1．三維圈叉游戲

　　這是一個(gè)培養(yǎng)兒童形成空間概念的極佳游戲．也可以在紙上畫出4×4的方格以代表4層棋盤，而用籌碼來(lái)玩，但除非是最聰明的兒童，否則這樣玩是非常困難的．

　　角落中的棋子可控制7條直線．

　　位于邊緣的棋子可控制4條直線．

　　位于上層或下層中央4個(gè)洞內(nèi)的任何一個(gè)棋子可控制4條直線．

　　位于中間兩層中央4個(gè)洞內(nèi)的任何一個(gè)棋子可控制7條直線．

　　4個(gè)棋子共有76條可能連成的直線．在每一層，與邊平行的直線有8條，再加上2條對(duì)角線，所以每一層水平的直線就有10條，4層總共就有40條．還有16條垂直線，4條長(zhǎng)對(duì)角線，以及在8個(gè)垂直面中，每個(gè)面上的2條對(duì)角線．

　　能擋住所有線的最少棋子數(shù)應(yīng)該是19．

　　在任何一層，所有的水平線都可以用如圖1所示的兩種方式之一加以阻擋．在第一種方式中棋子的排列呈對(duì)稱形，看起來(lái)很好用，其實(shí)功效不大．第二種方式只要能恰當(dāng)?shù)丶右赃\(yùn)用，則在每一層除了3條長(zhǎng)對(duì)角線之外，可以擋住所有線；然后再加3個(gè)棋子以阻擋長(zhǎng)對(duì)角線，即得出19的總數(shù)(圖2)．但這種解答缺乏經(jīng)常在此種問題中可以找到的對(duì)稱性，所以希望讀者能夠找到更令人滿意的答案，甚至找到使用更少棋子的解答．

　　無(wú)法拼出更小的正方形．顯然不可能拼出2×2的正方形，面積為9平方單位的3×3正方形也不可能由面積為4平方單位的形狀組合而成．

　　下面的圖中組合出5×4、6×4、7×4、8×4與9×4的長(zhǎng)方形．從前3個(gè)圖可以看出如何從一個(gè)解推演出另一個(gè)解，而從8×4的長(zhǎng)方形中則可以看出要利用到180°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱．這些解都不是唯一解．例如，將5×4的解放在4×4的解的旁邊，就可以得到另一種9×4的解．當(dāng)n≥4時(shí)，所有n×4的長(zhǎng)方形都是可能拼出來(lái)的，我們很容易就可看出，這可以將上述已知的解組合在一起而得到．由于產(chǎn)品形狀的面積為4平方單位，故只需要考慮面積為4n平方單位的形狀，這就排除了拼出5×3與6×5的長(zhǎng)方形，以及面積為210平方單位長(zhǎng)方形的可能性．

　　正八邊形有8條對(duì)稱線，4條經(jīng)過(guò)相對(duì)的頂點(diǎn)，4條經(jīng)過(guò)對(duì)邊的中點(diǎn)．

　　分割謎題的解答如圖所示．作第二個(gè)圖形時(shí)所用的65°角是個(gè)很實(shí)用的近似值，讀者可以求出精確的角度．

　　圖1說(shuō)明如何將正方形的鑲嵌圖案置于十字形的鑲嵌圖案之上，從而得到希臘十字形的第二種分割方法．