從第4講知道，如果一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個數(shù)能被9整除；如果一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和被9除余數(shù)是幾，那么這個數(shù)被9除的余數(shù)也一定是幾。利用這個性質(zhì)可以迅速地判斷一個數(shù)能否被9整除或者求出被9除的余數(shù)是幾。

　　例如，3645732這個數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字之和為

　　3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，

　　30被9除余3，所以3645732這個數(shù)不能被9整除，且被9除后余數(shù)為3。

　　但是，當一個數(shù)的數(shù)位較多時，這種計算麻煩且易錯。有沒有更簡便的方法呢？

　　因為我們只是判斷這個式子被9除的余數(shù)，所以凡是若干個數(shù)的和是9時，就把這些數(shù)劃掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把這些數(shù)劃掉后，最多只剩下一個3（如下圖），所以這個數(shù)除以9的余數(shù)是3。

　　這種將和為9或9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉，用剩下的數(shù)字和求除以9的余數(shù)的方法，叫做棄九法。

　　一個數(shù)被9除的余數(shù)叫做這個數(shù)的九余數(shù)。利用棄九法可以計算一個數(shù)的九余數(shù)，還可以檢驗四則運算的正確性。

　　例1 求多位數(shù)7645821369815436715除以9的余數(shù)。

　　分析與解：利用棄九法，將和為9的數(shù)依次劃掉。

　　只剩下7，6，1，5四個數(shù)，這時口算一下即可�？谒阒�，7，6，5的和是9的倍數(shù)，又可劃掉，只剩下1。所以這個多位數(shù)除以9余1。

　　例2 將自然數(shù)1，2，3，…依次無間隔地寫下去組成一個數(shù)1234567891011213…如果一直寫到自然數(shù)100，那么所得的數(shù)除以9的余數(shù)是多少？

　　分析與解：因為這個數(shù)太大，全部寫出來很麻煩，在使用棄九法時不能逐個劃掉和為9或9的倍數(shù)的數(shù)，所以要配合適當?shù)姆治�。我們已�?jīng)熟知

　　1＋2＋3＋…＋9＝45，

　　而45是9的倍數(shù)，所以每一組1，2，3，…，9都可以劃掉。在1～99這九十九個數(shù)中，個位數(shù)有十組1，2，3，…，9，都可劃掉；十位數(shù)也有十組1，2，3，…，9，也都劃掉。這樣在這個大數(shù)中，除了0以外，只剩下最后的100中的數(shù)字1。所以這個數(shù)除以9余1。

　　在上面的解法中，并沒有計算出這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字和，而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡捷的解法。因為一個數(shù)與它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以題中這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和，與1＋2＋…＋100除以9的余數(shù)相同。

　　利用高斯求和法，知此和是5050。因為5050的數(shù)字和為5＋0＋5＋0=10，利用棄九法，棄去一個9余1，故5050除以9余1。因此題中的數(shù)除以9余1。

　　例3 檢驗下面的加法算式是否正確：

　　2638457＋3521983＋6745785＝12907225。

　　分析與解：若干個加數(shù)的九余數(shù)相加，所得和的九余數(shù)應當?shù)扔谶@些加數(shù)的和的九余數(shù)。如果不等，那么這個加法算式肯定不正確。上式中，三個加數(shù)的九余數(shù)依次為8，4，6，8+4+6的九余數(shù)為0；和的九余數(shù)為1。因為0≠1，所以這個算式不正確。

　　例4 檢驗下面的減法算式是否正確：

　　7832145-2167953＝5664192。

　　分析與解：被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)（若不夠減，可在被減數(shù)的九余數(shù)上加9，然后再減）應當?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。如果不等，那么這個減法計算肯定不正確。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是3，減數(shù)的九余數(shù)是6，由（9+3）-6＝6知，原題等號左邊的九余數(shù)是6。等號右邊的九余數(shù)也是6。因為6＝6，所以這個減法運算可能正確。

　　值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法（見例5）運算的結(jié)果是否正確時，如果等號兩邊的九余數(shù)不相等，那么這個算式肯定不正確；如果等號兩邊的九余數(shù)相等，那么還不能確定算式是否正確，因為九余數(shù)只有0，1，2，…，8九種情況，不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。所以用棄九法檢驗運算的正確性，只是一種粗略的檢驗。

　　例5 檢驗下面的乘法算式是否正確：

　　46876×9537＝447156412。

　　分析與解：兩個因數(shù)的九余數(shù)相乘，所得的數(shù)的九余數(shù)應當?shù)扔趦蓚�因數(shù)的乘積的九余數(shù)。如果不等，那么這個乘法計算肯定不正確。上式中，被乘數(shù)的九余數(shù)是4，乘數(shù)的九余數(shù)是6，4×6＝24，24的九余數(shù)是6。乘積的九余數(shù)是7。6≠7，所以這個算式不正確。

　　說明：因為除法是乘法的逆運算，被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，所以當余數(shù)為零時，利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。例如，檢驗383801÷253=1517的正確性，只需檢驗1517×253=383801的正確性。

　　練習5

　　1.求下列各數(shù)除以9的余數(shù)：

　�。�1）7468251； （2）36298745；

　　（3）2657348； （4）6678254193。

　　2.求下列各式除以9的余數(shù)：

　　（1）67235＋82564； （2）97256-47823；

　　（3）2783×6451； （4）3477+265×841。

　　3.用棄九法檢驗下列各題計算的正確性：

　�。�1）228×222＝50616；

　�。�2）334×336＝112224；

　�。�3）23372428÷6236＝3748；

　�。�4）12345÷6789＝83810105。

　　4.有一個2000位的數(shù)A能被9整除，數(shù)A的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是B，數(shù)B的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是C，數(shù)C的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是D。求D。