奇與偶，有界與無界，善與惡，左與右，一與眾，.雄與雌，直與曲，正方與長方，亮與暗，動與靜。

　　上面所寫的這些對立概念被兩千多年前的著名的“畢達(dá)哥拉絲學(xué)派”認(rèn)為是整個宇宙的10個對立概念。

　　因此兩千多年以前人們就認(rèn)識到，世界是由許多相互矛盾的事物組成的。你要認(rèn)識這個世界，改造這個世界，就要從這些矛盾的事物入手。既然這是萬物的普遍規(guī)律，那么數(shù)學(xué)也要遵守。下面我們就專門談?wù)勥@個問題。

　　負(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)

　　人們在生活中經(jīng)常會遇到各種相反意義的量。比如,在記帳時有余有虧;在計(jì)算糧倉存米時,有時要記進(jìn)糧食,有時要記出糧食。為了方便，人們就考慮了相反意義的數(shù)來表示。于是人們引入了正負(fù)數(shù)這個概念，把余錢進(jìn)糧食記為正，把虧錢、出糧食記為負(fù)�？梢娬�負(fù)數(shù)是生產(chǎn)實(shí)踐中產(chǎn)生的。

　　據(jù)史料記載，早在兩千多年前,我國就有了正負(fù)數(shù)的概念，掌握了正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則。人們計(jì)算的時候用一些小竹棍擺出各種數(shù)字來進(jìn)行計(jì)算。比如，356擺成|||，3056擺成等等。這些小竹棍叫做“算籌”算籌也可以用骨頭和象牙來制作。

　　我國三國時期的學(xué)者劉徽在建立負(fù)數(shù)的概念上有重大貢獻(xiàn)。劉徽首先給出了正負(fù)數(shù)的定義，他說：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。”意思是說，在計(jì)算過程中遇到具有相反意義的量，要用正數(shù)和負(fù)數(shù)來區(qū)分它們。

　　劉徽第一次給出了正負(fù)區(qū)分正負(fù)數(shù)的方法。他說：“正算赤，負(fù)算黑；否則以邪正為異”意思是說，用紅色的小棍擺出的數(shù)表示正數(shù)，用黑色的小棍擺出的數(shù)表示負(fù)數(shù)；也可以用斜擺的小棍表示負(fù)數(shù)，用正擺的小棍表示正數(shù)。

　　我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》（成書于公元一世紀(jì)）中，最早提出了正負(fù)數(shù)加減法的法則：“正負(fù)數(shù)曰：同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之；其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之。”這里的“名”就是“號”，“除”就是“減”，“相益”、“相除”就是兩數(shù)的絕對值“相加”、“相減”，“無”就是“零”。

　　用現(xiàn)在的話說就是：“正負(fù)數(shù)的加減法則是：同符號兩數(shù)相減，等于其絕對值相減，異號兩數(shù)相減，等于其絕對值相加。零減正數(shù)得負(fù)數(shù)，零減負(fù)數(shù)得正數(shù)。異號兩數(shù)相加，等于其絕對值相減，同號兩數(shù)相加，等于其絕對值相加。零加正數(shù)等于正數(shù)，零加負(fù)數(shù)等于負(fù)數(shù)。”

　　這段關(guān)于正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則的敘述是完全正確的，與現(xiàn)在的法則完全一致！負(fù)數(shù)的引入是我國數(shù)學(xué)家杰出的貢獻(xiàn)之一。

　　用不同顏色的數(shù)表示正負(fù)數(shù)的習(xí)慣，一直保留到現(xiàn)在。現(xiàn)在一般用紅色表示負(fù)數(shù)，報(bào)紙上登載某國經(jīng)濟(jì)上出現(xiàn)赤字，表明支出大于收入，財(cái)政上虧了錢。

　　負(fù)數(shù)是正數(shù)的相反數(shù)。在實(shí)際生活中，我們經(jīng)常用正數(shù)和負(fù)數(shù)來表示意義相反的兩個量。夏天武漢氣溫高達(dá)42°C，你會想到武漢的確象火爐，冬天哈爾濱氣溫-32°C一個負(fù)號讓你感到北方冬天的寒冷。

　　在現(xiàn)今的中小學(xué)教材中，負(fù)數(shù)的引入，是通過算術(shù)運(yùn)算的方法引入的：只需以一個較小的數(shù)減去一個較大的數(shù)，便可以得到一個負(fù)數(shù)。這種引入方法可以在某種特殊的問題情景中給出負(fù)數(shù)的直觀理解。而在古代數(shù)學(xué)中，負(fù)數(shù)常常是在代數(shù)方程的求解過程中產(chǎn)生的。對古代巴比倫的代數(shù)研究發(fā)現(xiàn)，巴比倫人在解方程中沒有提出負(fù)數(shù)根的概念，即不用或未能發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)根的概念。3世紀(jì)的希臘學(xué)者丟番圖的著作中，也只給出了方程的正根。然而，在中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，已較早形成負(fù)數(shù)和相關(guān)的運(yùn)算法則。

　　除《九章算術(shù)》定義有關(guān)正負(fù)運(yùn)算方法外，東漢末年劉烘（公元206年）、宋代揚(yáng)輝（1261年）也論及了正負(fù)數(shù)加減法則，都與九章算術(shù)所說的完全一致。特別值得一提的是，元代朱世杰除了明確給出了正負(fù)數(shù)同號異號的加減法則外，還給出了關(guān)于正負(fù)數(shù)的乘除法則。他在算法啟蒙中

　　負(fù)數(shù)在國外得到認(rèn)識和被承認(rèn)，較之中國要晚得多。在印度，數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多于公元628年才認(rèn)識負(fù)數(shù)可以是二次方程的根。而在歐洲14世紀(jì)最有成就的法國數(shù)學(xué)家丘凱把負(fù)數(shù)說成是荒謬的數(shù)。直到十七世紀(jì)荷蘭人日拉爾（1629年）才首先認(rèn)識和使用負(fù)數(shù)解決幾何問題。

　　與中國古代數(shù)學(xué)家不同，西方數(shù)學(xué)家更多的是研究負(fù)數(shù)存在的合理性。16、17世紀(jì)歐洲大多數(shù)數(shù)學(xué)家不承認(rèn)負(fù)數(shù)是數(shù)。帕斯卡認(rèn)為從0減去4是純粹的胡說。帕斯卡的朋友阿潤德提出一個有趣的說法來反對負(fù)數(shù)，他說（-1）：1=1：（-1），那么較小的數(shù)與較大的數(shù)的比怎么能等于較大的數(shù)與較小的數(shù)比呢？直到1712年，連萊布尼茲也承認(rèn)這種說法合理。英國數(shù)學(xué)家瓦里承認(rèn)負(fù)數(shù)，同時認(rèn)為負(fù)數(shù)小于零而大于無窮大（1655年）。他對此解釋到：因?yàn)閍＞0時，英國著名代數(shù)學(xué)家德·摩根在1831年仍認(rèn)為負(fù)數(shù)是虛構(gòu)的。他用以下的例子說明這一點(diǎn)：“父親56歲，其子29歲。問何時父親年齡將是兒子的二倍？”他列方程56+x=2（29+x），并解得x=-2。他稱此解是荒唐的。當(dāng)然，歐洲18世紀(jì)排斥負(fù)數(shù)的人已經(jīng)不多了。隨著19世紀(jì)整數(shù)理論基礎(chǔ)的建立，負(fù)數(shù)在邏輯上的合理性才真正建立。