直接抓住全體對(duì)象中的極端情形或它們所具有的某種極端性質(zhì)加以研究、解決問題的思想方法稱為極端性原則。

　　一、極端性原理：

　　1.最小數(shù)原理、最大數(shù)原理

　　命題一 有限個(gè)實(shí)數(shù)中，必有一個(gè)最小數(shù)(也必有一個(gè)最大數(shù)).

　　命題二任意有限個(gè)兩兩不同的實(shí)數(shù)可以從小到大排列順序.上述兩個(gè)命題對(duì)無窮多個(gè)實(shí)數(shù)可能不成立，例如對(duì)于集合{2-n|n∈N}，其中就沒有最小的數(shù).

　　對(duì)于自然數(shù)集，有

　　最小數(shù)原理 若M是自然數(shù)集N的任一非空子集(有限或無限均可)，則M中必有最小的數(shù).

　　2.最短長(zhǎng)度原理

　　最短長(zhǎng)度原理1：任意給定兩點(diǎn)，所有連接這兩點(diǎn)的線中，以直線段的長(zhǎng)度為最短;

　　最短長(zhǎng)度原理2：在連接一已知點(diǎn)和已知直線或已知平面的點(diǎn)的所有線中，以垂線段的長(zhǎng)度為最短。

　　二、典型例題

　　(一)考慮問題的極端情形：

　　引例：平面上有n個(gè)(n≥3)點(diǎn)，任三點(diǎn)不共線，證明：存在3點(diǎn)A、B、C，使其余n-3個(gè)點(diǎn)都在△ABC外面.

　　例1 求證：在四面體ABCD中，必有某個(gè)頂點(diǎn)，從它發(fā)出的三條棱作為三邊可以構(gòu)成一個(gè)三角形。

　　例2 給出平面的一個(gè)有限點(diǎn)集，點(diǎn)集中的點(diǎn)不全在一條直線上.證明：存在一條直線，只經(jīng)過點(diǎn)集中的兩個(gè)點(diǎn).

　　例3 平面上有n個(gè)紅點(diǎn)與n個(gè)藍(lán)點(diǎn)，任意三點(diǎn)都不共線.求證：可以用n條線段連結(jié)這2n個(gè)點(diǎn)，每條線段連結(jié)一個(gè)紅點(diǎn)與一個(gè)藍(lán)點(diǎn)，且這n條線段沒有公共點(diǎn).

　　例4 有n(n³3)個(gè)排球隊(duì)參加單循環(huán)賽 (排球賽的每場(chǎng)都要分出勝負(fù)) ，比賽結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)沒有一個(gè)隊(duì)全勝.求證：必存在三個(gè)隊(duì)A，B，C，使A勝B，B勝C，C又勝A.

　　例5 有n個(gè)男生，m個(gè)女生(n，m>1)，每一個(gè)男生至少與一個(gè)女生彼此相識(shí)，每個(gè)女生不全認(rèn)識(shí)n個(gè)男生，證明：他們當(dāng)中，必有兩個(gè)男生和兩個(gè)女生，其中每個(gè)男生恰好認(rèn)識(shí)其中一女生，其中每個(gè)女生恰好認(rèn)識(shí)其中一男生。

　　(二)逐步調(diào)整法

　　例6 一群小孩圍坐一圈分糖果，老師讓他們先每人任取偶數(shù)塊糖，然后按下列規(guī)則調(diào)整：所有小孩同時(shí)把自己手中的糖分一半給右邊的小孩，糖塊變?yōu)槠鏀?shù)的人向老師要1塊糖.這算一次調(diào)整.證明：經(jīng)過有限次調(diào)整后，大家的糖就變得一樣多了.

　　(三)無窮遞降法

　　例7 若干個(gè)球裝在2n+1個(gè)口袋中，如果任意取走1袋，總可以把余下的2n袋分成兩組，每組n袋，并且這兩組的球的個(gè)數(shù)相等.證明：每個(gè)袋中的球的個(gè)數(shù)都相等.

　　例8 試求方程x3-2y3-4z3=0的所有整數(shù)解.

　　例9 設(shè)正整數(shù)n ，m滿足n>m，證明：存在的一種不等的倒數(shù)分拆，既存在自然數(shù)n1

　　(四)構(gòu)造法與極端性原理

　　例10 求最大的整數(shù)A，使對(duì)于由1到100的全部自然數(shù)的任意一排列，其中都有10個(gè)位置相鄰的數(shù)，其和大于或等于A。

　　例11 若平面上有997個(gè)點(diǎn)，如果每?jī)牲c(diǎn)連成一條線段，且中點(diǎn)染成紅色.證明：平面上至少有1991個(gè)紅點(diǎn)，你能找到恰有1991個(gè)紅點(diǎn)的特例嗎?

　　(五)反證法與極端性原理

　　例12 設(shè)a是大于1的自然數(shù)，求證：a的所有正因數(shù)中，至少有一個(gè)是質(zhì)數(shù).

　　例13 設(shè)f(n)是定義在自然數(shù)集上且取自然數(shù)值的嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，f(2)=2，當(dāng)m，n互質(zhì)時(shí)，有f(mn)=f(m)f(n)，求證：對(duì)一切自然數(shù)n，有f(n)=n。

　　(六)幾個(gè)例題

　　例14 已知 ， ，…， 與 ， ，…， 是2n個(gè)數(shù)，且 2+ 2+…+ 2=1， 2+ 2+…+ 2=1，求證： ， ，…，中存在一個(gè)值一定不大于1。

　　例15 求證：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)的任何曲線能被面積為 的閉矩形覆蓋。(美國(guó)普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，1963年)