選材設(shè)想
《課標(biāo)》提出：“學(xué)生通過學(xué)習(xí)，能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識以及基本的數(shù)學(xué)思想方法。”
新課標(biāo)實施，數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了相應(yīng)的改革，數(shù)學(xué)思想方法的重要性更為彰顯。最明顯的表現(xiàn)在于每冊教材多了“數(shù)學(xué)廣角”這一單元，通過“數(shù)學(xué)廣角”來進(jìn)一步滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想、方法，加強學(xué)生綜合運用知識的能力，逐步提高解決問題的能力。人教版第八冊的“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容之一是簡單的“植樹問題”。
之前的某日，我在區(qū)研發(fā)中心四年級資優(yōu)班上課，內(nèi)容恰巧也是《植樹問題》。
這引起了我的思考：面對來自全區(qū)各校優(yōu)秀的學(xué)生上“植樹問題”，學(xué)生們還存在著一定的差異，如果面對的是班級的所有學(xué)生，我又該怎樣去運用教材讓全體學(xué)生學(xué)得最為有效呢？
這是一個挑戰(zhàn)，于是決心嘗試。
教學(xué)分析、目標(biāo)制定
“植樹問題”通常是指沿著一定的路線，這條路線的總長度被樹平均分成若干段，由于路線不同、植樹要求不同，路線被分成的段數(shù)和植樹棵數(shù)之間的關(guān)系就不同�，F(xiàn)時生活中類似的問題還有很多，如安裝路燈、花壇擺花、站隊中的方陣、鋸木頭、走樓梯，等等。
《課標(biāo)》中關(guān)于第二學(xué)段目標(biāo)有以下闡述：“應(yīng)使學(xué)生經(jīng)歷從實際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，并運用所學(xué)知識解決問題的過程。”“探求給定事物中隱含的規(guī)律或變化趨勢。”
基于以上思考，我把目標(biāo)制定為：
知識性目標(biāo)：利用生活中的問題，通過動手操作的實踐活動讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)分的段數(shù)與植樹棵數(shù)之間的關(guān)系，并能利用規(guī)律來解決簡單植樹的問題。
過程性目標(biāo)：進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生從實際問題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律解決問題的能力。
預(yù)設(shè)教案
課 題
植樹問題
課 型
新授
課 時
1
教 學(xué) 內(nèi) 容
《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 數(shù)學(xué)（四年級上冊）》第P117- P118
教 學(xué) 目 標(biāo)
知識技能性目標(biāo)：
1．利用生活中的問題，通過動手操作的實踐活動讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)分的段數(shù)與植樹棵數(shù)之間的關(guān)系，并能利用規(guī)律來解決簡單植樹的問題。
過程性目標(biāo)：
1．進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生從實際問題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律解決問題的能力。
教具 使用
課件、小樹圖片若干、直尺
教學(xué)過程
預(yù)計學(xué)生學(xué)習(xí)活動程
序或形式
設(shè)計意圖
一、創(chuàng)設(shè)情境
出示公告：
南教學(xué)樓到操場的有一段20米的小路，學(xué)校打算在小路一側(cè)種樹。請按照每隔5米種一棵的要求設(shè)計一份方案植樹方案，并說明設(shè)計理由。
�。�1）獨立活動，設(shè)計方案。
�。�2）小組交流，說明設(shè)計方案及理由。
（3）集體交流。
