德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時代聰明過人，上學(xué)時，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為
�。�1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。
若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差。例如：
�。�1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；
（3）8，15，22，29，36，…，71。
其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數(shù)列。
由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：
和=（首項+末項）×項數(shù)÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？
分析與解：這串加數(shù)1，2，3，…，1999是等差數(shù)列，首項是1，末項是1999，共有1999個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
分析與解：這串加數(shù)11，12，13，…，31是等差數(shù)列，首項是11，末項是31，共有31-11＋1＝21（項）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、公差的關(guān)系，可以得到
項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1，
末項=首項+公差×（項數(shù)-1）。
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？
分析與解：3，7，11，…，99是公差為4的等差數(shù)列，
項數(shù)=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首項是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項的和。
解：末項=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。
例5 在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？
分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：
由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。
解：（1）最大三角形面積為
�。�1＋3＋5＋…＋15）×12
＝［（1＋15）×8÷2］×12
�。�768（厘米2）。
�。�2）火柴棍的數(shù)目為
3＋6＋9+…+24
＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。
例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里……第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？
分析與解：一只球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋…＋2×10
�。�2×（1＋2＋…＋10）
�。�2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
綜合列式為：
�。�3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3
＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
練習(xí)3
1.計算下列各題：
�。�1）2＋4＋6＋…＋200；
�。�2）17＋19＋21＋…＋39；
�。�3）5＋8＋11＋14＋…＋50；
�。�4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
2.求首項是5，末項是93，公差是4的等差數(shù)列的和。
3.求首項是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項的和。
4.時鐘在每個整點敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點數(shù)，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？
5.求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。
6.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)共有多少個？
