隨著數(shù)學(xué)競賽的發(fā)展，已逐漸形成一門特殊的數(shù)學(xué)學(xué)科--競賽數(shù)學(xué)。                                  
一、數(shù)學(xué)競賽的簡史
    數(shù)學(xué)競賽與體育競賽相類似，它是青少年的一種智力競賽，所以蘇聯(lián)人首創(chuàng)了"數(shù)學(xué)奧林匹克"這個(gè)名詞。在類似的以基礎(chǔ)科學(xué)為競賽內(nèi)容的智力競賽中，數(shù)學(xué)競賽歷史最悠久，參賽國最多，影響也最大。比較正規(guī)的數(shù)學(xué)競賽是1894年在匈牙利開始的，除因兩次世界大戰(zhàn)及1956年事件而停止了7屆外，迄今已舉行過90多屆。蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)競賽開始于1934年，美國的數(shù)學(xué)競賽則是1938年開始的。這兩個(gè)國家除第二次世界大戰(zhàn)期間各停止了3年外，均己舉行過50多屆，其他有長久數(shù)學(xué)競賽歷史的國家是羅馬尼亞（始于1902年）、保加利亞（始于1949年）和中國（始于1956年）。
    1956年，東歐國家和蘇聯(lián)正式確定了國際數(shù)學(xué)奧林匹克的計(jì)劃，并于1959年在羅馬尼亞布拉索夫舉行了第一屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克（InternationaI Mathematics Olympiad，簡稱1MO）。以后每年舉行一次。除1980年因東道國蒙古經(jīng)濟(jì)困難停辦外，至今共舉行過40屆。參賽國家也愈來愈多。第一屆僅7個(gè)國家參加，至1980年已有23個(gè)；到1990年，則有54個(gè)。
    必須說明在上述歷史之前已有一些數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)，例如蘇聯(lián)人說，在1886年帝俄時(shí)代就舉行過數(shù)學(xué)競賽。又如1926年在中國上海市舉辦過包括學(xué)生、銀行和錢莊職員在內(nèi)的珠算比賽，中華職業(yè)學(xué)校一年級學(xué)生，16歲的華羅庚憑智慧奪得了冠軍。這些都是關(guān)于數(shù)學(xué)競賽的佳話，不列入正史。
二、數(shù)學(xué)競賽的發(fā)展
    數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)是由個(gè)別城市，向整個(gè)國家，再向全世界逐步發(fā)展起來的。例如蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)競賽就是先從列寧格勒和莫斯科開始，至1962年拓展至全國的，美國則是到1957年才有全國性的數(shù)學(xué)競賽的。
    數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)也是由淺入深逐步發(fā)展的。幾乎每個(gè)國家的數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)都是先由一些著名數(shù)學(xué)家出面提倡組織，試題與中學(xué)課本中的習(xí)題很接近，然后逐漸深入，并有一些數(shù)學(xué)家花比較多的精力從事選題及競賽組織工作，這時(shí)的試題逐漸脫離中學(xué)課本范圍，當(dāng)然仍要求用初等數(shù)學(xué)語言陳述試題并可以用初等數(shù)學(xué)方法求解。例如蘇聯(lián)數(shù)學(xué)競賽之初，著名數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫、亞歷山大洛夫、狄隆涅等都參與過這一工作。在美國，則有著名數(shù)學(xué)家伯克霍夫父子、波利亞、卡普蘭斯基等參與過這項(xiàng)工作。
    國際數(shù)學(xué)奧林匹克開始舉辦后，參賽各國的備賽工作往往主要是對選手進(jìn)行一次強(qiáng)化培訓(xùn)，以拓廣他們的知識(shí)，提高他們的解題能力。這種培訓(xùn)課程是很難的，比中學(xué)數(shù)學(xué)深了很多。這時(shí)就需要少數(shù)數(shù)學(xué)家專門從事這項(xiàng)活動(dòng)。
