8.2  比的變化

　　已知兩個(gè)數(shù)量的比，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)量發(fā)生增減變化后，當(dāng)然比也發(fā)生變化.通過(guò)變化的描述，如何求出原來(lái)的兩個(gè)數(shù)量呢？這就是這一節(jié)的內(nèi)容.

　　例11 甲、乙兩同學(xué)的分?jǐn)?shù)比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，則他們的分?jǐn)?shù)比是5∶7.甲、乙原來(lái)各得多少分？

　　解一：甲、乙兩人的分?jǐn)?shù)之和沒(méi)有變化.原來(lái)要分成5+4=9份，變化后要分成5+7=12份.如何把這兩種分法統(tǒng)一起來(lái)？這是解題的關(guān)鍵.9與12的最小公倍數(shù)是36，我們讓變化前后都按36份來(lái)算.

　　5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.

　　5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.

　　甲少得22.5分，乙多得22.5分，相當(dāng)于20-15=5份.因此原來(lái)

　　甲得22.5÷5×20=90（分），

　　乙得 22.5÷5×16=72（分）.

　　答：原來(lái)甲得90分，乙得72分.

　　我們?cè)俳榻B一種能解本節(jié)所有問(wèn)題的解法，也就是通過(guò)比例式來(lái)列方程.

　　解二：設(shè)原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根據(jù)得分變化，可列出比例式.

　�。�5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7

　　即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）

　　15x=12×22.5

　　x=18.

　　甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.

　　解：其他球的數(shù)量沒(méi)有改變.

　　增加8個(gè)紅球后，紅球與其他球數(shù)量之比是

　　5∶（14-5）=5∶9.

　　在沒(méi)有球增加時(shí)，紅球與其他球數(shù)量之比是

　　1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.

　　因此8個(gè)紅球是5-4.5=0.5（份）.

　　現(xiàn)在總球數(shù)是

　　答：現(xiàn)在共有球224個(gè).

　　本題的特點(diǎn)是兩個(gè)數(shù)量中，有一個(gè)數(shù)量沒(méi)有變.把1∶2寫成4.5∶9，就是充分利用這一特點(diǎn).本題也可以列出如下方程求解：

　�。▁+8）∶2x=5∶9.

　　例13 張家與李家的收入錢數(shù)之比是8∶5，開(kāi)支的錢數(shù)之比是8∶3，結(jié)果張家結(jié)余240元，李家結(jié)余270元.問(wèn)每家各收入多少元？

　　解：我們采用“假設(shè)”方法求解.

　　如果他們開(kāi)支的錢數(shù)之比也是8∶5，那么結(jié)余的錢數(shù)之比也應(yīng)是8∶5.張家結(jié)余240元，李家應(yīng)結(jié)余x元.有

　　240∶x=8∶5，x=150（元）.

　　實(shí)際上李家結(jié)余270元，比150元多120元.這就是8∶5中5份與8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出

　　答：張家收入720元，李家收入450元.

　　例14 A和B兩個(gè)數(shù)的比是8∶5，每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，求這兩個(gè)數(shù).

　　解：減少相同的數(shù)34，因此未減時(shí)，與減了以后，A與B兩數(shù)之差并沒(méi)有變，解題時(shí)要充分利用這一點(diǎn).

　　8∶5，就是8份與5份，兩者相差3份.減去34后，A是B的2倍，就是2∶1，兩者相差1.將前項(xiàng)與后項(xiàng)都乘以3，即2∶1=6∶3，使兩者也相差3份.現(xiàn)在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.

　　A數(shù)是17×8=136，B數(shù)是17×5=85.

　　答：A，B兩數(shù)分別是136與85.

　　本題也可以用例13解一“假設(shè)”方法求解，不過(guò)要把減少后的2∶1，改寫成8∶4.

　　例15 小明和小強(qiáng)原有的圖畫紙之比是4∶3，小明又買來(lái)15張.小強(qiáng)用掉了8張，現(xiàn)有的圖畫紙之比是5∶2.問(wèn)原來(lái)兩人各有多少?gòu)垐D畫紙？

　　解：充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性.

　　4+3=7，5+2=7，15-8=7.原來(lái)總數(shù)分成7份，變化后總數(shù)仍分成7份，總數(shù)多了7張，因此，

　　新的1份=原來(lái)1份+1

　　原來(lái)4份，新的5份，5-4=1，因此

　　新的1份有15-1×4=11（張）.

　　小明原有圖畫紙11×5-15=40（張），

　　小強(qiáng)原有圖畫紙11×2+8=30（張）.

　　答：原來(lái)小明有40張，小強(qiáng)有30張圖畫紙.

　　例11至15這五個(gè)例題是同一類型的問(wèn)題.用比例式的方程求解沒(méi)有多大差別.用算術(shù)方法，卻可以充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性，找到較簡(jiǎn)捷的解法，也啟示一些隨機(jī)應(yīng)變的解題思路.另外，解方程的代數(shù)運(yùn)算，對(duì)小學(xué)生說(shuō)來(lái)是超前的，不容易熟練掌握.例13的解一，也是一種通用的方法.“假設(shè)”這一思路是很有用的，希望讀者能很好掌握，靈活運(yùn)用.從課外的角度，我們更應(yīng)啟發(fā)小同學(xué)善于思考，去找靈巧的解法，這就要充分利用數(shù)據(jù)的特殊性.因此我們總是先講述靈巧的解法，利于心算，促進(jìn)思維.

　　例16 粗蠟燭和細(xì)蠟燭長(zhǎng)短一樣.粗蠟燭可以點(diǎn)5小時(shí)，細(xì)蠟燭可以點(diǎn)4小時(shí).同時(shí)點(diǎn)燃這兩支蠟燭，點(diǎn)了一段時(shí)間后，粗蠟燭長(zhǎng)是細(xì)蠟燭長(zhǎng)的2倍.問(wèn)這兩支蠟燭點(diǎn)了多少時(shí)間？

　　我們把問(wèn)題改變一下：設(shè)細(xì)蠟燭長(zhǎng)度是2，每小時(shí)點(diǎn)

　　等需要時(shí)間是

　　答：這兩支蠟燭點(diǎn)了3小時(shí)20分.

　　把細(xì)蠟燭的長(zhǎng)度和每小時(shí)燒掉的長(zhǎng)度都乘以2，使原來(lái)要考慮的“2倍”變成“相等”，思考就簡(jiǎn)捷了.解這類問(wèn)題這是常用的技巧.再請(qǐng)看一個(gè)稍復(fù)雜的例子.

　　例17 箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)是白球數(shù)的3倍多2只.每次從箱子里取出7只白球，15只紅球，經(jīng)過(guò)若干次后，箱子里剩下3只白球，53只紅球，那么，箱子里原來(lái)紅球數(shù)比白球數(shù)多多少只？

　　解：因?yàn)榧t球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以對(duì)3倍的白球，每次取15只，最后應(yīng)剩51只.

　　因?yàn)榘浊蛎看稳?只，最后剩下3只，所以對(duì)3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后應(yīng)剩 3×3＝ 9只.因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15）＝ 7（次）.

　　紅球有 15×7＋ 53＝ 158（只）.

　　白球有 7×7＋3＝52（只）.

　　原來(lái)紅球比白球多 158-52＝106（只）.

　　答：箱子里原有紅球數(shù)比白球數(shù)多106只.