柯尼斯堡城是條頓騎士在1308年建立的，作為日爾曼勢力最東端的前哨達(dá)四百余年之久。第二次世界大戰(zhàn)后，它被更名為加里寧格勒，成了蘇聯(lián)最大的海軍基地。今天，柯尼斯堡位于立陶宛與波蘭之間（加里寧格勒現(xiàn)屬俄羅斯。——譯者注）。柯尼斯堡的七座橋今天看來怎么樣了？人們?nèi)匀辉谄髨D找出不可能的路線嗎？首先，讓我們把柯尼斯堡橋問題扼要重述如下——

若干世紀(jì)以來，柯尼斯堡橋問題提供了豐富的樂趣和數(shù)學(xué)興味。問題遠(yuǎn)溯至18世紀(jì)初。背景是位于普雷蓋爾河岸的柯尼斯堡城。河中的兩個(gè)島是城的部分，由七座橋與城連接�？履崴贡さ木用裰杏幸粋�(gè)歡樂的傳統(tǒng)：星期天沿著城市的河岸和島嶼散步，同時(shí)試圖找到一條路線，可以經(jīng)過所有七座橋，但不重復(fù)經(jīng)過任一座橋。雖然當(dāng)時(shí)大多數(shù)人都把這當(dāng)做有趣的娛樂，但是一位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)這娛樂可以導(dǎo)向一個(gè)另外的契機(jī)，他抓住了這個(gè)契機(jī)并加以發(fā)展。瑞士數(shù)學(xué)家倫哈德·歐拉（1707～1783）在圣彼得堡為俄國凱瑟琳大帝服務(wù)時(shí)就知道了柯尼斯堡橋問題。

1735年，歐拉向俄國科學(xué)院提交了一篇論文，它不是簡單地解答了橋問題，而是具有更加深遠(yuǎn)的意義，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了更加巨大的影響。他提出的新思想開辟了拓?fù)鋵W(xué)的領(lǐng)域。拓?fù)鋵W(xué)與研究大小、形狀和剛體的歐幾里得幾何不同，它是研究物體即使在大小和形狀改變時(shí)依然保持不變的那些特性的幾何學(xué)。例如，如果三角形變形為正方形或圓，拓?fù)鋵W(xué)研究這對象的哪些特性保持不變。歐拉把柯尼斯堡橋問題的物理背景變換并簡化為一種數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)（稱做圖或網(wǎng)絡(luò)），這設(shè)計(jì)包含這個(gè)問題，并使它簡化。對于城市與橋相通的每一部分，他用一個(gè)頂點(diǎn)來代表，每一座橋則用一個(gè)弧來表示。他的結(jié)論是：經(jīng)過所有七座橋而不復(fù)返的問題相當(dāng)于用鉛筆不離紙面地描繪整個(gè)網(wǎng)絡(luò)。歐拉把每個(gè)頂點(diǎn)定為奇頂點(diǎn)或偶頂點(diǎn)。他指出，偶頂點(diǎn)是路程經(jīng)過這頂點(diǎn)即進(jìn)入這頂點(diǎn)又離開這頂點(diǎn)或整個(gè)路程從這點(diǎn)開始又到這點(diǎn)結(jié)束而造成的。另一方面，奇頂點(diǎn)則是以這頂點(diǎn)成為路程的起點(diǎn)或終點(diǎn)而造成的。因此，任何可一筆畫成（沒有復(fù)返）的圖最多只能有2個(gè)奇頂點(diǎn)——要末沒有奇頂點(diǎn)，頂點(diǎn)都是偶頂點(diǎn)；要末有2個(gè)奇頂點(diǎn)，如果一個(gè)是起點(diǎn)，一個(gè)是終點(diǎn)。此外，他還斷定，如果這圖有偶數(shù)個(gè)奇頂點(diǎn)，譬如說10個(gè)，那末在描繪整個(gè)圖時(shí)，筆離開紙面的次數(shù)一定是奇頂點(diǎn)個(gè)數(shù)的一半，即5次。歐拉在他的論述中指出，柯尼斯堡橋問題似乎具有幾何性質(zhì)，但是看來歐幾里得幾何并不適用，因?yàn)闃騿栴}不涉及“大小”，也不能用“量化計(jì)算”來解決。相反地，這問題屬于“位置幾何”，這是戈特弗里德·威廉·馮·萊布尼茲描述拓?fù)鋵W(xué)時(shí)首先用的名稱。由此可知，歐拉對柯尼斯堡橋問題的解答成了拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的催化劑和導(dǎo)引。

如圖所示，七座橋各有專名，大概與橋的那邊是什么有關(guān)。今天只剩下了原有七座橋中的三座——蜜橋、高橋和木橋。一條新的跨河大橋已經(jīng)建成，它與兩岸的連接如圖所示，它完全跨過了內(nèi)福夫島。導(dǎo)游們時(shí)常講述柯尼斯堡橋問題的故事。有些導(dǎo)游甚至聲稱它仍未解決。如果畫出新柯尼斯堡橋的網(wǎng)絡(luò)，這新問題是沒有吸引力的。如果新橋接觸到島的地面，網(wǎng)絡(luò)將比較有趣些。不幸的是，七座柯尼斯堡橋成了歷史，但是這問題留下的遺產(chǎn)不像這些橋那樣容易破壞。歐拉的出色的解答仍然是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史上的一個(gè)重要部分。

志謝：特別感謝阿爾特·庫利提供最新資料和照片，并感謝羅德·克里坦登引起我對這些資料的注意。