍵之數(shù)。其訣竅就在于，70 是 5 和 7的倍數(shù)，而被3除則余1；21是3、7的公倍數(shù)，而被5除余1；15呢，不用說是3、5的公倍數(shù)，而被7除余1了。所以如果問題中各數(shù)的余數(shù)是a、b、c的話，那么70a＋21b＋15c，便是所求的一個答案。大家不妨推敲一番，便知奧妙。

　　那么為什么又要減去105的倍數(shù)呢？因為105是3、5、7的公倍數(shù)，從最初的和數(shù)中，減去 105，仍然是一個答案，另一個解。而算經中之所以減去，是為了求得這個問題的最小正整數(shù)解。

　　這一套算計真是奧妙，后人更給它編了一首詩，朗朗上口，十分好記：

　　三人同行七十稀，

　　五樹梅花廿一枝；

　　七子團圓正月半，

　　除百零五便得知。

　　正月半者，十五之謂也。

　　這個大名鼎鼎的題目后來由秦九韶發(fā)展為“大衍求一術”，在 1876年德國一學者發(fā)現(xiàn)孫子的解法與19世紀高斯的理論和解法完全一致，故而這一杰出的成就為世界矚目，被稱作“中國剩余定理”。

　　《孫子算經》是一本當?shù)氐钠占白x物，雅俗共賞，多為游戲性質的趣題。

　　著名的“雞兔共籠”便在其中：

　　今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔幾何？

　　孫子的算法真是妙不可言。他設想雞免的足通通減少一半，成 47，也就是小雞一律金雞獨立，只有一條腿了；而小兔前爪舉起，剩兩只爪了。

　　那么這樣一來，47就是兔頭的二倍加雞頭數(shù)，從中減去總頭數(shù)35，得名義頭數(shù)12，也就是兔的數(shù)目。剩雞的數(shù)目當然是23啦。

　　此外還有這樣的趣題：今有出門望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色。問各幾何？

　　詩一般的意境自然能提興趣，吊胃口，孫子的心理學掌握得不錯。咱們在埃及的萊因德紙草卷中，已見過這個問題的類似情況。只不過在那里是 7的乘方，咱們這兒是9的乘方。九，陽數(shù)之最也，算是中國古代的極品之數(shù)了。

　　且說那歷史車輪轉到隋唐時期，隋朝雖然很短暫，但卻很繁榮；而盛唐時期更是古代中國空前鼎盛時代，后代一直津津樂道所謂“貞觀之治”、“開元盛世”。

　　經濟各方面發(fā)達了，學術研究文化事業(yè)當然也跟著繁榮。在這么一個情況下，數(shù)學教育也制度化，中外數(shù)學交流也比較多。

　　咱們中國的數(shù)學教育有悠久歷史。孔老夫子的教育內容有所謂“六藝”的說法，即禮、樂、射、御、書、數(shù)。也就是要學會禮儀、音樂、射箭、架車（“御”）、計算等本領、很有培養(yǎng)復合型人才的遠見。

　　據(jù)說周秦以來，小孩子六歲及八歲入學，就要學數(shù)學的基礎知識。

　　隋代建立了最高學府——國子寺，和亞歷山大的大學差不多。其中就設立了明算學，也就是數(shù)學系了。主持數(shù)學系的有算學博士2人，算助教2人，招入學生80名。不過這位算學博士（系主任）的級別很低，只是從九品下，簡直夠不上級別，最末一級。

　　到了唐代，最高學府叫國子監(jiān)，也有明算科，也有明算博士主持工作。唐初明算科，分為兩個層次，好像�？啤⒈究�，或者像大學、研究生那樣，都要學七年，學的教科書就是“算經十書”，其中第二個層次要學《綴術》，那時這本書還沒有失傳。

