第五回  群賢畢至  托勒密王再續(xù)前緣

　　        兼容并蓄  阿拉伯人又搭金橋

　　阿波羅尼斯的《圓錐曲線》如此完美，現(xiàn)在的大學(xué)課本都未能超過(guò)。羅馬統(tǒng)帥說(shuō)，自己是在和數(shù)學(xué)打仗。兩千多年前測(cè)出的地球半徑，和現(xiàn)在的相差不到1％！《天方夜譚》里的哈里發(fā)，贊助了一下數(shù)學(xué)。

　　且說(shuō)那阿波羅尼斯，也是古希臘亞歷山大時(shí)期人。

　　這一時(shí)期的古希臘真可謂人才薈萃，眾星捧月，把個(gè)古希臘數(shù)學(xué)描繪得花團(tuán)錦簇，色彩班斕。

　　那古希臘的數(shù)學(xué)在亞歷山大時(shí)代，也算是得過(guò)明主了，故而才有所發(fā)展，有所燦爛。上回書(shū)中說(shuō)過(guò)，一代雄主亞歷山大大帝東征西討，足跡所至，遍筑新城。這些城市中好多都叫亞歷山大城，當(dāng)然最大最有名的還是埃及的那座。

　　亞歷山大很想讓他的大帝國(guó)中的各種成份融成一爐，他特意讓希臘文明和波斯文明能融合起來(lái)。一會(huì)兒他自己以身作則，娶波斯公主為妻；一會(huì)兒又下詔讓歐、亞兩大洲的人互相換個(gè)地方住住。還強(qiáng)迫他的幾百名部將、幾萬(wàn)名小卒與波斯女子通婚�？磥�(lái)，這位大帝挺喜歡搞世界一片紅的。

　　不過(guò)愿望歸愿望，待到他一駕崩，那個(gè)大帝國(guó)也就分裂成了三大塊。歐洲部分變成安提哥那帝國(guó)，安提哥那原本為希臘將領(lǐng)；亞洲部分變成塞流卡斯帝國(guó)；埃及歸希臘的托勒密統(tǒng)治。那塞流卡斯和托勒密自然也是亞歷山大手下的部將了。

　　安提哥那統(tǒng)治下的希臘和馬其頓漸漸為羅馬兼并，在數(shù)學(xué)發(fā)展上變得無(wú)足輕重；塞流卡斯帝國(guó)的數(shù)學(xué)似乎也沒(méi)什么特色。

　　但是在埃及的托勒密王朝，幾代君主倒是挺把文化當(dāng)回事，這些當(dāng)權(quán)的希臘人繼續(xù)亞歷山大大學(xué)的建筑，還把許多知名學(xué)者都請(qǐng)來(lái)，由國(guó)家供養(yǎng)著，端著鐵飯碗研究學(xué)問(wèn)。

　　再說(shuō)，幾代托勒密王都還比較對(duì)外開(kāi)放，各種民族都可以到亞歷山大城居住，貴族、平民和奴隸摩肩接踵。對(duì)外貿(mào)易、遠(yuǎn)征考察，使得文化的發(fā)展處于活潑的氣氛中。

　　學(xué)者們分成四大部分工作：文學(xué)、數(shù)學(xué)、天文、醫(yī)學(xué)。除了文學(xué)和數(shù)學(xué)挨不上以外，醫(yī)學(xué)當(dāng)然要用到數(shù)學(xué)。天文學(xué)就更不用說(shuō)了。由此可見(jiàn)數(shù)學(xué)在當(dāng)時(shí)的學(xué)術(shù)界是獨(dú)占魁首。

　　亞歷山大時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)和古典時(shí)期的不同，雖然仍有抽象思維的光榮傳統(tǒng)，不過(guò)更注重實(shí)際運(yùn)用。數(shù)學(xué)家們積極參與力學(xué)方面的工作，計(jì)算重心，研究各種機(jī)械，有時(shí)簡(jiǎn)直就是發(fā)明家。

　　歐幾里德和阿波羅尼斯雖然都是亞歷山大時(shí)代人，不過(guò)他們是古典希臘數(shù)學(xué)的集大成者，和亞歷山大城的其他幾位大數(shù)學(xué)家如阿基米德、埃拉拒色尾、希帕克、梅內(nèi)勞斯、托勒密以及海倫、丟蕃都等等不一樣。后面這幾位是新時(shí)代，也就是亞歷山大時(shí)代數(shù)學(xué)的開(kāi)創(chuàng)者。

　　阿波羅尼斯既然能和偉大的歐幾里德相提并論，當(dāng)然是身手不凡。雖然他是一位很有名望的天文學(xué)家，但是更加非凡的是他的數(shù)學(xué)成就。《圓錐曲線》——β使他贏得了“大幾何學(xué)家”的聲名。

　　圓錐曲線，以前的幾位包括歐幾里德都有過(guò)研究，也都著β立說(shuō)一番。但阿波羅尼斯的書(shū)一問(wèn)世，立刻光芒四射，成為這方面空前絕后（起碼絕一千多年）的經(jīng)典名著，這位阿波羅先生發(fā)了言，其他人也就只有閉嘴的份。按成就來(lái)說(shuō)，這本書(shū)確實(shí)是古希臘幾何的登峰造極之作。

　　阿波羅尼斯比阿基米德小25歲，大約公元前262年出生，曾在亞歷山大學(xué)跟著歐幾里德的門(mén)徒學(xué)習(xí)過(guò)，算起來(lái)是歐幾里德的再傳弟子了。

　　阿波羅尼斯先生研究的學(xué)問(wèn)挺夠檔次。說(shuō)起來(lái)圓錐曲線也就是橢圓、雙曲線、拋物線、其實(shí)這些曲線的性質(zhì)要比圓和直線來(lái)得復(fù)雜，沒(méi)有一定的“透視”能力是得不出什么結(jié)果的。

　　其實(shí)圓錐曲線與人的實(shí)際聯(lián)系很緊密，不研究透了那可就是要受制于它了。比如炮彈飛行的彈道自然是拋物線；汽車(chē)前燈照在地面上的影子，臺(tái)燈照在墻壁上的影子，那就是雙曲線子。以后大天文學(xué)開(kāi)普勒（1571—163O）更發(fā)現(xiàn)，地球的運(yùn)行軌道，其他行星的運(yùn)行軌道，都是橢圓。就是1994年那慧木相撞的大新聞中，自然也有橢圓。

　　人造衛(wèi)星宇宙飛船，那也離不開(kāi)這三種同曲線，速度一變，運(yùn)行的軌跡也會(huì)變成三種中的某一種。

　　不過(guò)這三種曲線為什么叫“圓錐曲線”呢？原來(lái)阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，用一個(gè)平面去截兩個(gè)頂對(duì)頂?shù)膱A錐面，截的位置不同，就會(huì)得到不同的曲線。

　　如果截面平行于圓錐的底面，截得的是圓；如果截面平行于軸，截出的曲線就是雙曲線；要是平行于母線去截，那么結(jié)果就是拋物線。除了上面幾種情況，用其他方式來(lái)截的話，那就是橢圓了。我們這里講的是直圓性，其實(shí)斜圓錐也能截出圓錐曲線，這也是阿波羅老先生的發(fā)現(xiàn)。

　　整個(gè)《圓錐曲線》共分八篇，487 個(gè)命題。和《原本》類似，這篇鴻篇巨制也有著嚴(yán)格的邏輯體系。但由于內(nèi)容廣泛，解釋詳盡，以及對(duì)許多復(fù)雜命題敘述奇特，讀起來(lái)相當(dāng)吃力。甚至可以說(shuō)，這部光輝巨著比目前有關(guān)圓錐曲線的大學(xué)教科書(shū)還要完善得多。

