26．一招三式
考慮第一個(gè)游戲．由1至9，總數(shù)為15的3個(gè)數(shù)的組合共有8種，也許你已經(jīng)想到它與標(biāo)準(zhǔn)的3×3幻方的關(guān)系(圖1)．
事實(shí)上，幻方中行、列與對(duì)角線的各組數(shù)字不但是所有可能的致勝組合，同時(shí)也顯示出與圈叉(井字)游戲的關(guān)聯(lián)(圖2)．
每一種致勝的組合都可對(duì)應(yīng)于圈又游戲中致勝的線，所以運(yùn)用此種策略將使你在數(shù)字游戲中掌握更多的機(jī)會(huì)．玩圈叉游戲時(shí)，先玩的人通常會(huì)把記號(hào)畫在中央的方格內(nèi)，因?yàn)檫@個(gè)位置所控制的直線比其他任何位置都要多．
同樣地，玩數(shù)字游戲時(shí)，先玩的人通常選5，因?yàn)橹聞俚臋C(jī)會(huì)較大．
利用這種與幻方的關(guān)聯(lián)性，你也可以研究其他的數(shù)字組合問(wèn)題．以下列出其中4種(圖3～圖6)，可參見(jiàn)《數(shù)學(xué)樂(lè)園·茅塞頓開(kāi)》中的第142題．也可嘗試一下負(fù)數(shù)！
你現(xiàn)在應(yīng)該能從第二個(gè)游戲中看出個(gè)所以然了．
這些單詞都是經(jīng)過(guò)精挑細(xì)選的，以使其能配合3×3陣列，而在各行、列或?qū)蔷�上的單詞中，都包含著其他地方并不出現(xiàn)的共同字母．所以，單詞的致勝組合同樣對(duì)應(yīng)至圈叉游戲中致勝的線．MEAT為關(guān)鍵詞，且有4種贏的組合；位于角落的SARAH、BRED、EELS與BALL為次重要的詞，各有3種致勝組合；其余4個(gè)詞較不重要，只在2種組合中出現(xiàn)(見(jiàn)圖7)．了解了這些，這個(gè)游戲就可以類似圈叉游戲的方式玩了．
這個(gè)游戲其實(shí)是由加拿大數(shù)學(xué)家莫瑟(Lee Moser)設(shè)計(jì)的，稱為“HOT”，這是他在游戲中所用的一個(gè)詞．
要求能力較強(qiáng)的一組兒童自行設(shè)計(jì)具有相同性質(zhì)的9個(gè)單詞，這是一個(gè)具有相當(dāng)教育意義的題目．
不過(guò)也不一定要限于文字．一般，只需要8種足以區(qū)別的符號(hào)即可，每種符號(hào)對(duì)應(yīng)于每一行、每一列，以及對(duì)角線．用如此9張卡片就可以設(shè)計(jì)出將這些符號(hào)置于方格中的形式，參見(jiàn)圖8所示．
如果你頗具有藝術(shù)天份，那么這些符號(hào)也可以是某種圖案．不過(guò)無(wú)論如何，這些游戲基本上都是一種圈叉游戲．
現(xiàn)在討論第三種游戲．當(dāng)你了解到車道的編號(hào)是從1到9，與第一個(gè)游戲相符時(shí)，這些車道編號(hào)就特別有用．考慮5號(hào)車道，將其著色，即可連接A、B、C與D4個(gè)城鎮(zhèn)．仔細(xì)看地圖，可以看出每個(gè)城鎮(zhèn)都剛好有3條車道相交(或經(jīng)過(guò))，所以控制5號(hào)車道的人就能避免對(duì)手將這4個(gè)城鎮(zhèn)中任何一個(gè)的3條車道著色．這就等于是在圈叉游戲中，在中央的方格內(nèi)畫上記號(hào)即阻擋了4條線的情形．同理，連接3個(gè)城鎮(zhèn)的2、8、4及6號(hào)車道，相當(dāng)于圈叉游戲中的4個(gè)角落，而1、3、7與9號(hào)車道只連接兩個(gè)城鎮(zhèn)，則相當(dāng)于“井”字四邊中間的方格．