    數(shù)學(xué)競賽搞得好的國家，競賽活動(dòng)往往采取層層競賽、層層選拔這種金字塔式的方式進(jìn)行。例如。蘇聯(lián)分五級競賽，即校級、市級、省級、加盟共和國級和全蘇競賽，每一級的競賽人數(shù)約為前一級的1/10，還設(shè)立了8個(gè)專門的數(shù)學(xué)學(xué)校（或數(shù)學(xué)奧林匹克學(xué)校），以培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)好的學(xué)生。
    數(shù)學(xué)競賽雖然歷史悠久，但最近10年有很大發(fā)展和變化，有關(guān)工作愈趨專門，我們要認(rèn)真注意其發(fā)展，認(rèn)識(shí)其規(guī)律。
三、數(shù)學(xué)競賽的作用
1. 選拔出有數(shù)學(xué)才能的青少年。由于數(shù)學(xué)競賽是在層層競賽，水平逐步加深的考核基礎(chǔ)上選拔出優(yōu)勝者，優(yōu)勝者既要有踏實(shí)廣泛的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又要有靈活機(jī)智的頭腦和富于創(chuàng)造性的才能，所以他們往往是既刻苦努力又很聰明的青少年。這些人將來成才的概率是很大的。數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)受到愈來愈多國家的注意，在世界上發(fā)展得那么快的重要原因之一就在于此。在匈牙利，著名數(shù)學(xué)家費(fèi)葉、黎茨、舍貴、寇尼希、哈爾、拉多等部曾是數(shù)學(xué)競賽的優(yōu)勝者。在波蘭，著名數(shù)論專家辛哲爾是一位數(shù)學(xué)競賽優(yōu)勝者。在美國，數(shù)學(xué)競賽優(yōu)勝者中后來成為菲爾茲數(shù)學(xué)獎(jiǎng)獲得者的有米爾諾、曼福德、奎倫三人，也有不少優(yōu)勝青成為著名的物理學(xué)家或工程師，如著名力學(xué)家馮•卡門。
2. 激發(fā)了青少年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。數(shù)學(xué)在一切自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和現(xiàn)代化管理等方面都愈來愈顯得重要和必不可少。由于電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，各門科學(xué)更趨于深入和成熟，由定性研究進(jìn)入定量研究。因此青少年學(xué)好數(shù)學(xué)對于他們將來學(xué)好一切科學(xué)，幾乎都是必要的。數(shù)學(xué)競賽將健康的競爭機(jī)制引進(jìn)青少年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，將激發(fā)他們的上進(jìn)心，激發(fā)他們的創(chuàng)造性思維。由于數(shù)學(xué)競賽是分級地金字培式地進(jìn)行的，所以國家級競賽之前的競賽，試題基本上不跳離中學(xué)數(shù)學(xué)課本范圍，適合廣大青少年參加．但也要承認(rèn)人的天賦和數(shù)學(xué)素質(zhì)是有差別的，甚至?xí)�有很大的差別。國家級競賽及其以后的競賽和培訓(xùn)，只能在少數(shù)人中拔高進(jìn)行，少數(shù)有很好數(shù)學(xué)素質(zhì)的青少年是吃得消的。例如，澳大利亞少年托里•陶在他10歲、11歲和12歲時(shí)分別在第27、28和29屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克上獲得銅牌、銀牌和金牌。在數(shù)學(xué)競賽的拔高階段當(dāng)然需要一些大學(xué)老師和數(shù)學(xué)專業(yè)研究人員參與。