　　學習期滿要進行考試，從算經中出十道題，答對六道才算及格。有時還加口試，規(guī)定“得八以上為上；得六以上為中；得五以上為下”。

　　這樣的教育制度不但影響到宋朝，而且還連制度帶教科書一起出口到日本、朝鮮。不知當時是不是按照現(xiàn)在一些大國的做法，搞一個什么“三○一”條款。

　　中國和印度的古代數(shù)學好像也是互通有無，相似的地方很多，有的完全一樣。有趣的是，相似的地方，印度一般晚于中國的記載。

　　不但正確的很相似，而且《九章》中兩個誤差很大的公式，在印度的《平面積量法》這本書里也記載著，完全一樣。對的方面相似還好說，錯也錯的一樣就不大可能了。

　　就好像閱卷的看到兩位學生的試卷鍺的一樣，那他就要認為是作弊了。當然咱們可不能說印度的數(shù)學有什么這個那個的嫌疑，只不過中印兩方面，數(shù)學肯定有著很密切的交流。諸位也許記得，印度的數(shù)學符號，不是也傳入過中國嗎？

　　卻說中國古代文學中，有唐宋八大家，那當然流芳千古；但咱們中華古算史上，倒也有鼎鼎有名的宋元四大家，將古代數(shù)學推上了前所未有的高峰。這四位前輩倒也是“聚得攏，散得開”。

　　何謂聚得攏？卻是因為他們都是同時代，相差不到50年，同時都卓有成就。

　　那又怎稱得上散得開？那是由于這四大家的當時既沒有現(xiàn)代火車、飛機的交通便利，又沒有計算機聯(lián)網(wǎng)查詢，可以方便地進行學術交流。他們都處于宋、元交替之機，兵連禍結，天各一方，沒個安生日子過，各人顧各人鉆研學問，但都對高次方程的解法做出了大貢獻，你說奇也不奇？

　　這其中首先一位是秦九韶（約1292—1261年），咱們大家也大略知道一點他的大名，秦九韶公式嘛。也就是外國人所說的海倫公式，求三角形面積的。秦九韶是南宋人。那時南宋小朝廷內爭激烈，腐敗不堪。秦先生聰敏好學，“星象、音律、算術以至營造（建筑）無不精究”，“游戲、■馬、弓劍莫不能知”。

　　可能是他精力太過剩了，對那腐敗的政治也多想?yún)⑴c，“出污泥而有染”，品行很不好。他是個官迷，還是個貪官，到瓊州（海南）做官僅僅百多天，老百姓就盼他早死早好。照這么看來，要是現(xiàn)在被反貪局抓到，非殺頭不可。

　　不過照一位美國史學家說，他無疑是“那個民族、那個時代，并且確實也是所有時代最偉大的數(shù)學家之一”。

　　秦九韶的學術偉大在什么地方呢？

　　首先是創(chuàng)建了“大衍求一術”。大家當然能記得咱們剛說過的“中國剩余定理”，也不會忘記那三個關鍵的數(shù)：70、21、15。

　　這三個數(shù)之所以重要，是因為它們除以某個數(shù)余 1，而又是另兩個數(shù)的倍數(shù)。比如70，是5和7的倍數(shù)，但又被3除而余1。

　　這樣的數(shù)如何找？如何求？當然有規(guī)律可尋，不能瞎碰。秦九韶正是找到這求法，把它稱為“求一術”，求一個被某數(shù)除余“一”的數(shù)。

　　正因為這么個“求一術”是普遍適用的，所以“孫子問題”就不限于3、5、7了，也不限于三個數(shù)了，可以是很多個數(shù)。

　　這“大衍求一術”記載在他寫的《數(shù)書九章》中，反映了中國古代在一次剩余問題的解法方面有著極為輝煌的成就。19世紀介紹至歐洲，引起很大轟動。

　　《數(shù)書九章》是 1247年寫成，約 18卷20萬字，堪稱煌煌巨制。它記載秦氏的另一項代表中國乃至世界中世紀最高成就的東西是一元高次方程的解法——秦九韶正負開方術。

　　中國的開方術，是世界上發(fā)明最早的主要算法之一�！毒耪隆分卸辔粩�(shù)的開平方、開立方法則，是全球最早、最完整的記載。

　　古代巴比倫的繁雜數(shù)表諸位當能記得，那其中就有立方表、平方表，他們就是借助這表來進行開方運算的，煩，沒一般方法。古希臘亞歷山大時期約400年，才有幾個開平方的例子。

