51.造出6個質(zhì)數(shù)
此題的解雖然并不具重要性,但此題卻引導(dǎo)我們進(jìn)行一些有益的思考.以下4組解是不包含運(yùn)算的情形:
2 3 5 47 61 89
2 3 5 41 67 89
2 3 5 7 89 461
2 3 5 7 89 641
若運(yùn)用下列的計(jì)算去組合,則可找到更多的解:
3+4=7,1+6=7,1+4=5,4+7=11,6+7=13,
52.交通工程
最大的車流量為每小時2000輛.
可以沿著網(wǎng)絡(luò)“追蹤”汽車,直到超過了路段的容量為止.如果運(yùn)用切割的觀念,可輕易地完成各步驟.
先看一下城鎮(zhèn)道路地圖上所畫的虛線,任一條虛線都把城鎮(zhèn)切割成兩個部分.考慮截線q,它通過4條道路,而其總交通容量為每小時2100輛(21=4+3+8+6).這意味著在q的兩側(cè)可容納的最大交通流量.同理,s將城鎮(zhèn)切割成兩部分,而其所經(jīng)過的道路的最大容量為每小時2700輛.我們檢視一下網(wǎng)絡(luò),并且將切割后的車容量標(biāo)示出來,如圖1所示的p、q、r、s與t,如此可以迅速地看出道路的瓶頸所在以及多余的容量.此道路網(wǎng)絡(luò)的最小切割為r,其容量為每小時2000輛,這也同時指出了由A至B最大車流量為每小時2000輛.
至此只回答了最大流量的問題,還未解決交通路線分配的問題.圖2所示的并非唯一解,你可以把一些箭頭和數(shù)字標(biāo)在網(wǎng)絡(luò)上代表車流方向和車流量來構(gòu)造出一個解.要注意,通過最小切割的道路必須為全滿的容量.
在此所示的解是經(jīng)過謹(jǐn)慎選擇后得到的,使得沒有車輛通過的道路數(shù)目為最多,即圖中4條標(biāo)為0的虛線.
在理論上4條道路可以徒步經(jīng)過,或至少可避免交通問題.
要增加通過城鎮(zhèn)的交通流量,就必須增加最短切割所通過的道路中某一段的容量.其最佳解可能為增加XY(如上圖所示)的容量,由每小時400輛增加至600輛,這會使q與r切割分別改變?yōu)?/font>23與22,且正好等于p、t切割之值.這時的最大流量將增為每小時2200輛,但代價是ZT與TB將會有車輛通行,這就會限制徒步路段的數(shù)目.
53.船桅的距離
要找到兩船桅的距離是不可能的,不論船桅之間的距離是多少,兩船桅的交點(diǎn)到船體的高度恒為2.4m.
由圖所示,可利用相似三角形得出:
將(1)式除以(2)式得出:
現(xiàn)在由(1)式得:
另一種可顯示船桅間的距離與h高度無關(guān)的方法是移動圖中6m高的船桅,觀察一下是否會影響h的值.
54.9個棋子的舞蹈
這個游戲有時就直接稱為“The Mill”.
現(xiàn)在有一個類似的游戲名為肯辛頓(Kensington),它是由泰勒(Brian Taylor)與福布斯(Peter Forbes)在1979年所發(fā)明的.這個游戲的棋盤由一些相連的六邊形、正方形與三角形所構(gòu)成.在此游戲中,當(dāng)3個棋子形成一個三角形時就形成一個mill,這時便可將對手的棋子移至棋盤中任意的空位上.此游戲非常吸引人,值得一玩.
55.矩陣演習(xí)
此題融合了矩陣代數(shù)、幾何變換與群論的概念.在某種程度上,它是相當(dāng)復(fù)雜的,但將之視為24階,取算術(shù)模5的矩陣來研究,則非常有趣且富于啟發(fā)性.