180.怎樣用“公倍數(shù)法”解“孫子問(wèn)題”？

　　我國(guó)古代的《孫子算經(jīng)》里，曾提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？”

　　翻譯成現(xiàn)代語(yǔ)言就是：“現(xiàn)在有許多物品不知道是多少，三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)余二個(gè)，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)余三個(gè)，七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)余二個(gè)，問(wèn)這些物品有多少個(gè)？”這個(gè)問(wèn)題通常叫做“孫子定理”或“孫子問(wèn)題”，它的解法很早就流傳到國(guó)外，被稱為“中國(guó)剩余定理”。

　　用公倍數(shù)法解這道題的思路是這樣的：先考慮第一個(gè)條件，并使其余數(shù)為1，從第二、三個(gè)條件入手，5和7的公倍數(shù)是35，但35÷3的余數(shù)為 2，不是 1，而 35×2= 70， 70÷3的余數(shù)正好是1，也就是說(shuō)：能被5、7整除，而被3除余1的數(shù)是70。

　　再考慮第二個(gè)條件，也使其余數(shù)為1，從第一、三條件入手，3和7的公倍數(shù)是21，21÷5的余數(shù)正好是1，這說(shuō)明：能被3和7整除，而被5除余1的數(shù)是21。

　　然后考慮第三個(gè)條件，從第一、二條件入手，使其余數(shù)也是1， 3和5的公倍數(shù)是15，15÷7的余數(shù)也恰是1，這說(shuō)明：能被3和5整除，而被7除余1的數(shù)是15。

　　因此，被5和7整除，而被3除余2的數(shù)是70×2=140；被3和7整除，而被5除余 3的數(shù)是： 21×3=63；被 3和 5整除，而被7除余2的數(shù)是15×2=30。把滿足三個(gè)條件的數(shù)加起來(lái)，所得的和必然是具備被3除余2，被5除余3，被7除余2的特點(diǎn)。

　　140＋63＋30=233，這個(gè)結(jié)果是正確的，但不是唯一的，因?yàn)槌龜?shù)3、5、7的最小公倍數(shù)是105，233加上或減去若干個(gè)105，所得的結(jié)果仍然能滿足題目中的全部條件。但減105時(shí)，在正整數(shù)范圍內(nèi)，差小于105就可以了。

　　如果原題最后一問(wèn)加上“最少”兩個(gè)字，即：“最少為幾何？”則：233-105-105=23。這個(gè)23是滿足題目條件的最小的一個(gè)數(shù)。

　　這個(gè)問(wèn)題的解法，在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》里，有如下歌訣：

　　三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝，

　　七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。

　　這個(gè)歌訣所說(shuō)的計(jì)算步驟，與前面敘述過(guò)程一樣，列出算式為：

　　2×70+3×21+2×15=233

　　233-105-105=23

　　檢驗(yàn)：23÷3=7……2 23÷5=4……3

　　23÷7=3……2w