　　開平方的一般筆算方法現(xiàn)在初中已經不學了，用計算器按按挺方便。但

　　這開方的一套程序自《九章》以來，又經不斷改進，算法比較簡便了，但本質都相同。后來又發(fā)展成一套高次方程的數(shù)值解法（不是用求根公式解），到秦九韶一代更到成熟地步，從而達到當時世界水平的頂峰，譜寫了中算史上極其光輝的一頁。

　　秦先生的光輝著作中共有20多個高次方程問題。最復雜的有高達十次的方程，那是一個所謂“遙度圓城”題，也就是測量一座圓城。不過秦先生有些好大喜功，這個問題用三次方程就能解決了，他偏要賣弄�？赡苁切愿袷谷唬�也可能是為了說明十次方程的解法。

　　牛頓—拉弗森是西方數(shù)學嘖嘖稱道的解高次方程的好方法，但是它的原理卻同中國的開方術解法是完全一致的。不過卻比咱中國晚了600年以上。

　　那開方的辦法既如此重要，人們自然想到開四次方、五次方等等應依據(jù)什么開，照今天的眼光來看，就是看看等等各項展開的系數(shù)。秦九韶自然是知道這一套的，否則他的七次方程也沒法做，沒法求根。

　　但比他更早的是北宋人賈憲所做的貢獻。可能會有人問了，這北宋人能算得上你剛才所說的宋元之際的四大家嗎？

　　那自然是算不上。但賈憲活動于 1022—1054 年間，生平和著作都已失傳。而他的知于世，全靠著另一位大家、四大家之一的楊輝，在他的《評解九章算法》中記載的。

　　楊輝的幾本著作寫于 1261 年—1275 年間。那么他在《評解》又記述了賈憲的什么功勞呢？這就是用來開方的關鍵圖——“開方作法本源圖”。這張圖就是一一列出了這樣一個二項展開式的各項系數(shù)，你說緊要不緊要？

　　在這個二項式中，如果n＝0，那么系數(shù)當然只是1；若 n＝l，那么展開后的系數(shù)就是1．1；而n＝2和n＝3，分別就是1、2、l和1、3、3、1。如此等等，n逐次增大，系數(shù)的個數(shù)也逐次多一個。

　　賈憲把這些系數(shù)依照n的不同，一層一層從上往下放好，就成了一個三角形。所以就叫它賈憲三角形。也把它叫做賈憲一楊輝三角形。本來嘛，這個三角形能傳播天下，多虧了楊輝的功勞，楊輝不掠人之美據(jù)為己有，應該大大表揚。

　　這賈憲一楊輝三角在西方叫帕斯卡三角形，不過晚咱中華500多年了。

　　但是就是在西方，就算不知道賈憲的成果，叫帕斯卡三角形也不對，還有比帕先生早100年發(fā)現(xiàn)的。

　　楊輝的生平、年月也不大清楚，是錢塘（今杭州）人。他做過官，比秦九韶好多了，是個清官。

　　雖然生平事跡沒多少人知道，但他的著作很多，流傳至今的也有不少。

　　他的《評解九章算法》共 12 卷（1261 年），現(xiàn)在都殘缺不全了。楊輝是把《九章》的 246問提出80問進行評解，按由淺入深的順序，分類講解，有圖有算草，十分細致。

　　現(xiàn)如今的幻方，也就是在一個棋盤格子里填上數(shù)，使縱列橫行以至對角線上的各數(shù)之和都各各相等，完全相同。這在古代叫做“九宮”，河圖洛書就是一種幻方。

　　楊輝在《續(xù)古搞奇算法》中給起了個名叫“縱橫圖”，記載了13幅圖。

　　咱們現(xiàn)在看到的圖就是一個四階幻方，你看各行之和不都是34嗎？各列也是如此，還有兩條對角線。

　　最重要的是楊輝敘述了這縱橫圖的構造法，如何填數(shù)，如何對換，對構成規(guī)律已有了發(fā)現(xiàn)，可以說是前無古人的。

　　雖然幻方這個問題很古老，但它卻是勃勃興起的組合數(shù)學的重要內容呢！

　　楊輝還是個優(yōu)秀的數(shù)學教育家，他主張循序漸進，精講多練。他的許多著作都是寫的教科書。所以咱們的數(shù)學教育研究會可以選楊輝為首任名譽會長，尊為祖師爺。這秦九韶、楊輝兩位南宋末年的數(shù)學家咱們說完了，那就再聊聊元初的兩位數(shù)學家。這兩位創(chuàng)“天元術”、“四元術”，都是解高次方程的，一位叫李冶（1192—1279），一位叫朱世杰，稍后李先生二十多年。

