由等邊三角形開始，可以形成兩種有趣的系列曲線，如右圖。將等邊三角形的每一邊三等分，再取中間那一等分作較小的等邊三角形。然后在所形成的曲線的每一段直線上，同樣作三等分，繼續(xù)作更小的等邊三角形。以此類推，就可以形成一系列的雪花曲線。
我們用非常類似的方法也可以作出反雪花曲線，只要在三等分的地方向內(nèi)作等邊三角形即可。
畫出這種曲線最簡單的方法是利用方格紙，并將一開始的等邊三角形每邊定為9個單位長。
如果開始的三角形周長是L個單位，那么系列中第一條曲線及第二條曲線的周長分別是4/3L及(4/3)2L。請說明為什么。
相對應(yīng)的反雪花曲線的周長又是多少？ 這兩種系列的第十條曲線，周長各是多少？ 研究一下雪花曲線與反雪花曲線的面積各是多少，以開始的三角形面積A來表示。
分析與解答：
雪花曲線是科克(von Koch)所發(fā)明的，他以此來證明一條曲線可以擁有無限的長度，但是卻只包圍有限的面積。
雪花形以及反雪花形曲線，兩者由系列中的某條曲線改變到下條曲線時，它的周長會乘以4/3，因為每一段直線的中央1/3部分會被兩段新的直線所取代，而它們的長度為原線段的1/3。
因此，互相對應(yīng)的雪花形和反雪花形曲線的周長是一樣的。系列中第十條曲線的周長是(4/3)10L，而第n條曲線的周長為(4/3)nL。
系列中前兩條雪花曲線包圍的面積分別是： 其通式為：
其中An表示第n條雪花曲線包圍的面積。
前兩條反雪花形曲線包圍的面積分別是： 其通式為： 一個系列不斷繼續(xù)下去的極限觀念是本題的特點，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。就是這些觀念經(jīng)常會激發(fā)那些未來將成為數(shù)學(xué)家的孩子的想象力。