　　比起歐幾里德和阿波羅尼斯，阿基米德在希臘的亞歷山大時(shí)代更富傳奇色彩，流傳著他的種種趣談。

　　要是認(rèn)真說(shuō)起來(lái)，阿基米德可真算得上是歷史上最偉大的教學(xué)家之一。他是亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)的典型代表，成就最多，特點(diǎn)最鮮明。

　　大家會(huì)說(shuō)了，前面那兩位不也是亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家嗎？不錯(cuò)，是這么回事，但是他們所做的事具有的是希臘古典時(shí)期的特點(diǎn)，是集古典時(shí)期之大成。

　　阿基米德大約在公元前287年出生于西西里島上的敘拉古，當(dāng)時(shí)希臘的一個(gè)殖民城市。也就是說(shuō)，那座城市都是希臘的移民。公元前212年，羅馬入侵?jǐn)⒗�古時(shí)被害。

　　據(jù)他自己說(shuō)，他老子是位天文學(xué)家。也算是書(shū)香門(mén)第，子承父業(yè)吧，他也搞起了數(shù)學(xué)這一行，而且還青出于藍(lán)。阿基米德當(dāng)然去過(guò)埃及留過(guò)學(xué)，因?yàn)槟鞘钱?dāng)時(shí)的文化中心。在亞歷山大城，他結(jié)交了不少朋友，有些是歐幾里德的門(mén)人，還有一位叫埃拉托色尼，是咱們馬上就要見(jiàn)到面的另一位偉大的希臘數(shù)學(xué)家。

　　那阿基米德學(xué)成歸國(guó)，就一直在敘拉古生活、研究。不過(guò)一有新發(fā)現(xiàn)，就立刻與亞歷山大城的學(xué)者們交流，征求意見(jiàn)。他的那些發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造也著實(shí)使他們同行們欽佩得了不得。如果當(dāng)時(shí)有諾貝爾獎(jiǎng)的話，一定是一致公認(rèn)的首位獲獎(jiǎng)?wù)�，保不�?zhǔn)還要鬧個(gè)幾連冠。

　　有些同學(xué)會(huì)說(shuō)了，就是評(píng)諾貝爾獎(jiǎng)，阿先生也不會(huì)有份，誰(shuí)不知道諾貝爾獎(jiǎng)里沒(méi)有數(shù)學(xué)獎(jiǎng)��！

　　即使這么看，咱們上面的玩笑也還是錯(cuò)不了。要知道，阿基米德可是位大才子，全才，諸子百家無(wú)一不曉，十八般武藝件件精通。文可安邦，武能定國(guó)，的確十分厲害。

　　別的咱們不說(shuō)，單道那人人知曉的浮力定律，不正是他老人家發(fā)現(xiàn)的嗎？要不怎么叫阿基米德定律呢？這可是咱們上初中就首先佩服了一下的物理定律，能不能得諾貝爾物理獎(jiǎng)？

　　要說(shuō)這條浮力定律的發(fā)現(xiàn)，還有一個(gè)人人知曉的故事。

　　阿基米德本是敘拉古國(guó)王希羅的親戚，再加上那么大的才氣，自然是很得寵信。有一天國(guó)王覺(jué)得剛做好的金王冠不對(duì)勁，懷疑工匠摻雜兌假，是個(gè)偽劣產(chǎn)品，就叫阿基米德搞一下質(zhì)量檢驗(yàn)。要求也挺摩登，不能弄壞王冠，是無(wú)損害檢驗(yàn)，要求很高。

　　那時(shí)也沒(méi)什么射線去照，也沒(méi)有質(zhì)譜議，就靠阿老先生的聰明腦袋了。老先生冥思苦想，菜飯不思也沒(méi)弄個(gè)所以然。

　　這一天到浴室洗澡輕松一下。當(dāng)他浸入浴缸看到他的部分身體被水浮起來(lái)，就突然領(lǐng)悟到解決問(wèn)題的竅門(mén)。他興奮得忘乎所以了，竟然光著身子跑到街上大喊：“我成功了！成功了！（eureka！eureka�。�”

　　他發(fā)現(xiàn)浸在水里的物體，所受的浮力等于其所排出的那部分水的重量。利用這浮力定律就能測(cè)定金冠的真?zhèn)纬煞萘恕?/p>

　　阿基米德甚至還做了一個(gè)令人吃驚的天體運(yùn)行儀，日、月和五個(gè)行星繞著地球運(yùn)動(dòng)，不僅可以觀察天體運(yùn)動(dòng)，而且還能預(yù)報(bào)日食、月食！這是他在《論制作球》這本書(shū)里講到的。他還發(fā)明了一種從河里提水的螺旋提水器。杠桿，這種最簡(jiǎn)單然而也是重要的機(jī)械（我們的手指、手臂彎曲運(yùn)動(dòng)，無(wú)一不是杠桿），最早作系統(tǒng)研究的，還是阿基米德。他的一本專著就叫做《論杠桿》，不但“論”，還有“做”。

　　阿基米德給他的國(guó)王親戚希羅殿下寫(xiě)了一封信，告訴他，一個(gè)人的力量也可以移動(dòng)很重的重物。說(shuō)到最后夸起了海口：給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以舉起地球。

　　希羅王不由得大為震驚，心想咱這親戚本是謙謙一君子，恐怕不是熱昏了頭，就趕緊請(qǐng)阿老先生做個(gè)表演示范。

　　阿基米德就決定來(lái)手絕活，把國(guó)王的一艘重型軍艦裝滿了人和物，靠在船塢里。然后用一套復(fù)雜的滑輪組把船連接起來(lái)。

　　只見(jiàn)這邊阿“工程師”在岸上輕舒猿臂，那一邊整個(gè)大船已緩緩起動(dòng)，慢慢拖上岸來(lái)。把一船軍民、兩岸觀眾驚得目瞪加口呆。

　　所以當(dāng)羅馬大將馬塞路斯率軍來(lái)攻敘拉古時(shí)，國(guó)王自然立即請(qǐng)阿老先生出山，匡扶漢室。阿基米德設(shè)計(jì)許多武器。有可調(diào)整射程并且活動(dòng)射桿的弩炮，能把重物射到靠近城墻的敵艦。有把敵艦從水中吊起來(lái)的大型起重機(jī)。還有一些大反射鏡，把太陽(yáng)光一聚焦，就使敵艦著火。

　　羅馬人變得膽戰(zhàn)心驚，一看見(jiàn)一條小繩索、小木塊從城墻上拋出，就立刻大喊大叫：又來(lái)啦！阿基米德又要飛出一種新式武器啦。于是馬上四散逃命。

　　馬塞路斯久攻敘拉克不下，也就只好自我解嘲，幽自己一默，他對(duì)周?chē)�的人說(shuō)：咱這是和數(shù)學(xué)打仗，他阿老先生在城里面拍拍腦袋，咱這軍艦可就給拍完了。

　　不過(guò)，敘拉古城最后還是被羅馬大軍攻破了。破城的那會(huì)，馬塞路斯下令保證阿基米德安全，大將軍對(duì)阿先生還是挺佩服的。

　　大將軍雖有嚴(yán)令，無(wú)奈阿基米德一介書(shū)生，怎敵得羅馬士兵赳赳武夫，“秀才遇到兵，有理說(shuō)不清”，最后還是死在羅馬士兵的屠刀之下。關(guān)于這位老先生的遇難，說(shuō)法不一，有好幾個(gè)版本。