3. 推動(dòng)了數(shù)學(xué)的教學(xué)改革工作。數(shù)學(xué)競賽進(jìn)入高層次后，試題內(nèi)容往往是高等數(shù)學(xué)的初等化。這不僅給中學(xué)數(shù)學(xué)添人了新鮮內(nèi)容，而且有可能在逐步積累的過程中，促使中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在一個(gè)新的基礎(chǔ)上進(jìn)行反思，由量變轉(zhuǎn)入質(zhì)變。中學(xué)教師也可在參與數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)的過程中，學(xué)得新知識(shí)，提高水平，開闊眼界，事實(shí)上，己有一些數(shù)學(xué)教學(xué)工作者在這項(xiàng)活動(dòng)中逐漸嘗到了甜頭。因此數(shù)學(xué)競賽也可能是中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的"催化劑"之一，似乎比自上而下的"灌輸式"的辦法為好。60年代初，西方所謂中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)代化運(yùn)動(dòng)即是企圖用某些現(xiàn)代數(shù)學(xué)代替陳舊的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，但采取了由上往下灌輸?shù)姆椒�，結(jié)果既脫離教師水平，也脫離學(xué)生循序?qū)W習(xí)所需要的直觀思維過程�，F(xiàn)在基本上被風(fēng)一吹，宣告失敗了。相反地，數(shù)學(xué)競賽也許是一條途徑。在中國，中學(xué)生的高考壓力很重，中學(xué)教師為此而奔波，確有路子愈走愈窄之感。數(shù)學(xué)競賽或許能使中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)改革走向康莊大道。
四、競賽數(shù)學(xué)--奧林匹克數(shù)學(xué)
    隨著數(shù)學(xué)競賽的發(fā)展，已逐漸形成一門特殊的數(shù)學(xué)學(xué)科--競賽數(shù)學(xué)，也可稱為奧林匹克數(shù)學(xué)。將高等數(shù)學(xué)下放到初等數(shù)學(xué)中去，用初等數(shù)學(xué)的語言來表述高等數(shù)學(xué)的問題，并用初等數(shù)學(xué)方法來解決這些問題，這就是競賽數(shù)學(xué)的任務(wù)。這里的問題甚至解法的背景往往來源于某些高等數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)就其方法而言，大體上可以分成分析與代數(shù)，即連續(xù)數(shù)學(xué)與離散數(shù)學(xué)。由于目前微積分不屬于國際數(shù)學(xué)奧林匹克的范圍，所以下放離散數(shù)學(xué)就是競賽數(shù)學(xué)的主體。很多國際數(shù)學(xué)奧林匹克的試題來自數(shù)淪、組合分析、近世代數(shù)、組合幾何、函數(shù)方程等。當(dāng)然也包含中學(xué)課程中的平面幾何。
    競賽數(shù)學(xué)又不同于上述這些數(shù)學(xué)領(lǐng)域。通常數(shù)學(xué)往往追求證明一些概括廣泛的定理，而競賽數(shù)學(xué)恰恰尋求一些特殊的問題，通常數(shù)學(xué)追求建立一般的理論和方法，而競賽數(shù)學(xué)則追求用特殊方法來解決特殊問題；而且一旦某個(gè)問題面世，即成為陳題，又需繼續(xù)創(chuàng)造新的問題。競賽數(shù)學(xué)屬于"硬"數(shù)學(xué)范疇，它通常也與純粹數(shù)學(xué)一樣，以其內(nèi)在美，包括問題的簡練和解法的巧妙，作為衡量其價(jià)值的重要標(biāo)準(zhǔn)。
    競賽數(shù)學(xué)不能脫離現(xiàn)有數(shù)學(xué)分支而獨(dú)立發(fā)展，否則就成了無源之水，所以它往往由某些領(lǐng)域的專家兼搞，如參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克的中國代表團(tuán)的出色教練單?，就是一位數(shù)論專家。
