在證明某數(shù)是否為質(zhì)數(shù)時(shí)，最基本的問題就是：確定某數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的唯一方法，就是找出其因數(shù)．長久以來，人們一直想找出表示質(zhì)數(shù)的“公式”，但都徒勞無功．下面介紹一些前人努力的結(jié)果．
(1)考慮下列的質(zhì)數(shù)序列及其差分：
只要繼續(xù)生成質(zhì)數(shù)，此序列就能持續(xù)下去．
差分的形式顯示出此序列可以下列二次式導(dǎo)出：
n2+n+11
(2)以不同的n代入，求下列二次式的值：
n2+n+41
并檢驗(yàn)得出的值是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)(除1與其本身之外還有其他因數(shù))．
這是一個(gè)相當(dāng)了不起的公式，因?yàn)閺?至80，除了7個(gè)數(shù)之外，其他由它所生成的數(shù)都是質(zhì)數(shù)．請問使n2+n+41不為質(zhì)數(shù)的第一個(gè)n值是多少？
(3)更好的公式為：
n2-79n+1601
因?yàn)樗鼘τ谒行∮诨虻扔?0的整數(shù)都能生成質(zhì)數(shù)．
(4)使下式不為質(zhì)數(shù)的最小n值是多少？
2n2+29
(5)1640年，數(shù)學(xué)家費(fèi)瑪(Fermat)以為自己發(fā)現(xiàn)了可以生成質(zhì)數(shù)的公式：
22n+1
試求當(dāng)n=0，1，2，3，4時(shí)，由此公式所得出的數(shù)．有些數(shù)為質(zhì)數(shù)．
之后經(jīng)過了一百多年，才由數(shù)學(xué)家歐拉證明：225+1有兩個(gè)因數(shù)：641與6700417．