　　版本之一是說(shuō)城破之日，阿基米德仍在聚精會(huì)神研究問(wèn)題，手上畫(huà)著圖，腦里想著事。沒(méi)想到一個(gè)羅馬大兵突然闖進(jìn)書(shū)房，命令他到馬塞路斯那兒去。阿基米德說(shuō)，容我把問(wèn)題想個(gè)結(jié)果出來(lái)再去。那羅馬大兵勃然大怒，立刻是刀劍相加叫他永遠(yuǎn)閉了嘴。

　　版本之二是說(shuō)，正當(dāng)阿基米德把用來(lái)測(cè)量太陽(yáng)大小的儀器一日晷、球體等等準(zhǔn)備帶去給羅馬大將軍去的時(shí)候，幾位羅馬兵卒看見(jiàn)了他，以為那儀器里面裝有金銀珠寶，自然是亂劍齊下，掠金搶銀，呼嘯而去。

　　還有這么種說(shuō)法，阿基米德在沙地上畫(huà)圖，對(duì)走得太近的羅馬大兵說(shuō)：“伙計(jì)，離遠(yuǎn)點(diǎn)，別靠近我的圖形！”那位橫沖直撞的大兵哪吃這一套，立刻請(qǐng)他一命歸西。

　　這種高度戲劇化的插曲，咱們也是姑且聽(tīng)之。這說(shuō)明阿基米德頗有眾望，人們喜歡給心目中的偶像涂上或是神秘或是傳奇的色彩。

　　就像他光了身子從浴室跑上大街的那種忘我的狀態(tài)差不多，阿基米德還有許多心不在焉的故事。有時(shí)他被強(qiáng)迫去洗澡，然后在身上涂油（這是一種宗教儀式），他就在爐灰上描畫(huà)幾何圖形，用油在身上畫(huà)圖。如癡如醉，可稱上超級(jí)“迷者”，那勁頭恐怕大大超過(guò)現(xiàn)在的追星族。

　　這樣一些心不在焉的故事往往使常人發(fā)笑，不過(guò)，阿基米德們之所以成為天才，那必不可少的才智就是能完全貫注于自己的問(wèn)題，樂(lè)在其中而忘身外之憂。所謂“熱愛(ài)是最好的老師”。

　　阿基米德還有個(gè)習(xí)慣，他把自己的定理送給亞歷山大城的朋友們的時(shí)候，不寫(xiě)證明，希望這些朋友們能享受一番作出證明的樂(lè)趣。但這些朋友們不領(lǐng)這份情，直截了當(dāng)引用這些定理，不耐煩去做什么證明。于是阿先生后來(lái)就想了個(gè)主意，在最后一組定理中放進(jìn)兩個(gè)錯(cuò)誤，開(kāi)開(kāi)那些朋友們的玩笑。

　　看來(lái)，類似計(jì)算機(jī)病毒的發(fā)明權(quán)應(yīng)當(dāng)歸于阿基米德了。

　　阿基米德遇難后，那位羅馬將軍塞路斯十分傷心。下令好好安葬，優(yōu)撫遺屬。不過(guò)也許是做給活人看的，好像三國(guó)里的曹孟德。

　　但是那阿基米德的墓修得很別致，墓碑是一個(gè)內(nèi)切于一個(gè)柱體的球體。

　　這與他的一篇論文大有關(guān)系：《論球和圓柱》。

　　1965年，在敘拉古建旅館打地基時(shí)，挖出了阿基米德的墓，轟動(dòng)一時(shí)。

　　在《論球和圓柱》一書(shū)中，先進(jìn)述定義和假定。第一個(gè)假定，或者說(shuō)公理吧，就是連接兩點(diǎn)的線中以線段為最短。

　　在論及球的表面積、球的體積時(shí)，他得到了完全正確的結(jié)論：

　　球面積等于其大圓面積的4倍。球的體積與其外切圓柱的體積之比是2∶3。

　　事實(shí)上他是把上面那么個(gè)圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)，生成了一接于半球的圓錐，面半球又內(nèi)切于一圓柱。這三個(gè)圓形體（旋轉(zhuǎn)體）的體積之比為 l∶2∶3。這一精彩的定理是阿基米德特別喜愛(ài)的一個(gè)結(jié)果。所以早就立下遺囑，要把一個(gè)帶有外切圓柱的球以及它們的比例（2∶3）雕在墓碑上。

　　使咱們更驚奇的是推出這一結(jié)果的方法。如果說(shuō)結(jié)果精彩，那么方法更是精彩得無(wú)與倫比。

　　阿基米德竟然用了杠桿原理把上面所說(shuō)的比例給推導(dǎo)出來(lái)。然后，又因?yàn)閳A柱、圓錐的體積都是已知的，自然就能得到很難求的球的體積�？峙逻B現(xiàn)在的學(xué)者都很難想起這么個(gè)絕招。而且在推導(dǎo)球的體積時(shí)，運(yùn)用了現(xiàn)代微分、積分的思想。

　　不過(guò)阿基米德自己認(rèn)為，這種方法只是用來(lái)發(fā)現(xiàn)定理，而不能算作嚴(yán)格的幾何證明。

　　在《方法論》這篇論文里，阿基米德表達(dá)了他上面的這么個(gè)觀點(diǎn)。

　　說(shuō)起來(lái)這本書(shū)的發(fā)現(xiàn)，本身就有傳奇色彩。這作品一直到1906年才在一家圖書(shū)館里偶然發(fā)現(xiàn)的。手稿是10世紀(jì)抄寫(xiě)的羊皮紙本。確實(shí)是紙張緊張，羊皮紙?zhí)�貴，這羊皮手稿居然是擦過(guò)了后又重新利用的。所可慶幸的是，阿基米德的重要思想居然還能辨別出來(lái)。

　　為了說(shuō)用杠桿原理，物體的重心等等力學(xué)方法可以發(fā)現(xiàn)許多定理，阿基米德又舉了一個(gè)拋物線弓形的例子。不過(guò)他認(rèn)為還必須用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法去證明自己的發(fā)現(xiàn)。他用的數(shù)學(xué)方法就是所謂“窮竭法”，說(shuō)起來(lái)是一種極限的思想。

　　這樣一種嚴(yán)格性要超過(guò)牛頓和萊布尼茨了。而這兩位是公認(rèn)的現(xiàn)代微積分的創(chuàng)始人。

　　同學(xué)們不知還記不記得任意角三等分問(wèn)題，咱們?cè)谇懊娼o大家說(shuō)過(guò)一個(gè)利用有刻度的直尺三等分角的作圖法，那可就是阿基米德給出的方法。

　　下面咱們給大家談另一顆亞歷山大時(shí)代的數(shù)學(xué)巨星——埃拉托色尼。說(shuō)那位埃拉托色尼是公元前284年出生于地中海南岸的昔蘭尼，只比阿基米德小幾歲，而且是好朋友。大約40歲時(shí)，它受埃及的托勒密三世的邀請(qǐng)，來(lái)到亞歷山大城給他兒子家庭老師（要在中國(guó)，恐怕要封為太子太傅了），同時(shí)兼任亞歷山大大學(xué)的圖書(shū)館館長(zhǎng)。大約在公元前192年，他由于失明故意餓死。

　　埃拉托色尼是位全才加奇才，以古代最有學(xué)問(wèn)的人聞名后世。頭銜挺多，數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、地理學(xué)家、詩(shī)人、哲學(xué)家等等。據(jù)說(shuō)還是運(yùn)動(dòng)員，學(xué)生們常稱他為五頂全能。

　　他還有個(gè)綽號(hào)叫β（beità）。這 ?是希臘文里的第二個(gè)字母，所以那綽號(hào)的意思是“二號(hào)。”這“二號(hào)”到底是什么意思，一直是人們關(guān)心的熱點(diǎn)新聞。有人認(rèn)為，那是因?yàn)樗�的博學(xué)和才華，被看作是第二個(gè)柏拉圖，柏拉圖第二。

