101．空間填充

　　設h為l與b的最大公因數(shù)，則關系式為：

　　d= l +b-h

　　例如，當l =15，b=10，h=5時，與對角線相交的方格數(shù)目為：

　　15+10-5=20

103．分割平面的直線

　　列表之后就能很明顯地看出r的數(shù)目之間的差為1、2、3、4、5，以此類推．不難推導出當n=10時，r=56．n=100時，r的值也能用類似的方法導出，但如果用公式計算，得出5 051，自然是容易得多．

　　S=1+2+3+4+…+(n-1)+n

　　即 S=n+(n-1)+(n-2)+…+1(將次序顛倒)

　　因此 2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)=n(n+1)

　　下一題將探討用差分推算數(shù)列的技巧，這種技巧在研究由P個平面分割空間，所分割成區(qū)域數(shù)目的極大值時也很有用．

　　分割平面在4個以上時，就很難用“看”的方法去了解實際狀況，這時差分技巧就派上用場了：

　　第十項為120．

　　原始數(shù)列的下兩項為62與87．

　　(5)67 (6)96 (7)238 (8)275

105．從點陣模式到數(shù)字模式

　　數(shù)列(1)的第一百項為400．

　　數(shù)列(2)的第一百項等于

　　1+4+8+12+16+…+396

　　=1+4(1+2+3+4+…+99)

　　=1+2(1+2+3+…+97+98+99+99+98+97+…+3+2+1)

　　=1+2(100+100+100+…+100+100+100)

　　=1+(2×99×100)

　　=19801

　　前10個奇數(shù)的和是10²=100．

　　奇數(shù)1、3、5、…39的和為20²=400，因為39是第二十個奇數(shù)．

　　在60與100之間的奇數(shù)和，就等于1至99的奇數(shù)和減去1至59的奇數(shù)和．99是第五十個奇數(shù)，59是第三十個奇數(shù)，故所求的和為50²-30²=1600．

　　你可能認為在8×8釘板上，所能作出的不同形狀正方形的數(shù)目為19，但其實你忽略了在作對角線正方形時，有一個是以3、4、5為3邊的直角三角形為基礎的正方形，而這個正方形的邊長為5，所以與6×6釘板的邊界正方形重疊．

　　正方形數(shù)目N與釘板一邊的釘子數(shù)n的關系如下：

　　在8×8釘板上所作成的正方形面積為：

　　觀察其間的差，似乎看不出任何可以使數(shù)列繼續(xù)下去的明顯模式．

　　(1)有17條對角線．

　　(2)四邊形、五邊形分別有2條、5條對角線．

　　(n-3)條對角線，共有n個頂點，故得n(n-3)，但因為每一條對角線都重復計算了兩次，故此數(shù)目應減半．

　　(3)2條，3條，4條．

　　一般而言，在n邊形中，可以畫出n-3條互不交的對角線．

　　圖1與圖2是兩種分割六邊形的不同方法．

　　圖3～圖5是分割七邊形的其他3種方法．

　　1+5+1+2+2+2+2=15

　　在各種情況中，七邊形被分割后都形成5個三角形，每一個三角形都包含3個頂點，所以在使用的數(shù)字記錄系統(tǒng)中，每一個三角形都被計算了3次．因此各種情況的數(shù)字和都為5×3=15．

　　顯然多邊形的邊愈多，也就有愈多種不同的分割方法．但作者至今尚未找到一種公式，可以預測對已知邊數(shù)的多邊形進行分割時，不同分割方法的數(shù)目．

　　“跳蛙”最少需移動15次．

　　將7個洞由左至右編號，則15次移動的方法如下所示，其中的數(shù)字代表空的洞：

　　3 5 6 4 2 1 3 5 7 6 4 2 3 5 4

　　策略為盡量用跳的方式，在此解中共跳了9次．

　　將x個黑色棋子與y個紅色棋子互換位置，最少要移動xy+x+y次，其中xy為“蛙跳”的次數(shù)．

　　最少需要3種顏色，因為有3個面交于立方體的頂點，這3個面必須為不同顏色，所以即使相對的面顏色相同，也沒有相鄰的面為相同顏色．

　　如果有A、B、C、D4種顏色可用，每一次取3種顏色的組合有4種，即ABC、ABD、ACD與BCD，而且每一種組合中只有一種將立方體著色的方法．所有其他的方法都會用到所有的4種顏色．如果沒有立方體模型，要整理出這些著色方法并不容易．要注意的是，除了兩個相鄰面必須不同色之外，相同顏色的面也不能超過兩個．

　　因此要用4種顏色涂6個面，就必須有兩種顏色用兩次，另外兩種顏色各使用一次．如此就有6組解答，如圖所示．

　　在每一種情況中，只出現(xiàn)一次的兩種顏色，必定是在相對的面．這6組解答，加上前面只用3種顏色的4組解答，所以將立方體著色共有10種不同的方法．