江澤涵于1902年10月6日出生于安徽省旌德縣。父親江世才，幼年當過學徒，后經商。母胡氏。家中薄有田產，供子女讀書。江澤涵的家鄉(xiāng)江村是一個偏僻山村。童年時他進過私塾，后又上過鄉(xiāng)村小學。他奮發(fā)好學，學業(yè)突出。1919年初，他的堂姐夫、學者胡適回鄉(xiāng)探親，他遂跟胡適來到北方求學。當年夏天考入天津南開中學二年級，并且只用了三年時間，就修完了中學的全部課程。1922年，江澤涵升入南開大學數(shù)學系，開始了他漫長的數(shù)學生涯。在南開大學，他幸遇中國近代數(shù)學的先驅，數(shù)學家和教育家姜立夫教授，并從此師從姜立夫先生。1926年大學畢業(yè)后，姜立夫帶他去廈門大學數(shù)學系，讓他當自己的助教。

　　在姜立夫的鼓勵和督促下，江澤涵參加了1927年夏清華大學留美�？粕�的考試，考取了那年唯一的學數(shù)學的名額，并于當年赴美，在哈佛大學數(shù)學系攻讀博士學位。他刻苦努力，第二年就贏得了哈佛研究院數(shù)學系“約翰·哈佛學侶”的榮譽稱號。他的博士論文導師是數(shù)學家H．M．莫爾斯（Morse）。那時，莫爾斯的臨界點理論剛問世不久。該理論深刻揭示了拓撲學在分析學中的重要作用，引起江澤涵對拓撲學產生濃厚興趣，從此他專心致力于這門新興的學科。1930年他獲得哈佛大學博士學位，隨后到普林斯頓大學數(shù)學系，做S．萊夫謝茨（Lefschetz）的研究助教，跟這位拓撲學大師研究不動點理論。

　　在幾年的留學生活中，江澤涵從兩位數(shù)學大師那里學到了當時最前沿的數(shù)學理論。1931年，北京大學理學院新任院長劉樹杞先生經姜立夫先生推薦，邀請江澤涵到北京大學任教。江澤涵把這看作實現(xiàn)自己抱負的機會。當時，萊夫謝茨也曾勸他留下來繼續(xù)做研究助教，但他決定學習姜立夫先生學成回國的榜樣，謝絕了萊夫謝茨的挽留，對他說：“現(xiàn)在國內需要我回去教學，我不能再留下了。”當年夏天他回國，到北京大學任數(shù)學系教授。

　　這是江澤涵第一次獨立做教學工作，并且又擔負了主要的教學任務。他全身心地投入教學工作。1934年起，他擔任數(shù)學系主任。1936年，他第二次去美國，在普林斯頓高等研究所進修一年。1937年他回國時，抗日戰(zhàn)爭已經爆發(fā)，北京大學已遷往昆明，與清華大學、南開大學兩校組成西南聯(lián)合大學。江澤涵也舉家輾轉來到昆明，在西南聯(lián)合大學數(shù)學系任教，還兼任過西南聯(lián)合大學數(shù)學系主任。1941年，國立中央研究院設立數(shù)學研究所籌備處，附設在西南聯(lián)合大學校內。江澤涵被聘為兼任研究員。

　　1946年夏，江澤涵又隨北京大學遷回北平。那時北京大學理學院院長饒毓泰教授出國訪問，江澤涵擔任了一年代理院長。不久，他也被教育部選派出國進修。本擬再去普林斯頓高等研究所，1947年夏臨行前在姜立夫和陳省身的勸說下，他改去了瑞士蘇黎世高等工業(yè)學院，跟代數(shù)拓撲學家H．霍普夫（Hopf）教授進修了兩年。1949年，人民解放事業(yè)的迅猛發(fā)展使身居異國他鄉(xiāng)的江澤涵十分高興，他克服了重重困難，于8月8日回到解放了的北平。

　　中華人民共和國成立以后，江澤涵繼續(xù)在北京大學任教。1952年院系調整中，北京大學、清華大學和燕京大學三所大學的數(shù)學系合并，成立了北京大學數(shù)學力學系，由三位老系主任中最年輕者，清華大學的段學復任新主任。

　　江澤涵是中國數(shù)學會的創(chuàng)始人之一，從1935年該會成立時起，他就是副理事長。中華人民共和國成立后，他仍擔任副理事長職務，直到1983年改任名譽理事長；他從1962年起任北京數(shù)學會理事長，1981年改任名譽理事長。中華人民共和國成立之初，他曾擔任中國科學院數(shù)學研究所籌備處副主任，為北京大學數(shù)學系與中國科學院數(shù)學所的密切合作和相互支持的良好關系奠定了基礎。1955年起他任中國科學院數(shù)理學部委員。