　　還有一種說(shuō)法，說(shuō)他雖然在各個(gè)領(lǐng)域里都很杰出，但都不能拔頭份，只能屈居“二號(hào)”。還有人主張，那“二號(hào)”不過(guò)是他辦公室的號(hào)碼。反正咱們?cè)谶@錄以備考，留待同學(xué)們以后能探明真相，揭示謎底。

　　埃館長(zhǎng)留考百世的偉業(yè)共有兩大項(xiàng)，不可不提：

　　一是所謂“埃拉托色尼篩”。

　　這么個(gè)篩子主要是用來(lái)篩出素?cái)?shù)（也就是質(zhì)數(shù)）的。平時(shí)咱們有體會(huì)，要從小到大列出個(gè)素?cái)?shù)表，如果用笨辦法，把自然數(shù)挨著個(gè)一個(gè)一個(gè)判斷是否素?cái)?shù)，挺費(fèi)事。數(shù)字小一點(diǎn)還好辦，大一些就難了。

　　下面將兩千多年前埃先生發(fā)明的絕招教給你，如果要篩出從2到n中所有的素?cái)?shù)的話，那么：

　　先從小到大寫(xiě)出從2 到 n 的全部自然數(shù)。接著標(biāo)出第一個(gè)素?cái)?shù) 2，劃去后面數(shù)中2所有的倍數(shù)；再看，2后面的第一個(gè)沒(méi)劃去的數(shù)是3，它是第二個(gè)素?cái)?shù)，標(biāo)出它，再劃去后面3的倍數(shù)。

　　如此這般，如果P是一個(gè)素?cái)?shù)，標(biāo)出它，并劃去后面所有P的倍數(shù)，排在P后面第一個(gè)未被劃去的，就是下一個(gè)素?cái)?shù)。重復(fù)這個(gè)過(guò)程，有限次就能得到n以內(nèi)的所有素?cái)?shù)。比如：

　　這是一張30以內(nèi)的素?cái)?shù)表。有些劃兩道杠的，就是被消滅兩次了。這么一個(gè)程式化的劃去和尋找的過(guò)程，很適合編好程序用計(jì)算機(jī)自動(dòng)篩出素?cái)?shù)。一般，這種尋找方法就叫篩法。

　　素?cái)?shù)在整個(gè)自然數(shù)中的分布是很稀的，似乎是越來(lái)越稀。有人計(jì)算過(guò)，在前10 億個(gè)自然數(shù)中，只有 50847534 個(gè)素?cái)?shù)，約占 5％。素?cái)?shù)的故事太多了，難題趣題也不少，容我以后再慢慢說(shuō)起。

　　再說(shuō)那埃館長(zhǎng)的另一項(xiàng)偉大功績(jī)就是丈量地球了。雖說(shuō)古希臘人早就知道地球是個(gè)球形的（他們甚至最早提出了“日心說(shuō)”），不過(guò)丈量這么大的球，別說(shuō)想了，聽(tīng)聽(tīng)也叫人害怕，叫人咋舌。

　　這丈量倒不真是弄根繩子一段一段去量地球的“腰身”，而是想了個(gè)極妙的方法，得出了地球的半徑。

　　他在賽尼城，也就是現(xiàn)在埃及的阿斯旺觀察到每年夏至那天的中午 12點(diǎn)，太陽(yáng)光幾乎正在天頂，。因?yàn)楫?dāng)時(shí)的太陽(yáng)光能直射入當(dāng)?shù)氐囊豢谏罹�，井底能看到太�?yáng)。

　　一點(diǎn)也不偏斜同日同時(shí)在亞歷山大城太陽(yáng)就斜射。用一個(gè)日晷那樣的簡(jiǎn)單儀器（或者就是中國(guó)人用的“表”），就能量出太陽(yáng)在亞歷山大城的投射角α是360°的1/50即：

　　地球的半經(jīng)隨之得出為6330．64公里，這與現(xiàn)在算出的數(shù)據(jù)6371公里簡(jiǎn)直就可以說(shuō)沒(méi)有誤差！不到1％！這種方法確實(shí)是蓋了帽了，而且是2000多年前的古人想出的，絕對(duì)蓋帽！

　　埃拉托色尼還提出了經(jīng)度純度的概念，用經(jīng)緯網(wǎng)繪制世界地圖。對(duì)倍立方問(wèn)題，他設(shè)計(jì)了一種作圖儀器，也很方便。

　　希臘的亞歷山大時(shí)代，三角學(xué)的研究也十分發(fā)達(dá)。這也反應(yīng)了與古典時(shí)期不同的風(fēng)格，更注重實(shí)際的應(yīng)用。那三角學(xué)的發(fā)展，絕對(duì)就是天文學(xué)的需要。

　　因此，當(dāng)時(shí)的三角首先是球面三角學(xué)，您想想，整個(gè)天球給人的感覺(jué)不就是個(gè)球嘛。

　　三角學(xué)的奠基者也許是大天文學(xué)家希帕克（公元前140年左右人），他所確定的平均太陽(yáng)月（月球繞一周的時(shí)間），與現(xiàn)在測(cè)得的數(shù)值相比，誤差不超過(guò)1＂（1秒）。

　　希帕克最大的成就就是給出了角的正弦函數(shù)表。當(dāng)然，當(dāng)時(shí)給出的是一種“弦表”，也就是一個(gè)圓，從0·5°到180°，每隔半度的所有圓心角所對(duì)弦的長(zhǎng)度。如果諸位有興趣，可以動(dòng)手畫(huà)一個(gè)圓，那么已知弦長(zhǎng)是很快能得出圓心角的正弦的。

　　后來(lái)亞歷山大城的托勒密（各王族沒(méi)什么關(guān)系）寫(xiě)了一本被稱為《大匯編》的書(shū)，系統(tǒng)總結(jié)和充實(shí)了三角和天文方面的成果。這部書(shū)一共13卷，包括了上面講的弦表。

　　最重要的是他講解了構(gòu)造弦表，推導(dǎo)弦表的方法，主要的根據(jù)咱們?cè)趲缀沃幸矊W(xué)過(guò)：圓內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線之積等于兩對(duì)邊之積的和�，F(xiàn)在這就叫做托勒密定理。

　　《大匯編》一書(shū)，在哥西尼和開(kāi)普勒之前，一直是標(biāo)準(zhǔn)的天文學(xué)大全。不過(guò)因?yàn)樗�是個(gè)“地心說(shuō)”者。所以后來(lái)哥白尼的“日心說(shuō)”被視為正宗的以后，就有些全盤(pán)否定墻倒眾人推的意思了，不把他的成就當(dāng)回事。

　　且說(shuō)自從畢氏學(xué)派發(fā)現(xiàn)了這樣的新數(shù)，一時(shí)間好像天塌地陷，日月無(wú)光。許多學(xué)者一看被畢老先生奉為神明數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)體系出了這么大漏洞，都覺(jué)得那算術(shù)代數(shù)沒(méi)什么搞頭，不是真正的數(shù)學(xué)。

　　于是紛紛把研究方向?qū)��?zhǔn)幾何，認(rèn)為那才是沒(méi)得說(shuō)的純數(shù)學(xué)，絕對(duì)的“陽(yáng)春白雪”。至于算術(shù)問(wèn)題代數(shù)問(wèn)題當(dāng)然是進(jìn)不了神圣殿堂，被看作販夫走卒者所為。碰到實(shí)際的算術(shù)代數(shù)沒(méi)法不去解決了，也都把它變成幾何問(wèn)題用幾何方法去解決。那時(shí)候不是有“幾何代表”一說(shuō)嘛！