　　李冶是北方人，住在金國，中進士后曾當過州官。后來蒙古軍破了城，李先生就隱居起來，研究學問。大元得了江山，忽必烈下詔讓他做官，李冶以老病推托了。

　　1248年，秦九韶的著作問世僅一年，李冶的《測圓海鏡》就問世了。這本書最重要的是提出了“天元術”，說的是如何立方程，表達一個方程。怎樣表示一個方程，這在代數(shù)上很重要，大致分三個階段，最后一階段就是符號代數(shù)階段。而李冶創(chuàng)“天元術”，也大致到了這么個地步。

　　所謂“天元術”，就是天元為未知數(shù)，以“太”為常數(shù)。把一個一元高次方程，用算籌形式表達出來。表示的是各項的系數(shù)。

　　具體是這樣的，首先寫下元字（或太字），然后擺上一次項的系數(shù)，在“元”的旁邊。的系數(shù)擺在一次系數(shù)上面，次數(shù)每增一次，層次就高一級。“元”下面一層擺“太”，即常數(shù)項的大小。太下面可放X的－1、－2、……次冪的系數(shù)。

　　這就是我國古代方程的表示方法，大家倒可以用火柴棍當算籌，擺上試試。

　　雖然秦、李兩人一南一北，毫不相識，但他們所用的符號倒是相同的，令人吃驚。

　　李冶及秦九韶的方程式都是一元的，系數(shù)也允許有負數(shù)。這表示系數(shù)的算籌上要是斜放一杠，就表示是負的了。

　　一元高次方程的解法當然還用“開方術”。那么多元的問題自然會被人思考。這方面卓有成就堪稱大家的就是朱世杰了。

　　朱世杰客居北京附近，后來就靠數(shù)學名家的聲望和技藝周游講學 20 余年，到得揚州，“踵門而學者云集”，上門求學的像云一樣匯攏。

　　他的發(fā)明中至少有兩項可得全國科技特等獎，或者世界數(shù)學菲爾茲獎。首功是立方程，立四元高次方程。朱世杰所著《四元玉鑒》（1303 年）中，創(chuàng)制“四元術”，把“天、地、人、物”分別當為四個未知數(shù)，好像現(xiàn)在的 x、y、Z 和 u。和“天元術”相通，這種四元方程也是用算籌布列成一個系數(shù)的陣，只不過不像一元，布的是長長一列，它是四元，布成的就是一個方形，矩陣。

　　如果兩個方程中 y 的最高次不一樣，那么就可以給次數(shù)低的方程乘上 y的適當次數(shù)，使兩個方程中y的次數(shù)一樣高，便于消元。

　　這消元的杰出成就再加上開方術解法，就基本上完全解決了多元高次方程的解法問題。當然，還有一點小小麻煩，方程何時有實解？如何判斷？在中國，這個問題解決得晚。

　　一直到清朝，有汪萊其人研究了這方面問題。那時離宋、元高度發(fā)達的數(shù)字已有500余年了。宋、元時代那遙遙領先的中華古算，竟在明代被埋沒了300多年！至此以后，中國的數(shù)學就開始從頂峰下滑，從遠遠領先的位置變成大大落后的局面，可惜啊，中華古算！

　　但凡萬事萬物，總有消就有長，希臘數(shù)學也是如此。就在這兩大數(shù)學體系，另一地方的數(shù)學成就卻在緩慢上升，最后進入快車道，形成完整的現(xiàn)代數(shù)學體系。

　　這塊地域在何方何處？如何緩緩上升？又如何快速增長？

　　欲知后事如何，且聽下回分解。