師：最近小強熱線里面,劉老漢遇到了一個難題。
（課件出示）我有兩根木料，現(xiàn)在要把它們鋸成同樣長的小木料（小木料要整分米長），不能剩余。每段小木料可以是幾分米長？最長是幾分米？
�。▽W(xué)生獨立思考）
師：你有什么不明白的地方？
生：什么叫整分米長？
師：誰知道整分米長？
生：整分米長就是沒有多余的。
師：還有不明白的么？這個不能剩余是什么意思？
生：不能有浪費的吧。
師：你能不能靜靜想一想，用我們學(xué)過的數(shù)學(xué)知識幫助這個劉老漢解決這個問題。（表揚習(xí)慣好的學(xué)生）
師：獨立地靜靜地思考。
師：很多人都有智慧的結(jié)晶，我們小組內(nèi)輕輕地交流一下，你是怎樣想的？
�。ㄉ〗M討論，師巡視指導(dǎo)）
師：哪個組來向大家匯報一下？
生1：我代表我們組發(fā)言，我們組有三種答案：1、2、4。
師：就三種��？我發(fā)現(xiàn)兩個同學(xué)沒認真在聽，人家智慧的結(jié)晶要認真聽！
生1：12能被1、2、3、4、6、12整除，16能被1、2、4、8、16整除……
師：這么長的一段話，你能聽明白嗎？
生：聽明白了。
師：聽明白了？那你們認為3分米行不行？
生：不行。
師：為什么不行。
生：12分米的那根可以的。16分米的那根就有剩余了。
師：同意嗎？那5分米呢？
生：兩個都不行。
師：通過剛才的學(xué)習(xí)討論，你有什么發(fā)現(xiàn)？
生1：我發(fā)現(xiàn)就是（很難表達的樣子……）
師：很難表達是嗎？你手上東西拿得那么寶貝，是不是可以幫你說明問題。
生1：把16和12的因數(shù)分出來，再找出一樣的因數(shù)
師：聽清楚了么? 在你的草稿紙上找找看,根據(jù)他的意見.找好了馬上舉手。
(生獨立思考)
(展示一學(xué)生的作業(yè))
師：你是什么意思?
生：……公因數(shù)。
師：怎么寫？我覺得公有的公比較好。板書：公因數(shù)。你怎么想到的？
生：就是公有的數(shù)，公共的。
師：誰聽不明白了？
生：就是兩組里面相同的數(shù)就是公因數(shù)。
師：同意么？
生：同意。
師：葛老師有個意見，他這樣的寫法，你們覺得還少點什么？前面應(yīng)該加上什么？
生：加上16的因數(shù)：和12的因數(shù)：。
師：你們的意思就是說是16又是12的公因數(shù)
就可以了。而且16和12的公因數(shù)只有1、2、4三個。剛才我看到那個xx的材料里面用集合圈表示的方式。這種方式表示的話，你們會不會？
師：一起來吧。怎么寫，我們還是聽你說吧？
�。ㄉ鷮�1、2、4，在中間的集合圈）
生：8、16。
師：還有么？1、2、4不寫了？
生：他已經(jīng)寫到中間去了。
師：那這邊呢？
生：12、6、3。
師：沒了？
生：沒了。
師：這樣寫有什么好處？
生：這樣可以看得很清楚。
師：同意么？
生：同意。
師：他使我們很直觀很清楚的看出來，哪些是16和12的公因數(shù)。誰是公因數(shù)，你們理解了沒有。
生：還有一個最大的公因數(shù)4。
師：今天這節(jié)課我們主要來學(xué)習(xí)公因數(shù)和最大公因數(shù)�，F(xiàn)在我們來研究第二個問題。
（出示兩句話：1、2、4是16和12共有的因數(shù)，所以他們是16和12的公因數(shù)。
在這些公因數(shù)中4是最大的公因數(shù)，所以它是16和12的最大公因數(shù)。）
�。ㄉx）
師：我聽陳老師說，我們語文里學(xué)過縮句。你能不能把這兩句也來縮成很簡單的一句話？
師：反過來說，有沒有什么意見？
生：沒有。
�。◣煾鶕�(jù)學(xué)生回答板述：1、2、4是16和12的公因數(shù)，4是16和12的最大公因數(shù)）
師：你現(xiàn)在對這個公因數(shù)和最大公因數(shù)理解了沒有？
生：理解了。
師：下面我們來練一練。不用草稿紙，看大屏幕。（出示12和15、20和5）請你快速判斷，下面這兩組數(shù)中有沒有公因數(shù)2？下面是第一小組的同學(xué)獨領(lǐng)風(fēng)騷。
生：沒有。
師：你來說說為什么？ 同意么？
生：同意。
師：那有沒有公因數(shù)3呢？
生：第一組里面有的，12有3、4、12，15有3、5、15。
師：你怎么這么快看出來，它們都有公因數(shù)3的？
生：一個數(shù)各個數(shù)位的和能被3整除就是3的倍數(shù)。
師：那你們認為第二組就沒有嘍？那第二組有哪些公因數(shù)？
生：有5。
師：我不喜歡說話不完整的同學(xué)，你能不能說完整。
生：20和5里面有公因數(shù)1和5。
師：你們的意見呢？
師：我們的數(shù)學(xué)思考就是要我們深入地想，全面地想，要說完整。 那么，這個20除了我們剛才講的1和5外，還有哪些因數(shù)？