　　到了亞歷山大時(shí)代，情況大不一樣了。算術(shù)和代數(shù)都有了獨(dú)立的發(fā)展，被大家當(dāng)會(huì)事了，有了獨(dú)立的地位。

　　比方說(shuō)那位咱們大家都知道的海倫（約公元1世紀(jì)左右人），也就是提出海倫公式的那一位，就是用文字?jǐn)⑹鰜?lái)解決代數(shù)問(wèn)題，而不是用幾何的方法。他解決過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題：給定一個(gè)正方形，其面積和周長(zhǎng)的和是 896，求其一邊。

　　用現(xiàn)在的記法，這個(gè)問(wèn)題就是求方程

　　海倫在方程兩邊加上 4，配成完全平方，然后再開(kāi)方，就得出了結(jié)果。

　　他并不進(jìn)行證明，而是說(shuō)一步一步如何做，做哪些運(yùn)算。這種風(fēng)格就是一種古埃及和古巴比倫人解決問(wèn)題的風(fēng)格。有人說(shuō)他是阿拉伯人。

　　順便也給同學(xué)們聊聊海倫公式。大家都知道，海倫公式是這樣計(jì)算三角形面積的：

　　這里a、b、c是三邊，S是周長(zhǎng)之半。

　　海倫說(shuō)用這個(gè)公式測(cè)量計(jì)算三角形土地的面積，就不要跑到地中間去取高了。

　　不過(guò)這個(gè)公式實(shí)際上是阿基米德的。但海倫在幾本著作里都引用了它，還進(jìn)行了證明。歷史就是這要樣，錯(cuò)了就錯(cuò)了，張冠李戴的事多了。不過(guò)現(xiàn)在是阿老先生的帽子被海倫工程師戴去了。這點(diǎn)發(fā)明權(quán)小糾葛咱們就說(shuō)到這里。

　　還有一本書(shū)叫《希臘選集》，也是一本習(xí)題集一樣的書(shū)。其中大多是一元線性方程，還有一些二元的和三元三次方程。

　　這本習(xí)題里的一些問(wèn)題倒是挺有趣，就是給現(xiàn)在學(xué)生做，也還有意義。比如說(shuō)有這么一題：六個(gè)人分一堆蘋(píng)果，其中四個(gè)人分別分得1/3、1/8、1/4和1/5，第五個(gè)人得十個(gè)，只剩下一個(gè)給第六人，請(qǐng)問(wèn)蘋(píng)果總數(shù)有多少？另一個(gè)問(wèn)題是今天小學(xué)中典型的工程問(wèn)題：

　　我要建房子，需要300塊磚。你單獨(dú)一天就能完成，但是你兒子一天只能做200塊，你女婿一天能做250塊。你們一齊工作，多少天可以完成？這兩個(gè)問(wèn)題叫現(xiàn)如今的中學(xué)生做，肯定是用方程了；小學(xué)生們也能做出來(lái)，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。

　　不過(guò)當(dāng)時(shí)是用文字?jǐn)⑹龅姆绞饺ソ鉀Q，比較靈活，不太有規(guī)律。正如有一位先生所說(shuō)過(guò)的，代數(shù)方法解決問(wèn)題，好像是機(jī)械化生產(chǎn)，不但生產(chǎn)的批量大，而且把思維過(guò)程也機(jī)械化了。

　　那么這代數(shù)學(xué)符號(hào)，從歷史上來(lái)說(shuō)，可以分為三個(gè)階段。第一階段，是文字?jǐn)⑹龃鷶?shù)，也就是對(duì)問(wèn)題的解，不用縮寫(xiě)和符號(hào)，而是寫(xiě)成一篇論說(shuō)文。第二階段就有些進(jìn)步了，稱為簡(jiǎn)化代數(shù)，即對(duì)某些常出現(xiàn)的量和運(yùn)算采用了縮寫(xiě)的方法。

　　最后一個(gè)階段叫做符號(hào)代數(shù)，解決問(wèn)題，多表現(xiàn)為各種數(shù)學(xué)符號(hào)（包括未知量的符號(hào)，運(yùn)算的符號(hào)等等），這些符號(hào)有更高的抽象性，好像與要解決的問(wèn)題所說(shuō)的內(nèi)容關(guān)系不大似的。

　　咱們可以看到，剛剛說(shuō)過(guò)的兩個(gè)問(wèn)題，它們的解法就屬于第一階段的。實(shí)際上全球各種文明，都有這么一個(gè)階段，咱們中國(guó)也不例外。

　　文字?jǐn)⑹龃鷶?shù)，在世界許多地方，存在了好幾百年。尤其是在西歐。一直到 15 世紀(jì)還是文字?jǐn)⑹鍪降拇鷶?shù)。符號(hào)代數(shù)在西歐的第一次出現(xiàn)是在 16世紀(jì)。然而直到17世紀(jì)中期，還沒(méi)有普及。

　　咱們初等代數(shù)課本中的大部分符號(hào)化的內(nèi)容，看樣子還沒(méi)有四百年。話說(shuō)到這，咱們一定要提到丟蕃都了。他是公元三世紀(jì)人，曾活躍于亞歷山大城。丟蕃都在數(shù)學(xué)上的杰出貢獻(xiàn)，就是把代數(shù)的符號(hào)化過(guò)程推到了第二個(gè)階段。

　　提起丟蕃都，當(dāng)然要說(shuō)一下他那著名的墓志銘，這篇墓志銘概括了他的一生：

　　“過(guò)路人，這里埋著丟蕃都的骨灰，下面數(shù)目可以告訴你他活了多少歲。

　　“他生命的六分之一是幸福的童年。

　　“再活十二分之一，頰上長(zhǎng)出了細(xì)細(xì)的胡須。

　　“再過(guò)了五年，他感到很幸福，有了一個(gè)兒子。

　　“可是這兒子光輝燦爛的生命只有他父親的一半。

　　“兒子死后，老人在悲痛中活了四年，結(jié)束了塵世生涯。

　　“請(qǐng)問(wèn)：‘丟蕃都活了多久？幾歲結(jié)婚？幾歲生孩子？’”

　　這段墓志銘奇特，新鮮，挺有職業(yè)習(xí)慣，臨死了也沒(méi)忘出個(gè)題目給大家吊吊胃口。

　　要解出這么一題，不費(fèi)舉手之勞，有初一的水平就可以列出一個(gè)一元一次方程來(lái)。就是小學(xué)生，也很容易地使用分?jǐn)?shù)知識(shí)來(lái)解答。

　　答案是，丟蕃都老先生84歲高壽，33歲結(jié)婚，38歲得子，晚婚晚育，算得上標(biāo)兵。

　　丟蕃都老先生寫(xiě)過(guò)三部書(shū)。最重要的一部就叫《算術(shù)》，共 13卷，現(xiàn)在看到的只有6卷了。

　　這本書(shū)大約有130多個(gè)一次、二次方程的問(wèn)題，其中有些還是三次方程，有些是不定方程。

　　什么是不定方程呢，就是方程的解有許多，一般是無(wú)數(shù)多個(gè)。一般都取整數(shù)解。丟蕃都求解時(shí)規(guī)定為有理解。西方把不定方程稱為丟蕃都問(wèn)題。

　　為什么這么命名呢？這丟老先生既不是解不定方程，提出不定方程的第一人，也不是用非幾何的方法解二次方程的第一人，如何有此光榮呢？原因就在他是采用代數(shù)符號(hào)的第一人。

