第十三講 估計(jì)與估算

　1992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽（B）卷第3題是：

的結(jié)果是x。那么，與x最接近的整數(shù)是____。

　　這道題并不要求求x，而求“與x最接近的整數(shù)”，這就是估計(jì)或估算。

　　估計(jì)與估算是一種十分重要的算法，在生活實(shí)踐和數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用，其表現(xiàn)形式通常有以下兩種：

　�。�1）省略尾數(shù)取近似值，即觀其“大概”；

　�。�2）用放大或縮小的方法來(lái)確定某個(gè)數(shù)或整個(gè)算式的取值范圍，即估計(jì)范圍。

　　例1 A=12345678910111213÷31211101987654321，求 A的小數(shù)點(diǎn)后前3位數(shù)字。

　　解：A＞1234÷3122=0.3952…

　　　　A＜1235÷3121＝0.3957…

　　所以0.3952＜A＜0.3957，A的小數(shù)點(diǎn)后前3位數(shù)是395。

　　說(shuō)明：上述解法是采用放縮法估計(jì)范圍解答的，本題還可采用取近似值的辦法求解。解法如下：

　　將被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)舍去13位，各保留4位，則有

　　1234÷3121≈0.3953≈0.395。

得它們的和大于3，至少要選多少個(gè)數(shù)？

　　解：要使所選的數(shù)盡量少，所選用的數(shù)就應(yīng)盡量大，所以應(yīng)從開(kāi)頭依次選。首先注意到：

　　從而

　　所以，至少應(yīng)選11個(gè)數(shù)。

　　說(shuō)明：（1）上述解答是采用取近似值的辦法估值的，也可以利用放縮法估值解答。解法如下：

　　所以，至少應(yīng)選11個(gè)數(shù)。

　　（2）以上解答過(guò)程中包括兩個(gè)方面，其一是確定選數(shù)的原則；其二是驗(yàn)算找到“分界聲、”，而這里的驗(yàn)算只是一種估計(jì)或估算，并不要求精確。

　�。�3）類(lèi)似的問(wèn)題是至少取出多少個(gè)數(shù)，才能使取出的數(shù)的和大于2？

　　答案是7，請(qǐng)讀者自己練習(xí)。

　　例3 右面的算式里，每個(gè)方框代表一個(gè)數(shù)字。問(wèn)：這6個(gè)方框中的數(shù)字的總和是多少？

　　解：每個(gè)方框中的數(shù)字只能是0～9，因此任兩個(gè)方框中的數(shù)字之和最多是18�，F(xiàn)在先看看被加數(shù)與加數(shù)中處于百位的兩個(gè)數(shù)字之和，這個(gè)和不可能小于18，因?yàn)椴还芩鼈兒竺娴膬蓚�(gè)二位數(shù)是什么，相加后必小于200，也就是說(shuō)最多只能進(jìn)1。這樣便可斷定，處于百位的兩個(gè)數(shù)字之和是18，而且后面兩位數(shù)相加進(jìn)1。

　　同樣理由，處于十位的兩個(gè)數(shù)字之和也是18，而且兩個(gè)個(gè)位數(shù)字相加后進(jìn)1。因此，處于個(gè)位的兩個(gè)數(shù)字之和必是17。

　　所以，6個(gè)方框中數(shù)字之和為18＋18＋17=53。

　　例4 如果兩個(gè)四位數(shù)的差等于8921，就說(shuō)這兩個(gè)四位數(shù)組成一個(gè)數(shù)對(duì)，那么這樣的數(shù)對(duì)共有多少個(gè)，

　　解：最小的四位數(shù)是1000，與1000組成一個(gè)數(shù)對(duì)的另一個(gè)四位數(shù)是 8921＋1000=9921，也就是最小一個(gè)數(shù)對(duì)是 9921與1000。同時(shí)由最大的四位數(shù)是9999，可知共有

　　9999-（9921—1）=79（個(gè)）

　　不同的被減數(shù)。所以，這樣的數(shù)對(duì)共有79個(gè)。

　　說(shuō)明：解答的關(guān)鍵在于確定符合條件的的最小數(shù)對(duì)（9921，1000），同時(shí)因?yàn)橛袔讉�(gè)不同的被減數(shù)，就有幾個(gè)不同的減數(shù)相對(duì)應(yīng)地存在，所以我們只要考慮有幾個(gè)不同的被減數(shù)即可。

　　例5 七位數(shù)175□62□的未位數(shù)字是幾時(shí)，不管千位上是0～9中的哪一個(gè)數(shù)字，這個(gè)七位數(shù)都不是11的倍數(shù)？

　　解：因?yàn)?750620÷11＝159147……3，

　　　　　　1759629÷11＝159966……3，

　　所以這個(gè)七位數(shù)是11的倍數(shù)的最小值是1750628，最大值是1759626。

　　又因?yàn)?001=7×11×13，由數(shù)的整除性質(zhì)，可知1750628加上若干個(gè)1001，或1759626減去若干個(gè)1001后，其值也是11的倍數(shù)。這樣1750628，1751629，1759626，1758625，1757624，1756623，1755622，1754621，1753620都是11的倍數(shù)。

　　由上述討論可知七位數(shù)175□62□的末位數(shù)字是7時(shí)，不管其千位上是0到9中的哪一個(gè)數(shù)字，這個(gè)七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。

　　說(shuō)明：上述解法是利用估算確定出取值范圍再進(jìn)行討論。此題也可由能被11整除的數(shù)的特征入手解決。留給讀者思考。