師：請同學(xué)上來“種一種”。
�。ò逊桨刚故驹诤诎迳希�
學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)建議進(jìn)行操作。
預(yù)設(shè)學(xué)生行為：
可能1：5棵。兩頭都種。這樣可以讓學(xué)校有更多的綠色。
可能2：3棵。頭尾都不種。因為節(jié)約成本。
可能3：4棵。種頭不種尾；或者相反。成本既不太高，綠色又不會太少。
讓學(xué)生在實際操作中初步感受植樹問題的特征。
二、發(fā)現(xiàn)規(guī)律
1．師提問：第一種方案為什么是5棵？
2．請學(xué)生舉例驗證“間隔數(shù)+1＝棵數(shù)”。
3．揭題：看來植樹中間有許多有趣的數(shù)學(xué)問題，今天我們就來研究與植樹有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。
板書課題：植樹問題
學(xué)生：棵數(shù)比間隔數(shù)多1。
根據(jù)學(xué)生回答板書：
間隔數(shù)＋1＝棵數(shù)
滲透數(shù)學(xué)思想方法：通過不完全歸納法驗證自己找到的規(guī)律。
三、應(yīng)用規(guī)律
1．基礎(chǔ)練習(xí)：
如果在我校操場的一側(cè)種樹，如果每隔8米種一棵，需要多少棵？
2．聯(lián)系生活
其實我們的生活中像植樹問題的現(xiàn)象有很多，你能舉例嗎？
師：金老師也找到一些，請大家試一試。
l 四（3）班28人做早操，排成2列縱隊，每2位同學(xué)的距離是1米，從第一位同學(xué)到最后一位同學(xué)的距離有多少米？
l 曉宏回家每走一層樓就有12個臺階，共要走72個臺階，曉宏住在幾樓？
3．分層練習(xí)
A組：一根10米長的木頭，把它平均分成5段，每鋸下一段需要8分鐘，鋸?fù)暌还残枰嗌俜昼姡?/p>
B組：同學(xué)們布置教室，掛了6只紅燈籠，再在每兩只紅燈籠中間掛了2只黃燈籠，一共掛了幾只黃燈籠？
�。�1）選擇一題，獨立解題。
（2）找好朋友或者選擇同樣題目的小伙伴交流。
�。�3）集體交流。
學(xué)生可能會舉例：鋸木頭、走樓梯、排隊。
結(jié)合生活實際運用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題，從而促進(jìn)理解，提高解決問題的能力。
通過分層練習(xí)的設(shè)計，滿足不同學(xué)生的不同學(xué)習(xí)需求，讓每個學(xué)生得到最大程度的發(fā)展。
四、總結(jié)：今天你有什么收獲？
教后反思
本以為自己設(shè)計的教案考慮到了學(xué)生的生活經(jīng)驗，結(jié)合生活實際，重視了數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)，方法的滲透，是可行的，學(xué)生們應(yīng)該是能夠掌握的�？墒窃趯嶋H的教學(xué)過程中，在“種樹”時還是躍躍欲試的學(xué)生們到“應(yīng)用規(guī)律” 時一個個都像被打敗公雞，毫無斗志與反應(yīng)。勉強參與的總是那幾個平時成績比較優(yōu)秀的學(xué)生�？磥磉@樣的設(shè)計無法顧及全體學(xué)生的發(fā)展。沒有了學(xué)生的主體參與，何來思維的培養(yǎng)，主題的建構(gòu)呢？
我開始反思：為什么學(xué)生能夠找到簡單植樹問題的規(guī)律“間隔數(shù)+1＝棵數(shù)”卻無法運用呢？在發(fā)現(xiàn)規(guī)律與運用規(guī)律間缺少了怎樣的鏈接？
在反思中，我找到了癥結(jié)所在。
1．充分體驗──夯實學(xué)習(xí)基礎(chǔ)
有意義的學(xué)習(xí)是學(xué)生在具體情景中通過活動體驗而自主建構(gòu)的。體驗和建構(gòu)學(xué)生活動化學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。體驗是建構(gòu)的基礎(chǔ)，沒有體驗，建構(gòu)就失去意義。體驗是學(xué)生從舊知識向隱含的新知識遷移的過程。第一次的教學(xué)設(shè)計中，雖然我創(chuàng)設(shè)了情境，但學(xué)生僅憑一次體驗是不可能全部達(dá)到繼續(xù)建構(gòu)學(xué)習(xí)主題的水平。
不僅需要向?qū)W生提供多次體驗的機會，而且還需要創(chuàng)設(shè)能夠激發(fā)學(xué)生共鳴的情境。