圈叉游戲的“井”字與塞車游戲的地圖之間的對(duì)偶性，可通過(guò)圖9和圖10做比較．圖9相當(dāng)于“井”字(每一個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于各方格的中點(diǎn))，因此共有8條線通過(guò)9點(diǎn)，而每一條線上有3點(diǎn)．圖10則是塞車地圖的拓?fù)鋱D形，共有8點(diǎn)，位于9條線上，且每一點(diǎn)都有3條線通過(guò)．兩個(gè)圖形都做了精確的標(biāo)示，以顯示兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系．例如，s線上的A、D與G點(diǎn)即對(duì)應(yīng)于通過(guò)S點(diǎn)的a、d與g線．
數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是要在看似完全不同的狀況中探究潛在的結(jié)構(gòu)而解析出相似的部分，因此分析這些游戲有助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思考能力．
27．勾股定理再探
大部分的中學(xué)教師都熟知不只一種勾股定理的證明方法，但他們或許并不知道還有許多有趣又巧妙的方法與步驟．本題所介紹的方法當(dāng)然不是所有的方法，但它們卻都意味深長(zhǎng)．
盧米斯(Elisha Scott Loomis)所著的《勾股定理證明》(ThePythagorean Proposition)一書在1927年出版，書中共提出250種證明方法，該書由英國(guó)全國(guó)教師協(xié)會(huì)于1968年再版．
28．馬爾他十字機(jī)制
作者做的模型已流行多年，不難理解，模型愈大，愈容易制作．
在作者的模型中，圓盤D的直徑大約為14cm，且機(jī)械裝置被安裝在硬板上．
在第15題中可以看到一些其他的機(jī)械裝置．
29．旋轉(zhuǎn)式泵的幾何學(xué)
對(duì)許多小孩子而言，機(jī)械裝置的研究比抽象的運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)更具體直觀，但其實(shí)兩者是互相關(guān)聯(lián)的．
30．月歷的排列
本題目可用來(lái)練習(xí)算術(shù)、圖案識(shí)別與簡(jiǎn)單代數(shù)．
當(dāng)總和為57時(shí)，所表示的日期為：
如果有5個(gè)日期在一列中，其正中央的數(shù)字為D，則這5個(gè)日期分別為
D－14，D－7，D， D＋7，D＋14
其總和為5D．所以只要把總和除以5，然后再加減7、加減14即可．
當(dāng)總和為85時(shí)，D＝17，故對(duì)應(yīng)于月歷上的最后一列．
如果一列中的第一個(gè)數(shù)字是6，則第五個(gè)數(shù)字為6＋7＋7＋7＋7＝34，但一個(gè)月不可能有34天．
假設(shè)在一個(gè)含有4個(gè)日期的列中第一個(gè)數(shù)字為F，則這4個(gè)日期分別為：
F，F＋7，F＋14，F＋21
故其總和為：
T＝4F＋42
所以只要先將總和減去42，然后除以4，就可得到F，再將F分別加上7、14、21，即可得出其余的日期．
十字形與H形的日期形式為：
這兩個(gè)圖形內(nèi)的日期總和分別為5C與7C，所以若已給定日期總和，很容易就能得出C，然后再推算出其他的日期．
所以此方陣對(duì)角線上數(shù)字的乘積分別為：
D(D＋8)=D2＋8D，(D＋7)(D＋1)＝D2＋8D＋7
很顯然，兩者之間的差為7．此種結(jié)論可通過(guò)適當(dāng)?shù)幕顒?dòng)設(shè)計(jì)，讓孩子自己去發(fā)現(xiàn)．
在3×3方陣中，對(duì)角線的數(shù)字和、中間行與中間列的數(shù)字和皆為3C，其中C為正中央的數(shù)字．此方陣并非幻方，因?yàn)槠渌小⒘械暮透鞑幌嗤�，它們是�?/font>
3C－21，3C－3，3C＋3，3C＋21
