根據(jù)量、度量單位（基準(zhǔn)量）與量數(shù)的基本關(guān)系：

　　量＝度量單位（基準(zhǔn)量）×量數(shù)。

　　我們已經(jīng)知道：當(dāng)a、b是自然數(shù)，且b≠0時(shí)，除法算式a÷b表示兩種意義：

　�、庞闪�÷基準(zhǔn)量（度量單位）＝量數(shù)，可知：a÷b可以表示a是b的幾倍或幾分之幾。這時(shí)a與b表示兩個(gè)量。

　�、朴闪�÷量數(shù)＝基準(zhǔn)量（度量單位），可知：a÷b可以表示什么數(shù)的b倍等于a，或者把a(bǔ)平均分成b份，每份是多少。這時(shí)a表示一個(gè)量，b表示量數(shù)（用所求的量去度量a所得的結(jié)果）。

　　從實(shí)際問題抽象出來的除法算式a÷b，究竟表示上述兩種意義中的哪一種，必須結(jié)合具體情景才能來確定。

　　當(dāng)a、b為分?jǐn)?shù)時(shí)，除法算式a÷b仍然具有上述兩種意義，但必須探索它的算法。分?jǐn)?shù)除法的算法分兩種情形來探索：一是除數(shù)是整數(shù)的情形；二是除數(shù)是分?jǐn)?shù)的情形。

　　一、除數(shù)是整數(shù)的分?jǐn)?shù)除法

　　下圖（圖1）是一個(gè)長(zhǎng)方形，把它的涂色部分平均分成2份，每份是這個(gè)長(zhǎng)方形的幾分之幾？

　　圖1

　　我們可以從前面的“分?jǐn)?shù)墻”上直接看出這個(gè)結(jié)果。

　　但是，我們還需要探索，從算式÷2怎么算出結(jié)果呢？

　　算法1：÷2＝＝。

　　一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子縮小到原來的一半，分母不變，所得的分?jǐn)?shù)就是原來的一半。

　　算法2：因?yàn)榈囊话氲扔诘�，所以�?/p>

　　÷2＝×＝。

　　比較上面兩種算法，算法1有局限性，它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)整數(shù)的除法運(yùn)算，可是在整數(shù)范圍除法并非總能實(shí)施，暢通無阻。

　　如果圖1中的涂色部分平均分成3份，每份是這個(gè)長(zhǎng)方形的幾分之幾？

　　算式：÷3＝？

　　上面的算法1就行不通了，算法2行得通。

　　因?yàn)?divide;3＝的，所以，

　　÷3＝×＝。圖2

　　圖2中的斜線部分是長(zhǎng)方形的，也驗(yàn)證了上面的算法是正確的。

　　從以上的探索結(jié)果，可以產(chǎn)生一個(gè)猜想：除以一個(gè)整數(shù)（零除外）等于乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。

　　這個(gè)猜想是否成立？有待檢驗(yàn)。

　　理解分?jǐn)?shù)除法的意義，還有另一條重要途徑。

　　在探索分?jǐn)?shù)乘法意義的時(shí)候，我們得到一個(gè)重要的數(shù)量關(guān)系：

　　量＝度量單位×量數(shù)

　　從這個(gè)基本關(guān)系可以引伸出兩個(gè)變式：

　　量÷量數(shù)＝度量單位，

　　或量÷度量單位＝量數(shù)。

　　因此，對(duì)于除法算式÷3＝？的意義，可以作這樣解釋：用什么數(shù)為度量單位去度量時(shí)，量數(shù)是3？于是便有下面的代數(shù)解法：

　　設(shè)÷3＝x，

　　可得，3x＝，

　　x＝×，

　　x＝。

　　即÷3＝。

　　在圖2中，用斜線部分（即）為度量單位去度量涂色部分（即）時(shí)，量數(shù)的確是3。這里，我們又看到了，代數(shù)的方法與圖形的直觀相互印證，和諧統(tǒng)一。

　　代數(shù)在解法的過程中，注意到÷3＝x和x＝×，

　　得÷3＝×。

　　這也驗(yàn)證了一個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)：除以一個(gè)自然數(shù)（零除外）等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

　　二、除數(shù)是分?jǐn)?shù)的除法

　　這個(gè)探索其實(shí)不必再從具體情景或?qū)嶋H操作入手。

　　因?yàn)榍懊嬖谔剿鞒龜?shù)是整數(shù)的分?jǐn)?shù)除法的時(shí)候，已經(jīng)獲得了重要的數(shù)學(xué)事實(shí)：除以一個(gè)自然數(shù)（零除外）等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。因此，可以類比，得到猜想：除以一個(gè)分?jǐn)?shù)是否等于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)呢？

　　驗(yàn)證這個(gè)猜想，除了教材提供的方法外，還有其他途徑。

　　途徑1：用代數(shù)方法檢驗(yàn)。

　　計(jì)算：8÷＝？

　　設(shè)8÷＝x，

　　可得，x＝8，

　　x＝8×，

　　x＝12。

　　注意到8÷＝x和x＝8×，即8÷＝8×。

　　途徑2：從已知到未知的推理。

　　8÷＝8×（1÷）

　�。�8×根據(jù)倒數(shù)關(guān)系：×＝1

　　＝12。

　　因此，無論除數(shù)是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)除法只有如下法則：

　　除以一個(gè)數(shù)（零除外）等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

　　這個(gè)法則也告訴我們，倒數(shù)概念的重要性：有了倒數(shù)，乘法和除法兩種不同的運(yùn)算可以統(tǒng)一為乘法運(yùn)算。

　　（2006年10月2日，寫于福州，修改于2007年2月26日）