在第一次的設(shè)計中，學(xué)生做操也好，曉宏走樓梯也好，看似全部來自生活世界，但學(xué)生對這些信息沒有感情色彩的，這樣的生活經(jīng)驗只是我自以為是的虛構(gòu)。
學(xué)生真正的生活經(jīng)驗應(yīng)該是他們身邊熟悉的事物，是能夠激發(fā)他們感情因素的事物，這樣讓學(xué)生才會真正感興趣，才能夠產(chǎn)生共鳴，才易激發(fā)探究的欲望，讓活動化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有個堅實的基礎(chǔ)。
2．小組合作──利用學(xué)生資源
學(xué)生的認(rèn)知起點與知識結(jié)構(gòu)邏輯起點存在差異。我在第一次教學(xué)過程中把二者混為一談了，誤以為學(xué)生能發(fā)現(xiàn)“棵數(shù)＝間隔數(shù)+1”就能解決問題了，實際上這只是部分學(xué)生具備了繼續(xù)學(xué)習(xí)的知識結(jié)構(gòu)邏輯起點，但學(xué)生們還不能將知識結(jié)構(gòu)邏輯起點與自己的認(rèn)知起點相互結(jié)合。這恰恰導(dǎo)致了能找規(guī)律卻不會用規(guī)律。
要解決兩者之間的矛盾，“合作”是一個良方。生生之間的差異是學(xué)習(xí)的資源，這種資源應(yīng)在小組交流的平臺上得到充分的展示與合理的利用。
3．?dāng)?shù)形結(jié)合──促進(jìn)方法滲透
如果說生活經(jīng)驗是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，生生間的合作交流是學(xué)習(xí)的推動力，那么借助圖形幫助理解是學(xué)生建構(gòu)知識的一個拐杖。有了這根拐杖，學(xué)生們才能走得更穩(wěn)、更好。這就將“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”與“運用規(guī)律”鏈接起來。
在以上教學(xué)設(shè)計中，我只為學(xué)生提供了大量文字信息，學(xué)生們僅僅感受這些抽象的文字信息，沒有可以憑借的工具，就無法將文字信息與已有的知識經(jīng)驗相互結(jié)合，無法達(dá)到思維發(fā)展的生長點。借助數(shù)形結(jié)合將文字信息與學(xué)習(xí)基礎(chǔ)耦合，使得學(xué)習(xí)得以繼續(xù)，使得學(xué)生思維發(fā)展有了憑借，也使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想方法真正得以滲透。
通過充分體驗，讓學(xué)生有夯實的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)；利用小組合作，促進(jìn)生生交流；借助數(shù)形結(jié)合，滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法；這樣才使得學(xué)習(xí)主題建構(gòu)可以落實。
基于以上認(rèn)識，我開始重新思考教學(xué)目標(biāo)的定位與教學(xué)過程的設(shè)計。
目標(biāo)二度分析
知識性目標(biāo)：
1．利用學(xué)生熟悉的生活情境，通過動手操作的實踐活動，讓學(xué)生感悟分的段數(shù)與植樹棵數(shù)之間的關(guān)系。
2．通過小組合作、交流，使學(xué)生能理解段數(shù)與植樹棵數(shù)之間的規(guī)律。
3．使學(xué)生能夠借助圖形，利用規(guī)律來解決簡單植樹的問題。
過程性目標(biāo)：
1．進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生從實際問題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律解決問題的能力。
2．滲透數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生借助圖形解決問題的意識。
3．培養(yǎng)學(xué)生的合作意識，養(yǎng)成良好的交流習(xí)慣。
4．通過實踐活動激發(fā)熱愛數(shù)學(xué)的情感，感受日常生活中處處有數(shù)學(xué)、體驗學(xué)習(xí)成功的喜悅。