    國際數(shù)學(xué)奧林匹克的精神是鼓勵(lì)用巧妙的初等數(shù)學(xué)方法來解題，但并不排斥高等數(shù)學(xué)方法和定理的使用。例如在第31屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克中，有學(xué)生在解題時(shí)用到了貝特朗假設(shè)，也稱車比雪夫定理，即當(dāng)n大于1時(shí)，在n和2n之間必定有一個(gè)素?cái)?shù)，還有人在解題時(shí)用到了謝爾賓斯塞定理，即一個(gè)平方數(shù)表成s個(gè)平方數(shù)之和的通解形式。這些定理須在華羅庚所著的《數(shù)論導(dǎo)引》（大學(xué)數(shù)學(xué)系研究生教本）或更專門的書中才能找到。這樣不僅已是"殺雞用牛刀"，而且按某外國教練的說法，"他們在用原子彈炸蚊子，但蚊于被炸死了！"這樣做是允許的，但不是國際數(shù)學(xué)奧林匹克所鼓勵(lì)的。
    國際數(shù)學(xué)奧林匹克的一個(gè)難試題，經(jīng)簡化后的證明要寫三四頁，這不僅大大超過中學(xué)課本的深度，也不低于大學(xué)數(shù)學(xué)系一般課程的深度，當(dāng)然不包括大學(xué)課程的廣度。實(shí)際上，大學(xué)數(shù)學(xué)系課程中，一條定理的證明長達(dá)3頁者并不多。一個(gè)好試題的解答，大體上相當(dāng)于一篇有趣的短論文。因此用這些問題來考核青少年的數(shù)學(xué)素質(zhì)是相當(dāng)科學(xué)的。它們的解決需要參賽者有相當(dāng)寬廣的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，再加上機(jī)智和創(chuàng)造性。這與單純的智力小測驗(yàn)完全不同。國際上的數(shù)學(xué)競賽范圍，大體上從小學(xué)四年級到大學(xué)二年級。小學(xué)生因基礎(chǔ)知識(shí)太少，這期間的所謂數(shù)學(xué)競賽，其實(shí)是智力小測驗(yàn)型。對大學(xué)生應(yīng)強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)學(xué)習(xí)，要求對數(shù)學(xué)有一個(gè)整體了解。因此數(shù)學(xué)競賽的重點(diǎn)應(yīng)是中學(xué)，特別是高中。
    現(xiàn)在已經(jīng)積累了豐富的數(shù)學(xué)競賽題庫，可供中學(xué)師生和數(shù)學(xué)愛好者練習(xí)。國際上也已經(jīng)有了競賽數(shù)學(xué)的專門雜志。
五、數(shù)學(xué)競賽在中國
    我國的數(shù)學(xué)競賽始于1956年，當(dāng)時(shí)舉辦了北京、上海、武漢、天津四城市的高中數(shù)學(xué)競賽。華羅庚、蘇步清、江澤涵等最有威望的數(shù)學(xué)家都積極出面領(lǐng)導(dǎo)并參與這項(xiàng)工作。但由于"左"的沖擊，至1965年，只零零星星地舉行過6屆，"文化大革命"開始后，數(shù)學(xué)競賽更被看成是"封、資、修"的一套而被迫全部取消。直到"四人幫"被打倒，我國的數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)于1978年又重新開始，并從此走上了迅速發(fā)展的康莊大道。1980年前的數(shù)學(xué)競賽屬于初級階段，即試題不脫離中學(xué)課本。1980年以后，逐漸進(jìn)入高級階段。我國于1985年第一次參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克，1986年開始名列前茅，1989和1990年連續(xù)兩年獲得團(tuán)體總分第一。
    我國成功地舉辦了第31屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克，這標(biāo)志著我國的數(shù)學(xué)競賽水平已達(dá)到國際領(lǐng)先水平。第一，中國獲得團(tuán)體總分第一，說明我國金字塔式的各級競賽和選拔體系及奧林匹克數(shù)學(xué)學(xué)校和集中培訓(xùn)系統(tǒng)是完善的，第二，我國數(shù)學(xué)家對35個(gè)國家提供的100多個(gè)試題，進(jìn)行了簡化與改進(jìn)，從中推薦出28個(gè)問題供各國領(lǐng)隊(duì)挑選，結(jié)果被選中5題（共需6題），這說明我國競賽數(shù)學(xué)的水平是相當(dāng)高的。