泰勒斯在數(shù)學(xué)方面的劃時(shí)代貢獻(xiàn)是開(kāi)始引入了命題證明的思想．命題的證明，就是借助一些公理或真實(shí)性業(yè)經(jīng)確定的命題來(lái)論證某一命題真實(shí)性的思想過(guò)程．它標(biāo)志著人們對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)從經(jīng)驗(yàn)上升到理論．這在數(shù)學(xué)史上是一次不尋常的飛躍．在數(shù)學(xué)中引入邏輯證明，它的重要意義可以從下面這幾個(gè)方面看出來(lái)：一、保證命題的正確性，使理論立于不敗之地；二、揭露各定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，使數(shù)學(xué)構(gòu)成一個(gè)嚴(yán)密的體系，為進(jìn)一步發(fā)展打下基礎(chǔ)；三、使數(shù)學(xué)命題具有充分的說(shuō)服力，令人深信不疑．證明命題是希臘幾何學(xué)的基本精神，而泰勒斯是希臘幾何學(xué)的先驅(qū)．

　　歐德莫斯(Eudemus，約公元前335年)有資料可查的第一個(gè)科學(xué)史家，曾著《算術(shù)史》、《幾何學(xué)史》、《天文學(xué)史》，可惜均已失傳．普羅克洛斯(Proclus)是雅典柏拉圖學(xué)園晚期的導(dǎo)師，公元450年左右，給歐幾里得《幾何原本》卷Ⅰ作評(píng)注，寫了一個(gè)“幾何學(xué)發(fā)展概要”，通常叫做《普羅克洛斯概要》(Proclus'ssummary)(以下簡(jiǎn)稱《概要》，見(jiàn)［10］，pp．144—161)，或叫《歐德莫斯概要》(Eudemiansummary)，因?yàn)樗�主要取材于歐德莫斯的《幾何學(xué)史》．

　　《概要》寫道：“泰勒斯是到埃及去將這種學(xué)問(wèn)(幾何學(xué))帶回希臘的第一人．他自己發(fā)現(xiàn)了許多命題，又將好些別的重要原理透露給他的追隨者．他的方法有些是具有普遍意義的，也有一些只是經(jīng)驗(yàn)之談．”

　　普羅克洛斯指出他發(fā)現(xiàn)的命題有：

　　(1)圓的直徑將圓平分．

　　普羅克洛斯說(shuō)泰勒斯第一個(gè)證明了這個(gè)命題．多數(shù)學(xué)者認(rèn)為他大概只是認(rèn)識(shí)了這個(gè)性質(zhì)而不是確實(shí)證明了它．．在《幾何原本》中，歐幾里得也只是作為定義提出來(lái)(卷Ⅰ定義17：直徑是通過(guò)圓心的直線，……將圓平分)．M．康托爾(Cantor)推測(cè)，可能是受到某些圖形的啟發(fā)．從埃及的紀(jì)念碑上�？吹綄�圓分成若干扇形的圖，這些扇形顯然都是相同的．

　　(2)等腰三角形兩底角相等．

　　在《幾何原本》中，這是卷1命題5，也就是有名的“驢橋”．泰勒斯是用“相似”這個(gè)詞來(lái)描述相等角的，說(shuō)明他還未將角作為具有大小的量，而是看作有某種形狀的圖形．這和古代埃及人的觀點(diǎn)一致．

　　(3)兩直線相交，對(duì)頂角相等．

　　這是《幾何原本》卷1命題15．

　　(4)有兩角夾一邊分別相等的兩個(gè)三角形全等．

　　這是《幾何原本》卷Ⅰ命題26．歐德莫斯在《幾何學(xué)史》中將這定理歸功于泰勒斯，并說(shuō)他利用這定理測(cè)出從船只到岸邊的距離．具體怎樣測(cè)法，數(shù)學(xué)史家作過(guò)幾種猜測(cè)．T．希思(Heath)設(shè)計(jì)一種簡(jiǎn)單易行的方法，其原理實(shí)際就是“一頂軍帽定河寬”：人站在岸邊，將軍帽戴得低一些，使得眼睛望著彼岸某一點(diǎn)，同時(shí)看到帽檐，這時(shí)，視線、河寬和身高構(gòu)成一直角三角形．現(xiàn)在轉(zhuǎn)過(guò)身來(lái)，同樣順著帽檐看到此岸的一點(diǎn)，這一點(diǎn)和人的距離就是河寬．如要更精確一些，可制作一個(gè)工具，站在高處測(cè)量．

　　(5)對(duì)半圓的圓周角是直角．

　　這是第歐根尼的記截，他引用潘菲拉(Pamphila)的話，說(shuō)泰勒斯從埃及人那里學(xué)到了幾何學(xué)，第一次在圓內(nèi)作內(nèi)接直角三角形，并為此宰了一頭牛來(lái)慶祝．但也有人說(shuō)這是畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時(shí)的故事．

　　如果這記載可靠，那么泰勒斯的幾何學(xué)已經(jīng)達(dá)到相當(dāng)高的水平，應(yīng)該能夠掌握更多的知識(shí)，如三角形內(nèi)角和等于兩直角等．上述的命題看起來(lái)并不復(fù)雜，有些僅憑直觀就能判斷，然而泰勒斯不滿足于“知其然”，還要窮究“所以然”．歷史學(xué)家強(qiáng)調(diào)他證明了(至少是企圖證明)這些命題．在數(shù)學(xué)中引入證明的思想，這是難能可貴的．從此數(shù)學(xué)從具體的、實(shí)驗(yàn)的階段過(guò)渡到抽象的、理論的階段，逐漸形成一門獨(dú)立的、演繹的科學(xué)．

　　其他的成就

　　泰勒斯是公認(rèn)的希臘哲學(xué)鼻祖，他第一次沖破了超自然的鬼神思想的羈絆，去揭示大自然的本來(lái)面目．他看到一切生命都依賴于水，而水無(wú)處不在，于是斷言水是萬(wàn)物的本質(zhì)．而地球像一個(gè)圓盤，漂浮在浩瀚無(wú)垠的水中．這種觀點(diǎn)使他無(wú)法解釋日月食的現(xiàn)象．他可能寫過(guò)《航海天文學(xué)》，建議希臘的航海者按小熊星座去尋找北極，他們過(guò)去的習(xí)慣是看大熊星座．歐德莫斯說(shuō)他已知按春分、夏至、秋分、冬至來(lái)劃分的四季是不等長(zhǎng)的．在物理學(xué)方面，琥珀摩擦產(chǎn)生靜電的發(fā)現(xiàn)也歸功于他(見(jiàn)［11］，中譯本p．11)．

　　泰勒斯思想的影響是巨大的．在他的帶動(dòng)下，人們擺脫了神的束縛，去探索宇宙的奧秘，經(jīng)過(guò)數(shù)百年的努力，出現(xiàn)了希臘科學(xué)的繁榮．泰勒斯首創(chuàng)之功，不可磨滅．