　　丟蕃都給出了未知數(shù)、未知數(shù)的冪（一直到六次）、減、相等和倒數(shù)的縮寫(xiě)符號(hào)。

　　據(jù)說(shuō)他用來(lái)表示未知量的記號(hào)是S，就像我們用 X 一樣。這 S 是個(gè)希臘字母。丟蕃都把未知量稱做“題中的數(shù)”。他說(shuō)的也是大實(shí)話，當(dāng)然是題目中的數(shù)，意味著還不知道。

　　這些符號(hào)雖然沒(méi)有清楚地寫(xiě)出來(lái)未知量 S，但丟先生的意思隱含地含有那未知量了。

　　出現(xiàn)這一套符號(hào)當(dāng)然了不起，但更了不起的是他使用三次以上的高次乘冪！古希臘的數(shù)學(xué)家從不考慮三個(gè)乘數(shù)以上的乘法，因?yàn)檫@種乘積沒(méi)有幾何意義。

　　但是在算術(shù)中，在代數(shù)中，這種乘積當(dāng)然有意義。丟番都是采取這種觀點(diǎn)的。這說(shuō)明他老先生把算術(shù)、代數(shù)當(dāng)個(gè)“人”看了，有獨(dú)立的“人格”了，不再是幾何的附庸品。

　　這在希臘數(shù)學(xué)中可以說(shuō)是一個(gè)大進(jìn)步。不過(guò)在咱們中國(guó)就沒(méi)有這個(gè)問(wèn)題了。中國(guó)算術(shù)幾何一直是平行發(fā)展的，而且中國(guó)古算一直強(qiáng)調(diào)“算”，更實(shí)用。中國(guó)的幾何也一直和應(yīng)用關(guān)系密切，不像古希臘那樣，形成一個(gè)嚴(yán)密的邏輯體系。

　　同學(xué)們眼下當(dāng)然能看清，古希臘的幾何雖然嚴(yán)密有序，統(tǒng)一完整，但它狹隘了人們的視野，使他們的頭腦接受不到新思想新方法。它的內(nèi)部就埋伏下使自己死亡的種子。

　　如果沒(méi)有亞歷山大文化開(kāi)闊了希臘數(shù)學(xué)家的眼界，那么它那狹隘的活動(dòng)領(lǐng)域，局促的觀念，美學(xué)上那至美至善的要求，就會(huì)窒息了活潑的創(chuàng)造，還談什么發(fā)展。

　　回頭咱們?cè)倏匆豢磥G蕃都老先生是怎么表示一個(gè)代數(shù)式的。

　　要看懂他的代數(shù)式，還要能看懂希臘人表示的數(shù)。希臘人表示數(shù)，就用希臘字母，比如說(shuō)1、2、3、4 就用α、β、γ、δ表示。10 是用 L 表示。所以13就表成Lγ表示。

　　這樣表示有很大的缺點(diǎn)�？礃幼�，聰明的希臘人也不是事事都聰明。

　　看慣了就一樣，和現(xiàn)在的代數(shù)式差別不大。只是數(shù)也用字母表示，容易弄混。

　　丟先生另一項(xiàng)值得一提的成果是關(guān)于畢氏三數(shù)的。

　　畢氏三數(shù)的式子，畢氏門(mén)人早已所記載：

　　咱們?cè)诘谌�回就已�?jīng)見(jiàn)過(guò)面。但這組式子不能表達(dá)出全部畢氏代數(shù)組來(lái)。比如8，15，17就不在上面的式子中。

　　于是丟蕃都致力于尋找構(gòu)造畢氏三數(shù)的一般法則。他找到了這種法則：

　　如果m、n是兩個(gè)正整數(shù)，并且2mn是完全平方，那么：

　　就是一組畢氏三數(shù)。他究竟是用何法寶得到了這些式子，現(xiàn)在也只能是歷史之謎了。

　　這位老先生雖然是個(gè)解題能手，使人看了目不暇接，但沒(méi)有什么一般的方法。他的大作看起來(lái)有點(diǎn)像藥方單子，只告訴你怎么做。歐幾里德、阿基米德、阿波羅民斯著作中的那種嚴(yán)密有序的證明是一點(diǎn)也看不見(jiàn)了。

　　希臘的數(shù)學(xué)就這樣分成了不同的兩塊，很使后人迷惑一陣，不安一陣的。不過(guò)，更不幸的是隨著希臘文明的衰落，希臘數(shù)學(xué)也漸漸落下了它的大幕。

　　首先是羅馬人的鐵蹄，阿基米德被一個(gè)羅馬大兵殺害就標(biāo)志著那希臘數(shù)學(xué)的下坡。羅馬人所向披靡，一直殺到亞歷山大，把那號(hào)稱世界第一的圖書(shū)館付之一炬，五十萬(wàn)份手稿一掃而光�？磥�(lái)凱撒大帝很有點(diǎn)秦始皇的威風(fēng)。這一東一西兩地火可就把兩個(gè)文明都害苦了。

　　所幸的是還有不少書(shū)，圖書(shū)館收藏不下了，存放在神廟里，這些書(shū)就逃過(guò)了一關(guān)。

　　不過(guò)好景不長(zhǎng)，過(guò)了400年，隨著基督教得勢(shì)，其成為羅馬帝國(guó)的國(guó)教，那座神廟也被來(lái)上一把火，三十萬(wàn)種手稿再遭劫難。

　　不但焚書(shū)，而且坑儒。狂熱的基督教徒襲擊屠殺異教徒，有點(diǎn)像當(dāng)年的黨衛(wèi)軍。

　　不知大家是不是還記得給歐幾里德的《原本》作注釋的泰奧思。他一直為希臘的數(shù)學(xué)經(jīng)典，比如《原本》、《大匯編》作注解。

　　他的女兒希帕提婭，數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)、哲學(xué)都很了得，也為丟蕃都的《算術(shù)》和阿波羅尼斯的《圓錐曲線》作過(guò)注釋。她可是世界上第一位女?dāng)?shù)學(xué)家。公元415年3月，她被狂暴的基督徒在亞歷山大城的街道上抓到，撕成碎片，因?yàn)樗�不肯放棄她的信仰�?/p>

　　新崛起的回教徒也不示弱，好像要與羅馬人展開(kāi)一場(chǎng)焚書(shū)比賽。公元640年，他們征服埃及后，給亞歷山大城的文明以最后一擊，殘留的書(shū)籍立刻無(wú)保留地?zé)�掉。理由很充分：如果這些知識(shí)在可蘭經(jīng)里已經(jīng)有了，那就沒(méi)什么保存的必要；如果可蘭經(jīng)里沒(méi)有，那就是違反可蘭經(jīng)的，也要燒掉。

　　總之一句話，是要燒。就這樣，亞歷山大城的浴室整整用這些羊皮紙書(shū)燒了六個(gè)月的水。

　　經(jīng)過(guò)這三次“文化大革命”，希臘的文化就革得一命嗚呼了。希臘的數(shù)學(xué)家被消滅了，但他們的工作成果終于傳到了歐洲。

　　說(shuō)起來(lái)叫人哭笑不得，把希臘成就傳到歐洲，從而逐步發(fā)展成現(xiàn)代數(shù)字的，也還是阿拉伯人。

　　且說(shuō)公元640前亞歷山大城的一把火，自然是有些頭腦發(fā)昏。不過(guò)那是統(tǒng)治者所為，當(dāng)然要和人民區(qū)別開(kāi)來(lái)。

　　在一百多年里，阿拉伯人從一個(gè)游牧民族通過(guò)不斷征戰(zhàn)，建立起一個(gè)從印度經(jīng)過(guò)波斯、美索不達(dá)米亞和北非直至西班牙的大帝國(guó)，開(kāi)始定居，創(chuàng)造自己的文明。