第三，各國學(xué)生的試卷先由各國領(lǐng)隊(duì)批改，然后由東道主國家組織協(xié)調(diào)認(rèn)可。我們組織了近50位數(shù)學(xué)家任協(xié)調(diào)員，評分準(zhǔn)確、公平，提前半天完成了協(xié)調(diào)任務(wù)，說明我國的數(shù)學(xué)有相當(dāng)?shù)膶?shí)力。第四，這是首次在亞洲舉行國際數(shù)學(xué)奧林匹克，中國的出色成績鼓舞了發(fā)展中國家，特別是亞洲國家。除此而外，這次競賽的組織工作也是相當(dāng)不錯(cuò)的。
    在中國，從老一輩數(shù)學(xué)家，中青年數(shù)學(xué)家，直至中小學(xué)老師，成千上萬人的共同努力，才在數(shù)學(xué)競賽方面獲得了今天的成就。這里特別要提到華羅庚，他除倡導(dǎo)中國的數(shù)學(xué)競賽外，還撰寫了《從楊輝三角談起》《從祖沖之的圓周率談起》《從孫子的"神奇妙算"談起》《數(shù)學(xué)歸納法》和《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》5本小冊子，這些是他的競賽數(shù)學(xué)作品。我國在1978年重新恢復(fù)數(shù)學(xué)競賽后，他還親自主持出試題，并為試題解答撰寫評論。中國其他優(yōu)秀競賽數(shù)學(xué)作品有段學(xué)復(fù)的《對稱》閡嗣鶴的《格點(diǎn)和面積》姜伯駒的《一筆畫和郵遞路線問題》等。這里還應(yīng)提到王壽仁，他從跟華羅庚一起工作起，一直到今天，始終領(lǐng)導(dǎo)并參與了數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)。他帶領(lǐng)中國代表隊(duì)3次出國參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克，并領(lǐng)導(dǎo)了第31屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克的工作。1980年以后，我國基本上由中青年數(shù)學(xué)家接替了老一輩數(shù)學(xué)家從事的數(shù)學(xué)競賽工作，他們積極努力，將中國的數(shù)學(xué)競賽水平推向一個(gè)新的高度。裘宗滬就是一位突出代表。他從培訓(xùn)學(xué)生到組織領(lǐng)導(dǎo)數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)，從3次帶領(lǐng)中國代表隊(duì)參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克到舉辦第31屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克，均作出了杰出貢獻(xiàn)。
六、關(guān)于我國數(shù)學(xué)競賽的幾個(gè)問題
1． 要認(rèn)真總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。既要總結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn)，也要總結(jié)反面的教訓(xùn)。特別是1956年至1977年的22年中只小規(guī)模地舉行了6次數(shù)學(xué)競賽，完全停止了16年，比匈牙利因兩次世界大戰(zhàn)而停止數(shù)學(xué)競賽的時(shí)間長一倍多，這也從一個(gè)側(cè)面反映了"左"的危害。要允許甚至鼓勵(lì)對數(shù)學(xué)競賽發(fā)表各種不同看法，以避免大轟大嗡、大起大落及"一刀切"。當(dāng)有了缺點(diǎn)時(shí)，要冷靜分析，劃清數(shù)學(xué)競賽內(nèi)含的不合理性與工作中的缺點(diǎn)的界線。