師：我們班通過剛才幫劉老漢解決困難，學(xué)到了新知識。看來，這個助人為樂是利人也利已啊。
師：下面的時間我們主要來研究怎樣求兩個數(shù)的最大公因數(shù)。（出示：18和27的最大公因數(shù)是（））。每一個人你靜靜地想一想，你有幾種不同的方法？
（生獨立思考，師巡視指導(dǎo)）
師：小組內(nèi)交流一下，你們組有幾種不同的方法。
�。ㄐ〗M內(nèi)交流）
生1：
生2：我覺得他可以用剛才學(xué)過的集合圈來表示。
生3：我的這種方法有限制。
師：他給人啟發(fā)。 你也有啟發(fā)了，你來說。
生4：可以分解質(zhì)因數(shù)。
師：什么是分解質(zhì)因數(shù)。
�。ㄕ故驹撋淖鳂I(yè)）（生自己介紹）
師：××同學(xué)，這個方法你是怎么想出來的。
師：這種分解質(zhì)因數(shù)來求兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)在我們?nèi)私贪娴慕滩闹惺遣蛔饕蟮�。在以前的老教材里是非常強調(diào)的。××同學(xué)一不小心就發(fā)現(xiàn)了科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理，真了不起。如果說對他的方法感興趣的話，你課后可以跟他一起去研究研究。這些方法都是可以來幫助我們來求出他們的最大公因數(shù)。你掌握了沒有？會不會求？
師：下面比一比，我們六個小組來比一比完成信封里的作業(yè)紙。第一題，預(yù)備開始。
�。ㄐ〗M開展競賽）
師：做好馬上舉手�？辞宄}目，不要一昧求快。
師：看來第一輪的比賽，第一組和第五組表現(xiàn)不錯。繼續(xù)第二題開始。
�。ㄉ毩⑼瓿傻诙}）
師：比一比誰做得又快，又對，又好。我們請第二組剛才表現(xiàn)得不是很好，派一個代表來說。
（生匯報交流）
師：請仔細觀察每個組的兩個自然數(shù)及他們的最大公因數(shù)。你發(fā)現(xiàn)了什么？
生：兩個自然數(shù)是倍數(shù)關(guān)系的話，小的那個就是最大公因數(shù)。
師：他說什么了？
師：舉例證明……。
生2：比如16和32。
生3：如果兩個數(shù)有一個是質(zhì)數(shù)的話，最大公因數(shù)就是1。
生4：不一定。如3和15。
生5：2和4。
師：還沒成熟。下面我還有個問題：為什么8和9的最大公因數(shù)是1呢？
生6：兩個數(shù)一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)。
師：一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)而且是相鄰最大公因數(shù)是1。（生自主討論）
師：舉例證明。
生7：有一個數(shù)是1的話，他的最大公因數(shù)就是1。
生8：最大的公因數(shù)一定在兩個數(shù)的相差之內(nèi)。
師：相差之內(nèi)是什么意思？
生8：相差之內(nèi)就是他們的差不可能大于其中的一個數(shù)。
師：有什么證據(jù)么？
生8：你隨便拿兩個數(shù)。
生9：我反對。21和4呢？
生8：最大公因數(shù)是1，21－4是17，1在17之內(nèi)的。
師：對的。我們把這個問題，有興趣的話可以拿到以后去研究。這個問題很值得我們探討。像這樣的兩個自然數(shù)他們的最大公因數(shù)是1，因數(shù)只有1。像這樣的兩個數(shù)，我們把他叫做互質(zhì)數(shù)。像這樣的互質(zhì)數(shù)，你們能不能舉個例子？
生：101、102。
師：你這個是相鄰的兩個自然數(shù)，可以找其他的么？
生：兩個數(shù)都是質(zhì)數(shù)就可以了。
師：舉個例子。不是兩個質(zhì)數(shù)的可以么，一個質(zhì)數(shù)，一個合數(shù)行不行？
生：2和9。
師：兩個合數(shù)行不行？像這樣的研究你會發(fā)現(xiàn)是很有意思的，對我們以后要學(xué)習(xí)的知識起到很大的幫助。
師：學(xué)到這里，你覺得這堂課有什么收獲。誰沒有發(fā)言的？
生：知道了什么是公因數(shù)和最大公因數(shù)。
師：那你說什么是公因數(shù)和最大公因數(shù)。
師：繼續(xù)往下做。（出示思考題：我們家的貯藏室長18dm，寬12 dm，如果要用邊長是整分米數(shù)的正方形地磚把貯藏室的地面鋪滿（使用的磚都是整塊）。你認為正方形地磚的邊長可以是（ ）分米？其中邊長最大的是（ ）分米？）。
�。ㄉ鷧R報）
師：如果說我們剛才研究的是兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)，課后你們還可以去研究一下三個自然數(shù)的最大公因數(shù)。