　　到了公元755年，這個(gè)大帝國(guó)又分裂成兩個(gè)國(guó)家。東部王國(guó)以巴格達(dá)為首都；西部王國(guó)以西班牙的哥爾多華為首都。經(jīng)過(guò)充滿宗教狂熱的征服之后，他們對(duì)種族和教派是寬大的，兼容并蓄，吸引了希臘人、波斯人、印度科學(xué)家以及猶太人和基督徒，共聚一堂，文化的來(lái)源十分豐富。巴格達(dá)那里也設(shè)立了學(xué)院、圖書(shū)館、天文觀察臺(tái)。

　　這其中有一位哈里發(fā)（國(guó)王），叫哈龍·蘭希的，也算得上開(kāi)明君主。在他的贊助下，許多希臘經(jīng)典被譯成阿拉伯文。而印度的文化和數(shù)學(xué)著作也不斷傳入巴格達(dá)，印度數(shù)字就是這么著引入了阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)，變成了我們現(xiàn)在所說(shuō)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)。這位君王還因?yàn)椤短旆揭棺T》而為大家所熟知。咱們以后看《天方夜譚》時(shí)，可以留心一下他的大名。

　　他的兒子馬姆也是個(gè)愛(ài)學(xué)問(wèn)的人，并且馬姆本人就是一位天文學(xué)家。那座天文臺(tái)就是他建立的，并且還測(cè)量了地球子午線。

　　這位哈里發(fā)在位20多年（809——833年），把《原本》和托勒密的《大匯編》都翻成了阿拉伯文。這些希臘手稿，就是作為和平條約的一個(gè)條件，從拜占庭帝國(guó)的皇帝那得到的。當(dāng)然，隨后其他一些希臘學(xué)者和印度學(xué)者的著作都有了阿拉伯譯本。

　　后來(lái)傳入歐洲的就是這些譯本，而希臘的原著早已失傳。沒(méi)有阿拉伯學(xué)者的工作，大量希臘和印度的科學(xué)就會(huì)在漫長(zhǎng)黑暗的中世紀(jì)無(wú)可挽回地消失掉。

　　在馬姆當(dāng)哈里發(fā)時(shí)期，許多學(xué)者寫(xiě)了數(shù)學(xué)、天文學(xué)方面的著作，其中最著名的是花拉子密寫(xiě)的關(guān)于代數(shù)學(xué)的論著和關(guān)于印度數(shù)學(xué)的書(shū)，這些書(shū)于12世紀(jì)被譯成拉丁文，在歐洲產(chǎn)生了巨大影響。

　　這位花拉子密（名字挺怪的）生于花拉子模，也就是現(xiàn)在的寫(xiě)烏茲別克（以前蘇聯(lián)學(xué)者把他說(shuō)成是蘇聯(lián)的光榮，現(xiàn)在是沒(méi)這份榮耀了），后定居巴格達(dá)。他那名字的意思是“花拉子模人摩西之子穆罕默德”。

　　咱們現(xiàn)在學(xué)的代數(shù)這門(mén)課，英文叫 algebra。這英文名稱就是起源花拉子密。

　　花拉子密關(guān)于這門(mén)學(xué)科的論著，其標(biāo)題是“AI—iabrw’almuqabala”。

　　這個(gè)標(biāo)題要直接翻譯的話，就是“重新結(jié)合和對(duì)立的科學(xué)”。

　　“al—jabr”，原意是復(fù)原，根據(jù)花先生的上下文，那就是移項(xiàng)，即從方程一邊去掉一項(xiàng)，要使方程的平衡“復(fù)原”，必須在另一邊加上這一項(xiàng)。而“Al’muqabala”，意思是“化簡(jiǎn)”，對(duì)消，比如把3X與4X并成7X，或從方程兩邊消去相同的項(xiàng)。

　　“al—jabr”又有“接骨者”的意思，后來(lái)通過(guò)西班牙傳入歐洲，就變成了 algebrista，意思還是接骨郎中。那時(shí)的理發(fā)師們也常常自稱為“algebrista”，因?yàn)榻庸呛头叛�是中世紀(jì)理發(fā)匠們的副業(yè)，倒和中國(guó)某些地方的理發(fā)匠相似，剃頭再加個(gè)第二職業(yè)：按摩、正骨、治脫臼。

　　不過(guò)以后遇到這“algebra”，可別再當(dāng)成理發(fā)匠，現(xiàn)在這已經(jīng)是正兒八經(jīng)的“代數(shù)學(xué)”了。

　　花拉子密先生把未知量叫作植物的“根”，解未知量就叫“求根”。比如他說(shuō)過(guò)這么一題：“根的平方和十個(gè)根等于三十九”，也就是X2＋10X＝39 這個(gè)方程。他給的解法是：“取根數(shù)目（10）的一半，也就是五；然后讓它自乘得二十五，把這與三十九相加得六十四；開(kāi)平方得八，再減掉五，余三，這就是根。”這實(shí)際上就用配方解一元二次方程。

　　這種解法與丟蕃都的解法差不多。這也是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)：沒(méi)什么獨(dú)創(chuàng)性，可能是希臘典籍太多，翻譯都?jí)蚍�一陣的�?/p>

　　穆斯林的數(shù)學(xué)家們，在幾何法代數(shù)中倒也繼承了希臘的傳統(tǒng)。有位叫海牙姆的（1042—1124），是位伊朗人，他就指出過(guò)，三次方程一般不能化成二次方程來(lái)解，但可以用圓錐曲線來(lái)解。海牙姆算是花先生的后生了，花先生約為780—850年間人。阿拉伯學(xué)者一般把他們自己看作是天文學(xué)家，這也是當(dāng)時(shí)的世界潮流，古中國(guó)就把數(shù)學(xué)家們稱為“疇人”，疇人者，觀天之人也。

　　所以伊斯蘭教學(xué)家們對(duì)三角學(xué)表現(xiàn)了濃厚興趣�，F(xiàn)在使用的六種三負(fù)角函數(shù)就歸功于他們。還有一位15世紀(jì)的波斯皇族天文學(xué)家，他甚至編制了一個(gè)間隔為1＇的正弦表和正切表，精確到8位小數(shù)！這也許是世界上最早的8位小數(shù)數(shù)學(xué)用表。

　　總的來(lái)說(shuō)，他們工作偏重實(shí)際，缺乏證明創(chuàng)造性的東西不多。但最值得一提的是，阿拉伯文化保存了那多文明的精華，當(dāng)這些寶藏有朝一日被發(fā)現(xiàn)、被發(fā)展時(shí)，立刻掀起了現(xiàn)代文明的大潮。這也許是阿拉伯人的“金橋工程”吧。

　　那阿拉伯世界匯集的的諸多文明之中，自然也有古恒河一脈。且說(shuō)那古印度，也是四大文明古國(guó)之一，5000年文明史亦當(dāng)之無(wú)愧。在印度的莫恒卓達(dá)羅有一座5000年前的城市廢墟。這座城市有著寬廣的街道、布滿全城的排水系統(tǒng)、公共游泳池，帶洗澡間的公寓等等。建造這么一座宏偉的城市當(dāng)然要用基本的數(shù)學(xué)知識(shí)。

　　不過(guò)后來(lái)這塊土地變化就比較大，先是波斯大軍在公元前六世紀(jì)入侵；不久又是亞歷山大大帝到此一游（他征服印度時(shí)間不長(zhǎng)，敗退）；以后有印度本國(guó)皇帝的統(tǒng)治了，但公元450年，匈奴人先來(lái)，然后是阿拉伯人、波斯人。