2． 完善領(lǐng)導(dǎo)體制�？煞裨O(shè)想，國家教委和中國科協(xié)通過中國數(shù)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)奧林匹克委員會(huì)（或其他形式的一元化領(lǐng)導(dǎo)），統(tǒng)一領(lǐng)導(dǎo)與協(xié)調(diào)全國各級數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)和國際數(shù)學(xué)奧林匹克的參賽和組織培訓(xùn)工作。成立數(shù)學(xué)奧林匹克基金會(huì)，協(xié)助某些數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)，獎(jiǎng)勵(lì)數(shù)學(xué)競賽優(yōu)勝者和作出貢獻(xiàn)的領(lǐng)導(dǎo)、教練、中小學(xué)教師等。
3． 向社會(huì)作宣傳。宣傳數(shù)學(xué)競賽的意義和功能，以消除誤解，例如"數(shù)學(xué)競賽是中小學(xué)生搞的智力小測驗(yàn)"，"這是選拔天才，沖擊了正常教學(xué)"，"教師，特別是大學(xué)教師，搞數(shù)學(xué)競賽是不務(wù)正業(yè)"等。要用事實(shí)說明數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)的成績。例如僅僅"文革"前的幾次低層次數(shù)學(xué)競賽中，已有一些競賽優(yōu)勝者成才了。如上海的汪嘉岡、陳志華，北京的唐守文、石赫，他們現(xiàn)在已經(jīng)是國內(nèi)的著名中年數(shù)學(xué)家，有的已獲博士導(dǎo)師資格。他們在"文革"中都被耽誤了10年，否則完全會(huì)有更大成就。
4． 處理好普及與提高的關(guān)系。數(shù)學(xué)競賽需要分學(xué)校、市、省、全國、冬令營、集訓(xùn)班金字塔式地進(jìn)行。前3個(gè)層次是普及型的，試題應(yīng)不脫離中學(xué)數(shù)學(xué)課本范圍，面向廣大學(xué)生和教師。國家級競賽及以后的活動(dòng)是提高型的，參賽者的面要迅速縮小。至于冬令營和集訓(xùn)隊(duì)，全國只能有幾十個(gè)學(xué)生參加。數(shù)學(xué)奧林匹克學(xué)校要注意質(zhì)量，宜辦得少而精。對于參加數(shù)學(xué)學(xué)校的學(xué)生要嚴(yán)格挑選，不要妨礙他們德、智、體的全面發(fā)展。除冬令營和集訓(xùn)班需要少數(shù)數(shù)學(xué)家集集中時(shí)間出試題和進(jìn)行培訓(xùn)工作外，宜鼓勵(lì)廣大數(shù)學(xué)家和中小學(xué)教師利用業(yè)余時(shí)間從事數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)，不要妨礙大家的正常工作�？傊�，數(shù)學(xué)競賽的普及部分與提高部分不要對立，而要有機(jī)地結(jié)合起來。
5． 對數(shù)學(xué)競賽優(yōu)勝者要繼續(xù)進(jìn)行教育和培養(yǎng)。一方面要充分肯定優(yōu)勝者的成績并加以鼓勵(lì)，另一方面也要告訴競賽優(yōu)勝者，必須戒驕戒躁，謙虛謹(jǐn)慎，要成為一個(gè)好數(shù)學(xué)家或其他方面的專家，還須經(jīng)過長期不懈的鋤。不要將競賽獲勝看成唯一的目的，要看成鼓勵(lì)前進(jìn)的鞭策。還要為數(shù)學(xué)競賽優(yōu)勝者創(chuàng)造較好的深入學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，使他們能迅速成長。例如可以考慮允許某些理工科大學(xué)在高中全國數(shù)學(xué)競賽優(yōu)勝者中，自行選拔一部分學(xué)生免試入學(xué)。
6． 對數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)作出貢獻(xiàn)的人員，包括組織領(lǐng)導(dǎo)者、教練與中小學(xué)教師的工作成績要充分肯定并給予獎(jiǎng)勵(lì)。在他們的工作考核中，作為提職晉級的依據(jù)之一。
（注：王元教授是中國數(shù)學(xué)理事會(huì)理事長，是我國數(shù)學(xué)競賽組委會(huì)主席，第31屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽在我國舉行，他是主要組織者，他寫了一篇總結(jié)發(fā)表在《自然雜志》第十三卷十二期上，轉(zhuǎn)載于此，供廣大同行和讀者參考。）