第二講 和、差與倍數(shù)的應用題
做應用題是一種很好的思維鍛煉.做應用題不但要會算，而且要 多思考，善于發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關系，可以說做應用題是運用數(shù)學的開始.
加、減、乘是最基本的運算，和、差、倍數(shù)是兩數(shù)之間最簡單的數(shù)量關系.
2.1 和差問題
說到“和差問題”，小學高年級的同學，人人都會說：“我會！”和差問題的計算太簡單了.是的，知道兩個數(shù)的和與差，求兩數(shù)，有計算公式：
大數(shù)=（和+差）÷2
小數(shù)=（和-差）÷2
會算，還要會靈活運用，要把某些應用題轉化成和差問題來算.
先看幾個簡單的例子.
例1 張明在期末考試時，語文、數(shù)學兩門功課的平均得分是95分，數(shù)學比語文多得8分，張明這兩門功課的成績各是多少分？
解：95乘以2，就是數(shù)學與語文兩門得分之和，又知道數(shù)學與語文得分之差是8.因此
數(shù)學得分=（95×2＋8）÷2＝99.
語文得分=(95×2-8）÷2＝ 91.
答：張明數(shù)學得99分，語文得91分.
注：也可以從 95×2-99＝91求出語文得分.
例2 有 A，B，C三個數(shù)，A加 B等于 252，B加 C等于 197， C加 A等于 149，求這三個數(shù).
解：從B+C＝197與A+C＝149，就知道B與A的差是197-149，題目又告訴我們，B與A之和是252.因此
B=（252＋ 197-149）÷ 2＝ 150，
A＝252-150＝102，
C＝149-102＝47.
答：A，B，C三數(shù)分別是102，150，47.
注：還有一種更簡單的方法
（A+B）＋（B＋C）＋（C＋A）＝2×（A＋B＋C）.
上面式子說明，三數(shù)相加再除以2，就是三數(shù)之和.
A＋B＋C＝（252＋197＋149）÷2＝299.因此
C＝299-252＝47，
B＝299-149＝150，
A＝299-197＝102.
例3 甲、乙兩筐共裝蘋果75千克，從甲筐取出5千克蘋果放入乙筐里，甲筐蘋果還比乙筐多7千克.甲、乙兩筐原各有蘋果多少千克？
解：畫一張簡單的示意圖，
就可以看出，原來甲筐蘋果比乙筐多
5＋7＋ 5＝ 17（千克）
因此，甲、乙兩數(shù)之和是 75，差為17.
甲筐蘋果數(shù)=（75＋17）÷2＝ 46（千克）.
乙筐蘋果數(shù)=75-46＝29（千克）.
答：原來甲筐有蘋果46千克，乙筐有蘋果29千克.
例4 張強用270元買了一件外衣，一頂帽子和一雙鞋子.外衣比鞋貴140元，買外衣和鞋比帽子多花210元，張強買這雙鞋花多少錢？
解：我們先把外衣和鞋看成一件東西，它與帽子的價格和是 270元，差是 210元.
外衣和鞋價之和=（270＋ 210）÷2＝ 240（元）.
外衣價與鞋價之差是140，因此
鞋價=（240-140）÷2＝50（元）.
答：買這雙鞋花50元.
再舉出三個較復雜的例子.如果你也能像下面的解答那樣計算，那么就可以說，“和差問題”的解法，你已能靈活運用了.
例5 李叔叔要在下午3點鐘上班，他估計快到上班時間了，到屋里看鐘，可是鐘早在12點10分就停了.他開足發(fā)條卻忘了撥指針，匆匆離家，到工廠一看鐘，離上班時間還有10分鐘.夜里11點下班，李叔叔馬上離廠回到家里，一看鐘才9點整.假定李叔叔上班和下班在路上用的時間相同，那么他家的鐘停了多少時間（上發(fā)條所用時間忽略不計）？
解：到廠時看鐘是2點50分，離家看鐘是12點10分，相差2小時40分，這是停鐘的時間和路上走的時間加在一起產(chǎn)生的.就有
鐘停的時間+路上用的時間=160（分鐘）.
晚上下班時，廠里鐘是11點，到家看鐘是9點，相差2小時.這是由于鐘停的時間中，有一部分時間，被回家路上所用時間抵消了.
因此
鐘停的時間-路上用的時間=120（分鐘）.
現(xiàn)在已把問題轉化成標準的和差問題了.
鐘停的時間=（160＋120）÷ 2＝ 140（分鐘）.
路上用的時間=160-140＝20（ 分鐘）.
答：李叔叔的鐘停了2小時20分.
還有一種解法，可以很快算出李叔叔路上所用時間：
以李叔叔家的鐘計算，他在12點10分出門，晚上9點到家，在外共8小時50分鐘，其中8小時上班，10分鐘等待上班，剩下的時間就是他上班來回共用的時間，所以上班路上所用時間=（8小時50分鐘-8小時-10分鐘）÷2＝20（分鐘）.
鐘停時間=2小時 40分鐘-20分鐘
=2小時20分鐘.
例6 小明用21.4元去買兩種賀卡，甲卡每張1.5元，乙卡每張0.7元，錢恰好用完.可是售貨員把甲卡張數(shù)算作乙卡張數(shù)，把乙卡張數(shù)算作甲卡張數(shù)，要找還小明3.2元.問小明買甲、乙卡各幾張？
解：甲卡與乙卡每張相差 1.5-0.7＝ 0. 8（元），售貨員錯找還小明3.2元，就知小明買的甲卡比乙卡多3.2÷0.8＝4（張）.
現(xiàn)在已有兩種卡張數(shù)之差，只要求出兩種卡張數(shù)之和問題就解決了.如何求呢？請注意
1.5×甲卡張數(shù)+0.7×乙卡張數(shù)=21.4.
1.5×乙卡張數(shù)+0.7×甲卡張數(shù)=21.4-3.2.
從上面兩個算式可以看出，兩種卡張數(shù)之和是
因此，甲卡張數(shù)是
（18 ＋ 4）÷ 2＝ 11（張）.
乙卡張數(shù)是 18-11＝ 7（張）.
答：小明買甲卡11張、乙卡7張.
注：此題還可用雞兔同籠方法做，請見下一講.
例7 有兩個一樣大小的長方形，拼合成兩種大長方形，如右圖.大長方形（A）的周長是240厘米，大長形（B）的周長是258厘米，求原長方形的長與寬各為多少厘米？
解：大長方形（A）的周長是原長方形的
長×2+寬×4.
大長方形（B）的周長是原長方形的
長×4+寬×2.
因此，240+258是原長方形的
長×6+寬×6.
原長方形的長與寬之和是
�。�240＋258）÷6＝83（厘米）.
原長方形的長與寬之差是
�。�258-240）÷2＝9（厘米）.
因此，原長方形的長與寬是
長：（83＋ 9）÷2＝ 46（厘米）.
寬：（83-9）÷2＝37（厘米）.
答：原長方形的長是46厘米、寬是37厘米