教案二度設(shè)計
課 題
植樹問題
課 型
新授
課 時
1
教 學(xué) 內(nèi) 容
義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 數(shù)學(xué)（四年級上冊）》第P117-P118
教 學(xué) 目 標(biāo)
知識技能性目標(biāo)：
1．利用學(xué)生熟悉的生活情境，通過動手操作的實踐活動，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)分的段數(shù)與植樹棵數(shù)之間的關(guān)系。
2．通過小組合作、交流，使學(xué)生能理解段數(shù)與植樹棵數(shù)之間的規(guī)律。
3．能夠借助圖形，利用規(guī)律來解決簡單植樹的問題。
過程性目標(biāo)：
1．進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生從實際問題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律解決問題的能力。
2．滲透數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生借助圖形解決問題的意識。
3．培養(yǎng)學(xué)生的合作意識，養(yǎng)成良好的交流習(xí)慣。
4．通過實踐活動激發(fā)熱愛數(shù)學(xué)的情感，感受日常生活中處處有數(shù)學(xué)、體驗學(xué)習(xí)成功的喜悅。
教具 使用
課件、小樹圖片若干、直尺
教學(xué)過程
預(yù)計學(xué)生學(xué)習(xí)活動程
序或形式
設(shè)計意圖
一、創(chuàng)設(shè)情境
1．出示公告：
南教學(xué)樓到操場的有一段20米的小路，學(xué)校打算在小路一側(cè)種樹。請按照每隔5米種一棵的要求設(shè)計一份方案植樹方案，并說明設(shè)計理由。
�。�1）獨立活動，設(shè)計方案。
�。�2）小組交流，說明設(shè)計方案及理由。
�。�3）集體匯報植樹棵數(shù)。
�。�4）師在各組匯報后提問：為什么同樣是20m的小路，為什么有的是種3棵樹，有的是種4棵樹，有的是種5棵樹？請大家在黑板上“種一種”。
學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)建議進(jìn)行操作。
預(yù)設(shè)學(xué)生行為：
可能1：5棵。這樣可以讓學(xué)校有更多的綠色。
可能2：3棵。因為節(jié)約成本。
可能3：4棵。成本既不太高，綠色又不會太少。
讓學(xué)生在實際操作和比較中初步感受植樹問題的特征。
二、發(fā)現(xiàn)規(guī)律 再次感悟
1．引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)各種方案之間的差異以此發(fā)現(xiàn)植樹問題的基本特征“間隔數(shù)+1＝棵數(shù)”。
2．請學(xué)生舉例驗證“間隔數(shù)+1＝棵數(shù)”。
師：如果分成n段會怎樣？
3．師：這是金老師的方案，能看懂嗎？(課件演示)
請你幫助計算小路的一側(cè)共需要多少棵樹？
師：如果每隔4m種一棵，又會怎樣？
4．小結(jié)：通過這分設(shè)計方案，發(fā)現(xiàn)了什么？
大家的方案各有所長，都有可取之處。金老師會把你們的方案上交到學(xué)校的。
學(xué)生：棵數(shù)比間隔數(shù)多1。
根據(jù)學(xué)生回答板書：
間隔數(shù)＋1＝棵數(shù)
生：要種n+1棵樹。
生：20÷10＋1＝11（棵）
學(xué)生根據(jù)前面的操作、線段圖的提示來解答：20÷4+1。
生談發(fā)現(xiàn)。
滲透數(shù)學(xué)思想方法：通過不完全歸納法驗證自己找到的規(guī)律。
滲透代數(shù)思想。
借助圖形進(jìn)一步加深理解。
三、應(yīng)用規(guī)律
1．揭題：看來植樹中間有許多有趣的數(shù)學(xué)問題，今天我們就來研究與植樹有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。
�。ò鍟n題：植樹問題）
其實我們的生活中有許多現(xiàn)象與植樹問題很相似，你能找找看嗎？
2．變式練習(xí)
根據(jù)學(xué)生回答隨機出現(xiàn)以下信息：