　　所以這么一來(lái)希臘、巴比倫、中國(guó)的數(shù)學(xué)對(duì)印度的數(shù)學(xué)，就相互影響相互作用你中有我我中有你，有很多也輸?shù)桨⒗�伯去。這地方好像是一個(gè)東西方文明東西方學(xué)術(shù)的集貿(mào)大市場(chǎng)了，或者換個(gè)時(shí)髦說(shuō)法，是技術(shù)市場(chǎng)，信息交流中心。

　　要談到印度的數(shù)學(xué)，當(dāng)然要說(shuō)一說(shuō)現(xiàn)在所用的“阿拉伯?dāng)?shù)字”和“位值記數(shù)法”。

　　那“位值記數(shù)原則”自然是咱們中國(guó)首屈一指，享有世界第一的美譽(yù)。不過(guò)佛國(guó)天堂的印度也是這么種記數(shù)原則。

　　這也許與他們的書(shū)寫(xiě)材料有關(guān)。據(jù)一位德國(guó)史學(xué)家的意見(jiàn)，古印度是一塊小黑板上用筆蘸一點(diǎn)白顏料寫(xiě)字，或者是用小棍在一塊撒有紅粉的白板上寫(xiě)字。在這兩種條件下寫(xiě)數(shù)字，寫(xiě)的地方很小，而字要寫(xiě)得比較大，不然看不清。寫(xiě)完之后擦去再重寫(xiě)。

　　這么一來(lái)，寫(xiě)字的空間太小，用位值原則記數(shù)好像是節(jié)省了地方。印度的記數(shù)法也是10個(gè)符號(hào)，十進(jìn)位。這種記數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)當(dāng)然不言而喻，易讀易寫(xiě)，不占地方。

　　印度的10個(gè)數(shù)字最初用梵文的字頭表示，后來(lái)逐漸演變，到公元8世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)中的1、2、3就同現(xiàn)在通用的差不多了；而“七”這個(gè)數(shù)字，那時(shí)寫(xiě)作6，這時(shí)，印度數(shù)學(xué)中有了零這個(gè)符號(hào)。

　　8世紀(jì)印度數(shù)學(xué)傳入中亞，經(jīng)阿拉伯人的改造，到 12世紀(jì)傳入歐洲。歐洲人只知道這種數(shù)學(xué)是從阿拉伯國(guó)家傳來(lái)的，所以就稱為阿拉伯?dāng)?shù)字。其實(shí)，同學(xué)們都已明察其中來(lái)龍去脈。所以，當(dāng)今記數(shù)的數(shù)學(xué)符號(hào)，公平正確地說(shuō)，應(yīng)當(dāng)叫印度—阿拉伯?dāng)?shù)字。

　　14 世紀(jì)，我國(guó)印刷術(shù)傳入歐洲，英國(guó)在 1447 年出版了歐洲第一批印刷書(shū)籍，其中的數(shù)字符號(hào)已和現(xiàn)在差不多了。到了1522年出版的一批書(shū)中，數(shù)字已完全和當(dāng)今一樣。從此數(shù)字的寫(xiě)法漸漸固定下來(lái)，苦難的歐洲終于擺脫了其他進(jìn)位制、其他記數(shù)法的折磨，開(kāi)始享受這種簡(jiǎn)便有效的“十進(jìn)制位值記數(shù)法”。

　　19世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)大家拉普拉斯曾如此感慨：“用九個(gè)符號(hào)表示一切的數(shù)，使符號(hào)除了具有形式的意義外，還有數(shù)位的意義，這一思想是如此簡(jiǎn)單，以致無(wú)法理解它的奇妙程度。就拿希臘學(xué)術(shù)界中最偉大而又最有天才的阿基米德和阿波羅尼斯兩人來(lái)說(shuō)，他們也沒(méi)有想出這種記數(shù)法，可見(jiàn)這一成就是多么不容易呀。”

　　中國(guó)在這方面雖然世界第一，不過(guò)好像并沒(méi)有傳播到世界各地，要不然，現(xiàn)在的記數(shù)符號(hào)也保不準(zhǔn)是用中國(guó)的那一套。

　　不過(guò)印度數(shù)碼倒是傳入過(guò)中國(guó)。在唐代開(kāi)元六年（718 年），有位在司天監(jiān)任職的天文學(xué)家奉命把印度的《九執(zhí)歷》譯為漢文。其中就有“天竺算字”。“天竺”，是古中國(guó)對(duì)印度之稱謂。當(dāng)時(shí)的零，是用點(diǎn)表示的。可惜當(dāng)時(shí)沒(méi)有把印度數(shù)碼的寫(xiě)法傳刻出來(lái)，以致印度數(shù)碼沒(méi)有在中國(guó)流傳下來(lái)。

　　印度人計(jì)算加法是從高位加起。因?yàn)樗麄冊(cè)诳梢圆亮嗽賹?xiě)的黑板上演算，要進(jìn)位，很容易擦掉高位上原來(lái)的數(shù)字，再重寫(xiě)，就跟打算盤(pán)一樣。做乘法，尤其是多位數(shù)乘法，已經(jīng)和現(xiàn)在的計(jì)算程序差不多了，后經(jīng)阿拉伯人傳入歐洲，在那里被改造成現(xiàn)在的筆算形式。

　　古印度的算術(shù)問(wèn)題多用“試位法”解的。其中有一種美妙的方法叫反演法，就是倒過(guò)來(lái)推，像現(xiàn)在的逆推法。

　　在公元六世紀(jì)，有一個(gè)用詩(shī)表現(xiàn)的題目，用的是反演法：

　　“帶著微笑眼睛的美麗少女，請(qǐng)你告訴我，按照你正確理解的反演法，什么數(shù)乘以3，加上這個(gè)乘積的3/4，然后除以7，減去商的1/3，自乘，減去52，取平方根，加上8，除以10，得2？”

　　這是婆什迦羅（約 1114—1185）在他的著作中所給的無(wú)理數(shù)之和的定義。

　　光有定義還不行，還要有“算”的法則。究竟怎么辦呢？婆什迦羅繼續(xù)教導(dǎo)大家：

　　“較大的無(wú)理數(shù)除以較小的，所得之商開(kāi)方，再加 1，和數(shù)取平方，然后乘以較小的無(wú)理數(shù)，其根即為所求。”

　　這些知識(shí)多半來(lái)自婆什迦羅的《麗羅娃提》。據(jù)說(shuō)這部著作是以他女兒的名字命名的，讓他女兒高興高興。

　　婆什迦羅還用分割、剖分證明了畢氏定理（勾股定理），這就是右邊這個(gè)正方形。婆什迦羅畫(huà)了這張圖，只寫(xiě)了一個(gè)字：“瞧！”正所謂僅著一字，已得風(fēng)流。這個(gè)證明中國(guó)很早就有了。我們?cè)谶@里還是簡(jiǎn)單地寫(xiě)個(gè)式子，幫助大家進(jìn)一步明確一下（這里a、b是直角邊）；

　　說(shuō)起來(lái)古印度雖然對(duì)幾何不太系統(tǒng)研究，不過(guò)了解得挺早，那是為了造祭壇。有一類經(jīng)書(shū)叫《繩法經(jīng)》，講的就是應(yīng)用幾何知識(shí)造祭壇，也有圓方問(wèn)題的解。幾何成了宗教的侍女，無(wú)可奈何。

　　印度數(shù)學(xué)在婆什迦羅以后完全倒退了，一直到現(xiàn)代，才又放出光輝，出現(xiàn)了一位奇才怪才、難以理解之才。此是后話。

　　欲知后事如何，且聽(tīng)下回分解。