一、整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義

　　從下面的數(shù)學(xué)情景，可以獲得整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的具體意義。

　　下圖（圖1）中4個(gè)正方形，每個(gè)正方形為1個(gè)面積單位，涂色部分的面積是多少？

　　圖1

　　不難看出：涂色部分的面積＝的4倍。這是用1個(gè)正方形的為度量單位，去度量涂色部分，4是得到的量數(shù)。

　　即＋＋＋＝

　　＝

　�。�3。

　　由于＋＋＋可以簡(jiǎn)寫為×4或4×，

　　所以，×4＝＝4，或4×＝＝4。①

　　再看圖1，涂色部分的面積＝4的。這是用4個(gè)正方形視為一個(gè)整體，去度量陰影部分，是得到的量數(shù)。

　　所以，4的＝的4倍。

　　即4的＝×4或4×。

　　所以，乘法算式4×（也可以寫成4×）有兩種意義：既可以表示4的，也可以表示的4倍。

　　應(yīng)用上面的算法①，進(jìn)行整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的必要的練習(xí)后，讓學(xué)生討論，嘗試用自己的語(yǔ)言去總結(jié)分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的計(jì)算方法，即讓學(xué)生參與算法的形式化過(guò)程。只要學(xué)生能說(shuō)到以下兩點(diǎn)，都要加以肯定。

　�、欧肿雍驼麛�(shù)相乘；⑵分母不變。

　　二、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義

　　再看下面的數(shù)學(xué)情景：

　　下圖（圖2）中的長(zhǎng)方形，面積是1個(gè)面積單位，其中斜線的部分是它的，紅色部分是斜線部分的。紅色部分的面積是多少？

　　圖2

　　即×＝×＝。②

　　這個(gè)計(jì)算結(jié)果是依靠圖形直觀，“看”出來(lái)的。如果算，應(yīng)該怎么算呢？這就要求創(chuàng)造一個(gè)算法過(guò)程，合乎情理地溝通算式②兩邊的內(nèi)在聯(lián)系。學(xué)生是有能力進(jìn)行這個(gè)算法過(guò)程的再創(chuàng)造的：

　　×＝＝。

　　再看下圖（圖3）中的長(zhǎng)方形，其中斜線部分是它的，紅色部分是它的。紅色部分的面積是多少？

　　圖3

　　因此，乘法算式×（也可以寫成×）也有兩種意義：既可以表示的，也可以表示的。

　　進(jìn)而，對(duì)兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘的算法也要形式化，即總結(jié)算法：分子相乘，分母也相乘。

　　事實(shí)上，如果把整數(shù)視為分母是1的分?jǐn)?shù)，那么整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的乘法就是分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的特例而已。

　　如，4×＝×

　�。�

　�。�

　　＝。

　　三、分?jǐn)?shù)乘法的算理

　　如上所述，×＝＝。

　　一般地，m、n為非零自然數(shù)時(shí)，×＝。這個(gè)關(guān)系奠定了分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的基礎(chǔ)。

　　如，×＝（3×）×（5×）分?jǐn)?shù)的意義

　�。�15×

　�。椒�?jǐn)?shù)的意義

　　＝。約分

　　又如，2×＝（2＋）×帶分?jǐn)?shù)的意義

　　＝2×＋×乘法分配律

　�。剑�分?jǐn)?shù)的乘法

　�。剑�通分

　�。酵�分母分?jǐn)?shù)的加法

　�。�。約分

　　或者2×＝×帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)

　�。�

　�。�

　�。健�

　　一般地說(shuō)，把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，作乘法運(yùn)算比較簡(jiǎn)便。

　　四、倒數(shù)的意義

　　掌握了分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算方法后，我們同樣能夠獲得前面從“分?jǐn)?shù)墻”上發(fā)現(xiàn)的乘法算式：

　　×2＝1，×＝1，×＝1，×＝1，

　　×＝1，×＝1，×＝1。

　　基于這些特殊的乘法算式，又引出一個(gè)重要的概念--倒數(shù)。

　　如果兩個(gè)數(shù)的乘積是1，那么我們稱其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)。例如，的倒數(shù)是2，2的倒數(shù)是，2與是互為倒數(shù)。

　　0為什么沒(méi)有倒數(shù)？

　　一般的解釋是，因?yàn)?乘任何數(shù)都得0，積不可能是1。

　　其實(shí)，也可以回顧上面那些乘積是1的算式，是怎么從“分?jǐn)?shù)墻”上發(fā)現(xiàn)的。因?yàn)榱浚蕉攘繂挝?times;量數(shù)，當(dāng)量是1時(shí)，度量單位×量數(shù)＝1。即當(dāng)量是1時(shí)，度量單位與量數(shù)互為倒數(shù)。

　　但是把0作為度量單位是沒(méi)有實(shí)際意義的，用它量不出任何結(jié)果。所以，0不可能是任何數(shù)的倒數(shù)，因此0也沒(méi)有倒數(shù)。

　�。�2006年9月30日寫于福州，2007年2月26日修改畢）