　　江澤涵是第3至第6屆中國政治協(xié)商會議委員。1952年他加入了中國民主同盟，曾任民盟中央委員。

　　拓撲學：哥尼斯堡七橋問題

　　江澤涵是中國代數(shù)拓撲學的開拓者。他在代數(shù)拓撲學發(fā)展的早期就開始從事研究。那時，雖然莫爾斯理論等重要結果已經出現(xiàn)，但許多重要而有趣的問題還有待研究，拓撲學在分析學中的應用也有待深入。江澤涵研究了代數(shù)拓撲學的許多重要課題，在莫爾斯臨界點理論、復迭空間、纖維叢以及不動點理論等方面都作出了貢獻。

　　江澤涵最早開展的是臨界點理論的研究。在做博士論文及以后的研究工作中，他把莫爾斯的臨界點理論直接應用到分析學中，得到調和函數(shù)的許多饒有興味的結果。如他證明在沒有退化臨界點的情況下，3維空間中總質量不為零的s個質點的牛頓位勢函數(shù)至少有s—1個臨界點；他在總質量為正、負和零的各種情況下，系統(tǒng)地研究了各種分布類型的牛頓函數(shù)的臨界點的組成與定義區(qū)域的拓撲特征之間的關系。古典分析學中有這樣一個定理：若R是平面上單連通的帶邊區(qū)域，則R上的格林函數(shù)在R內部沒有臨界點。江澤涵用莫爾斯理論研究了多連通的情形和3維的情形。他對于一個同胚于球體的區(qū)域，證明該區(qū)域上以一個內點為極點的格林函數(shù)在它的內部存在臨界點。對于平面上有光滑邊界的m重連通區(qū)域R，他證明R上以任一內點為極點的格林函數(shù)在R內部的臨界點的重數(shù)之和等于m－1。

　　在抗戰(zhàn)時期到50年代，江澤涵的主要工作是在復迭空間和纖維叢方面。他研究了不可定向流形的可定向二葉復迭空間，證明了該復迭空間存在一個沒有不動點且周期為2的反定向自同胚等結果。他計算了n維球面的有向與無向線素流形的同調群；又和學生們一起計算了上同調，以及球面上其它纖維叢的同調群。

　　江澤涵最重要的工作是在不動點理論方面的研究。不動點理論是20世紀數(shù)學發(fā)展中的重大課題之一。早在30年代初他就跟著萊夫謝茨研究這個課題。那時，萊夫謝茨已發(fā)表他的結果，給出了一個用空間和映射的拓撲性質判別不動點存在性的方法。不久，J．尼爾森（Nielsen）又提出了不動點類的概念，并用它估算虧格大于1的可定向閉曲面上的自同胚的不動點個數(shù)。尼爾森的工作比萊夫謝茨進了一步，但他用了雙曲幾何的特殊工具，因此他的方法不能用到一般的多面體上。江澤涵用復迭空間來替代雙曲幾何，并取得成功，為尼爾森理論的推廣打下了基礎。60年代初，江澤涵再次在國內倡導開展不動點理論的研究。那時，尼爾森理論雖然已被推廣到緊致多面體上，自同胚也已推廣為任何自映射，但由于尼爾森計算的困難等障礙，國際上對它的研究已多年處于停滯不前的局面。江澤涵和他的學生姜伯駒、石根華在多方面開展研究。他先和姜伯駒一起提出自映射的倫型概念，證明尼爾森數(shù)具有倫型不變性。在他的指導下，姜伯駒和石根華在尼爾森數(shù)的計算和尼爾森數(shù)的實現(xiàn)問題上取得了重大突破。他們的工作打破了50年來國際上這個課題研究工作長期停滯的狀態(tài)，從而在國際上得到很高的評價，被稱為“目前國際上關于不動點理論的最新成果”。同行稱他們?yōu)橥負鋵W界的一個新的“中國學派”。美國數(shù)學家R．布朗（Brown）在他的一本專著《萊夫謝茨不動點定理》中專門用兩章的篇幅介紹了他們的結果。1978年，江澤涵和姜伯駒、石根華一起，以他們在不動點理論方面的出色工作獲得了中國科學大會獎。

　　70年代初，江澤涵受到布朗的專著的激勵，決心要實現(xiàn)自己多年的宿愿：用自己的觀點和方法來總結中國數(shù)學家自己的工作。在“文化大革命”后期的艱難環(huán)境里，他經過數(shù)年努力，寫出了專著《不動點類理論》，并于1979年出版。該書著重幾何直觀，從特例出發(fā)引出一般理論，由淺入深地展現(xiàn)出不動點類理論的核心問題。它成功地實現(xiàn)了江澤涵的初衷：為初具拓撲基礎的青年讀者鋪平了學習不動點理論的道路，從而推動了中國不動點理論的研究。以后，江澤涵又把這本專著譯成英文，并于1989年由科學出版社與德國施普林格出版社聯(lián)合出版。