3．分層練習(xí)
學(xué)生可能會舉例：鋸木頭、走樓梯、排隊。
�。�1）學(xué)生獨立嘗試
（2）與同桌交流
�。�3）集體反饋
�。�1）選擇一題，獨立解題。
�。�2）動態(tài)分組：找好朋友或者選擇同樣題目的小伙伴交流。
�。�3）集體交流。
在前面3次求植樹棵數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的變式練習(xí)。
根據(jù)學(xué)生的回答來出示信息，激發(fā)學(xué)生的興趣。
每一次信息的出示除了文字還配有學(xué)生熟悉的圖片，刺激感觀，加強信息與已有知識基礎(chǔ)之間的鏈接，促進(jìn)遷移，發(fā)展思維，提高解決問題的能力。
借助小組合作交流，幫助后進(jìn)生理解，讓全體學(xué)生都有發(fā)展。
通過分層練習(xí)的設(shè)計，滿足不同學(xué)生的不同學(xué)習(xí)需求，讓每個學(xué)生得到最大程度的發(fā)展。
四、總結(jié)：今天你有什么收獲？
實際效果
讓我們一起來看幾段課堂實錄吧，以此作為實際效果的展示。
【片斷1】再次感悟
師：這是金老師設(shè)計的方案，能看懂嗎？(課件演示)
生：金老師的設(shè)計方案就是每隔2米種1棵，20米里面有10個2米，每棵樹都對著1個2米，但是最后第十個2米的后面還要種1棵，所以就是11棵。
師：誰聽懂了ZH的意思？
生：ZH的意思是……(邊說邊上講臺指著圖說)
師：我明白了，你們的意思是這樣種嗎？（課件演示學(xué)生回答的含義，突出棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系。）
【學(xué)生們的語言解釋加上直觀的課件演示，讓全體學(xué)生基本理解植樹問題的特征�！�
【片斷2】變式練習(xí)
師：其實我們的生活中有許多現(xiàn)象與植樹問題很相似，你能找找看嗎？
生1：鋸木頭有點像的。
�。ǔ鍪鞠鄳�(yīng)題目，學(xué)生解答。）
生2：畫圖看一下，要鋸成5段，只要4次就行了。（根據(jù)學(xué)生回答出示線段圖）
師：能通過畫圖解決問題，真好。
生3：俗話說1刀兩段，段數(shù)比刀數(shù)多1，那么4刀就5段，所以（5－1）×8＝32（分）
生4：還有走樓梯的時候也像植樹問題。
�。ǔ鍪鞠鄳�(yīng)題目，沒等老師開口，學(xué)生們自發(fā)討論起來。）
生5：金老師，我有問題，24個臺階到底從哪里到哪里？半層還是一層？
師：你上臺，問問大家吧。
生5向大家提問，生6自己跑上講臺：“題目中說1層有24個臺階，肯定是從1樓到2樓，這樣才是1層！”（學(xué)生邊說邊指著課件。）
生5：哦，明白了。
……
生6：我們這個多功能廳里還有很多，你看上面的一排燈的距離可以用植樹問題的方法求的。
生：是的、是的。還有那邊的……學(xué)生們七嘴八舌地開始就教室里的“植樹問題現(xiàn)象”討論開來。
師：金老師還找到一個，看�。ǔ鍪緦W(xué)生們在教室的照片）你能提出什么問題？
生：第一位同學(xué)到第二位之間的距離大約是1米，那么第一位同學(xué)到最后一位同學(xué)之間的距離大約是幾米？
師：說得真好，老師把你說的打出來。
學(xué)生們更活躍了，開始對這張照片隱藏的數(shù)學(xué)問題發(fā)表見解。
……
【師生平等的關(guān)系創(chuàng)設(shè)了學(xué)生自由的學(xué)習(xí)環(huán)境；貼近學(xué)生的生活經(jīng)驗讓學(xué)生們知識結(jié)構(gòu)邏輯起點與認(rèn)知起點相互結(jié)合；結(jié)合圖片的出現(xiàn)方式讓數(shù)形結(jié)合的思想得以滲透，最后老師只提供生活情境，讓學(xué)生們自己發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，解決問題，使學(xué)生們進(jìn)入了自覺運用所學(xué)知識解決問題的階段�！�
【片斷3】課堂總結(jié)
師：你有什么收獲嗎？
生1：我知道了植樹問題的特點：棵數(shù)＝間隔數(shù)+1。
師：那可有個前提──
生1：兩頭都種樹。
生2：我覺得生活中到處都可以找到植樹問題。
生3：我覺得數(shù)學(xué)就在我們身邊。
……
【學(xué)生們對生活種到處有數(shù)學(xué)有比較深的體會，真正地體會到了數(shù)學(xué)源于生活�！�
