面對(duì)書(shū)本，如果對(duì)知識(shí)沒(méi)有了質(zhì)疑，對(duì)挑戰(zhàn)沒(méi)有了渴望，對(duì)自我沒(méi)有了信心，那么學(xué)習(xí)的過(guò)程就沒(méi)有了驚嘆，沒(méi)有了思辨，沒(méi)有了期待，沒(méi)有了樂(lè)趣—那不是我想要的課堂。
變故突生，課堂遭遇意外
圓錐體積的推導(dǎo)，最常用的就是倒三次水的方法，清楚明白地發(fā)現(xiàn)圓錐的體積是等底等高的圓柱體積的三分之一。小學(xué)6年級(jí)的時(shí)候，我學(xué)過(guò)一次，等我當(dāng)了教師，我教過(guò)學(xué)生兩次。今天還是上這節(jié)課，輕車(chē)熟路，實(shí)驗(yàn)和講解都很順利，學(xué)生開(kāi)始做練習(xí)了。
過(guò)了一會(huì)兒，教室里有了些不和諧的聲音，起先還壓抑著，后來(lái)掩不住興奮炸裂開(kāi)來(lái)。兩個(gè)臉漲得通紅的男同學(xué)，高聲叫著，“二分之一！是二分之一！你看。”“孫老師”，其中叫范托的學(xué)生激動(dòng)地說(shuō)：“你先看，這個(gè)三角形的面積是不是這個(gè)長(zhǎng)方形的一半？”一個(gè)涂得臟兮兮的長(zhǎng)方形，以及一個(gè)沿這個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線對(duì)折后剪下來(lái)的三角形出現(xiàn)在我眼前(如圖一)。
“對(duì)呀。”
“那這個(gè)呢？”他又拿出和剛才相同的兩個(gè)圖形。
“也是呀。”
“這樣兩個(gè)疊起來(lái)，兩個(gè)三角形的體積是不是兩個(gè)長(zhǎng)方形的一半。”
“是呀。”
“那3個(gè)、4個(gè)、很多個(gè)疊起來(lái)呢？”
“也是二分之一啊。”
“那就對(duì)了。”他得意地說(shuō)，接著開(kāi)始演示，他把一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)三角形粘在一起，以一條寬為軸，用手撥動(dòng)另外一邊旋轉(zhuǎn)360度（如圖三），撥一下，數(shù)一下，“1張、2張、3張…… 一起轉(zhuǎn)的，那張數(shù)是一樣多，長(zhǎng)方形轉(zhuǎn)一圈就是圓柱,三角形轉(zhuǎn)一圈就是圓錐,那圓錐的體積不就是圓柱的二分之一嗎?”
教室里突然靜了下來(lái)，部分學(xué)生已經(jīng)停下了對(duì)作業(yè)的討論，盯著講臺(tái)上的三角形碎片想著剛才的推論。
太突然了，我深吸一口氣讓自己保持鎮(zhèn)定，頭腦中迅速地調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)：旋轉(zhuǎn)成形的任一瞬間，三角形的面積都是長(zhǎng)方形的二分之一，由于是同步旋轉(zhuǎn)，因此旋轉(zhuǎn)的度數(shù)完全相同，也就是說(shuō)，累計(jì)疊加的個(gè)數(shù)也完全相同，因此，由無(wú)數(shù)個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)疊加而成的圓錐的體積，應(yīng)該就是由同樣多個(gè)數(shù)的長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)疊加而成的圓柱的體積的二分之一！天哪，這個(gè)推理好像是天衣無(wú)縫，面對(duì)人們信之不移的“規(guī)律性知識(shí)”，不同的方法怎么出現(xiàn)了不同的結(jié)論！應(yīng)該是三分之一啊，怎么辦？我知道我的學(xué)生此刻都在盯著我。兩分鐘后，終于有人忍不住開(kāi)了口，教室里炸開(kāi)了鍋。“書(shū)上印錯(cuò)了！”“倒水的時(shí)候，3次根本就沒(méi)有倒?jié)M，不是三分之一，應(yīng)該是二分之一啊！”“范托，你好厲害！”而我，只能暫時(shí)眼睜睜地看著他們，因?yàn)槲掖_實(shí)無(wú)法當(dāng)堂反饋這個(gè)推理的邏輯漏洞。
尋根索源，問(wèn)題從何而來(lái)
1.實(shí)驗(yàn)不精確埋下了問(wèn)題的種子。實(shí)驗(yàn)用的圓柱量杯和圓錐量斗外表面比較時(shí)，確實(shí)是等底等高，但由于透明塑料有一定的厚度，實(shí)際上圓錐的容積要略微小于圓柱容積的三分之一，因此，每次裝的水倒入量杯的時(shí)候，總會(huì)比三等分的刻度線稍微低一點(diǎn)。3次倒水完成后，離杯口還差一點(diǎn)距離。通常的做法就是簡(jiǎn)單地向?qū)W生解釋一下，是實(shí)驗(yàn)誤差，學(xué)生也能接受。但在喜歡較真的學(xué)生心里卻埋下了問(wèn)題的種子，思量著是否有其他的推理方法來(lái)驗(yàn)證甚至推翻這個(gè)結(jié)論。
2.知識(shí)漸豐使得問(wèn)題萌發(fā)。學(xué)生會(huì)想到用疊加的方法雖然出乎意料，卻不是偶然的，雖然教材中沒(méi)有要求，但在面積體積的教學(xué)中，我鋪墊了有關(guān)點(diǎn)線面三者之間演變的過(guò)程，那時(shí)是為了幫助他們更好地理解概念：把點(diǎn)一個(gè)個(gè)沿一定的方向密密麻麻地排列，就形成了線，線段的長(zhǎng)度可以理解為點(diǎn)的個(gè)數(shù)；把同樣長(zhǎng)度的線段沿一定的方向平行疊加排列，就形成一個(gè)面，線的條數(shù)可以理解為所形成的長(zhǎng)方形的寬，長(zhǎng)方形的面積＝線的長(zhǎng)度×線的條數(shù)＝長(zhǎng)×寬；大小相同的面，一層層往上疊加形成柱體，面的層數(shù)可以理解為柱體的高。柱體體積＝底面面積×面的層數(shù)＝底面面積×高。沒(méi)想到，埋下的種子，卻在這里生根發(fā)了芽。
3.求知欲和好勝心強(qiáng)促使問(wèn)題“爆發(fā)”。6年級(jí)的孩子叛逆心強(qiáng)，不滿(mǎn)現(xiàn)實(shí),充滿(mǎn)幻想，喜歡挑戰(zhàn)權(quán)威，又追求新奇。平時(shí)班級(jí)競(jìng)賽中又多以解答方法巧妙而論勝負(fù)，導(dǎo)致學(xué)生尤其是優(yōu)秀學(xué)生群中，以與眾不同為榮。他們學(xué)有余力，專(zhuān)門(mén)喜歡研究冷門(mén)解法，以彰顯自己的實(shí)力。
面對(duì)生成，教師如何應(yīng)對(duì)
1.錯(cuò)誤的過(guò)程比正確的結(jié)果更重要。
現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)更關(guān)注過(guò)程的價(jià)值，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的體驗(yàn)和感受。學(xué)生良好的情感態(tài)度和價(jià)值觀的獲得也是一項(xiàng)教學(xué)目標(biāo)，一定程度上，這比知識(shí)和技能的掌握更重要。我知道學(xué)生的結(jié)論是錯(cuò)誤的，但我無(wú)法解釋?zhuān)敲矗瑢?duì)于這個(gè)過(guò)程的思辨和探究是否該停止呢？從知識(shí)習(xí)得的角度說(shuō)，學(xué)生是失敗的，繼續(xù)研究討論錯(cuò)誤的結(jié)論是沒(méi)有必要的。但從另一個(gè)角度來(lái)看，學(xué)生是成功的，因?yàn)樗麄儾粌H參與了數(shù)學(xué)活動(dòng)，獲得了親身體驗(yàn)，而且在正確與錯(cuò)誤的思維交鋒中，迫使他們不斷調(diào)整、完善、重塑頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思維方式。只有經(jīng)過(guò)深入討論研究，真正弄清了錯(cuò)誤的根源所在，才能更深刻地體會(huì)正確之“正”的真正意義。就算反復(fù)考慮后仍無(wú)法解答，留一個(gè)問(wèn)號(hào)在腦子里，隨時(shí)思量，也是一件不錯(cuò)的事情。這個(gè)探究的過(guò)程，就是學(xué)生自我進(jìn)步的過(guò)程。當(dāng)然，這個(gè)討論的過(guò)程如果放在課后小范圍中繼續(xù)進(jìn)行，更能協(xié)調(diào)好班級(jí)整體發(fā)展與個(gè)人發(fā)展的關(guān)系。
2.學(xué)生思維的鍛煉比教師的智慧形象更重要。
教學(xué)真的是一條奇幻旅程，如果沒(méi)有平日里對(duì)他們算法多樣化的“縱容”，他們就會(huì)毫不猶豫地接受書(shū)本上的定論，也就不會(huì)旁生枝節(jié)，搞出這樣一個(gè)至今還令我無(wú)法解釋的問(wèn)題。那么，今天站在課堂上的我依然是一個(gè)學(xué)識(shí)淵博的“不倒問(wèn)”，照這樣的邏輯推理，是我自己給自己制造了麻煩，后悔嗎？
不！不后悔！這件事情確實(shí)讓我有所震動(dòng)。教師之所以有權(quán)威，其中一個(gè)重要的原因是教師在某些方面比學(xué)生知識(shí)淵博，兩者之間知識(shí)相差的距離越大，權(quán)威感就越強(qiáng)，因此對(duì)教師自身業(yè)務(wù)的提高也就提出了更高的要求�，F(xiàn)在學(xué)生獲取知識(shí)的途徑越來(lái)越多，學(xué)習(xí)的速度越來(lái)越快，如果把現(xiàn)在教師和學(xué)生之間的知識(shí)差看作一個(gè)固定的數(shù)，那如何來(lái)減緩這個(gè)差距縮小的速度呢？是控制學(xué)生的學(xué)習(xí)速度，讓自己可以悠閑地吸收新知識(shí)？還是想盡辦法激發(fā)他們體內(nèi)的智慧能量，然后在他們的窮追猛跑下策馬狂奔？我想，我的選擇肯定是后者。
課后，為了這個(gè)問(wèn)題我查看了七八本書(shū)，還請(qǐng)教了教研員和數(shù)學(xué)學(xué)科方面的專(zhuān)家，在他們的指導(dǎo)下，總算對(duì)這個(gè)問(wèn)題有了進(jìn)一步深入的理解:我們一直從面的角度在考慮，無(wú)限分割成面后，把任意一個(gè)面沿對(duì)角線平分，那么三角形x和三角形y的面積相等(如圖四)，因此旋轉(zhuǎn)累加后，三角形x所形成的體與三角形y所形成的體也是體積相同的，因此學(xué)生的“二分之一說(shuō)”似乎是有根據(jù)的。但事實(shí)上，旋轉(zhuǎn)成形和線形疊加成形是不同的。旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)的角度雖然一定，但旋轉(zhuǎn)點(diǎn)離中心點(diǎn)的位置不同，實(shí)際移動(dòng)的距離也是不同的。打個(gè)比方，在旋轉(zhuǎn)面的一條邊上取兩個(gè)點(diǎn)j和k，旋轉(zhuǎn)同樣的角度時(shí)，j所移動(dòng)的距離要明顯的大于k所移動(dòng)的距離（如圖五）。
也就是說(shuō)，在每個(gè)旋轉(zhuǎn)瞬間形成的是中間薄、外端厚，底面是扇形的柱體（如圖六）。把它沿著AEF這個(gè)面分割，三角形x沿AB軸旋轉(zhuǎn)所形成的四面體是ABEF,三角形y沿AB軸旋轉(zhuǎn)所形成的五面體是ACDEF,從體積的角度看，這兩個(gè)部分的底面完全相同，是一個(gè)扇形，但分開(kāi)比較后可以發(fā)現(xiàn)，三角形x沿軸AB旋轉(zhuǎn)所形成的體，以軸AB為高度最大處的厚度（如圖七），而三角形y沿軸AB旋轉(zhuǎn)所形成的體是以弧面CDEF為高度最大處的厚度（如圖八），兩者的體積進(jìn)行比較顯而易見(jiàn)是后者比較大。由此推論，“二分之一說(shuō)”就不能成立了。
如果能證明五面體ACDEF的體積正好是四面體ABEF的兩倍，那倒可以成為圓錐體積“三分之一說(shuō)”的另一種證明方法，可惜弧面的計(jì)算方法是我未曾涉獵的知識(shí)，這次被學(xué)生問(wèn)住開(kāi)始促使我重新審視自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，我所擁有的知識(shí)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠啊！
復(fù)雜問(wèn)題，怎樣深入淺出
學(xué)生期盼的解答終于揭開(kāi)面紗，但這么復(fù)雜的解釋想讓6年級(jí)的學(xué)生接受似乎有點(diǎn)困難，得想個(gè)好方法。
那天我走進(jìn)教室的時(shí)候，手中多了1個(gè)圓形蛋糕。我先借用范托的道具演示了一番，讓學(xué)生清楚感受到形成的是1個(gè)圓柱體，然后拿出蛋糕，“我們來(lái)切一個(gè)面看看”，我從圓心出發(fā)切了1刀，讓學(xué)生想象切面是什么形狀，學(xué)生想到了，是長(zhǎng)方形，只不過(guò)藏在里面。“30個(gè)這樣的長(zhǎng)方形疊加呢？”我拿出了另外的30個(gè)大小相同的長(zhǎng)方形追問(wèn)。“是長(zhǎng)方體。”學(xué)生毫不猶豫地回答，我按他們的意思疊加了一遍，果然是長(zhǎng)方體。接著我不緊不慢地說(shuō)，“如果旋轉(zhuǎn)了一度算一片，旋轉(zhuǎn)30度左右，該切在哪里��？“很多學(xué)生自告奮勇來(lái)切，一塊蛋糕就切下來(lái)了。“觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？”在兩個(gè)物體的比較中學(xué)生很快明白了直線疊加和旋轉(zhuǎn)疊加的不同（如圖九）：直線疊加兩端同時(shí)增厚，而旋轉(zhuǎn)疊加一端增厚，沿軸的一端厚度卻一直沒(méi)有發(fā)生變化。我乘勝追擊,“適合直線疊加的推論就不一定會(huì)適合旋轉(zhuǎn)疊加，因?yàn)橛幸徊糠直换ハ?lsquo;擠’掉了。”說(shuō)的時(shí)候我還特地使勁捏了捏長(zhǎng)方體的一端。有些學(xué)生開(kāi)始醒悟了，小聲地說(shuō)“那就不一定是二分之一了。”
“這就滿(mǎn)足了啊！那我的蛋糕不是浪費(fèi)了嗎？”我故意賣(mài)了個(gè)關(guān)子，學(xué)生頓時(shí)來(lái)了精神。“還有什么？”我拿起切下的那塊蛋糕，“這個(gè)面是長(zhǎng)方形吧？沿對(duì)角線一分是兩個(gè)一模一樣的三角形吧？好，沿這條對(duì)角線把蛋糕切開(kāi)，兩塊一樣大嗎？”學(xué)生中起了爭(zhēng)論，不一會(huì)兒就只剩下一種聲音，當(dāng)?shù)案獗晃矣蒙厦娴姆椒ㄇ虚_(kāi)來(lái)后，學(xué)生終于明白：用面的方法來(lái)思考體，是不周到的。當(dāng)那兩個(gè)他們說(shuō)不出形狀的體真實(shí)地?cái)[在他們面前時(shí)，他們已經(jīng)明白了錯(cuò)誤的原因，那個(gè)我也無(wú)法用他們現(xiàn)在所能理解的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)解釋的原因。
學(xué)生驚嘆的眼神讓我獲得了巨大的滿(mǎn)足，多日來(lái)的辛苦也似乎有了最大的補(bǔ)償。學(xué)然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自省也；知困，然后能自強(qiáng)。從今后，瘋狂旋轉(zhuǎn)的或許不再只是孤獨(dú)的三角形！
