三、定義新運算（二）
年級 班 姓名 得分
一、填空題
1.規(guī)定:a※b=(b+a)×b,那么(2※3)※5= .
2.如果a△b表示 ,例如3△4 ,那么,當(dāng)a△5=30時, a= .
3.定義運算“△”如下:對于兩個自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根據(jù)上面定義的運算,18△12= .
4.已知a,b是任意有理數(shù),我們規(guī)定: a⊕b= a+b-1, ,那么 .
5.x為正數(shù),<x>表示不超過x的質(zhì)數(shù)的個數(shù),如<5.1>=3,即不超過5.1的質(zhì)數(shù)有2,3,5共3個.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 .
6.如果a⊙b表示 ,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,當(dāng)x⊙5比5⊙x大5時, x= .
7.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5= .
8.我們規(guī)定:符號○表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運算,例如:5○3=3○5=5,符號△表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運算,例如:5△3=3△5=3.
請計算: .
9.規(guī)定一種新運算“※”: a※b= .如果(x※3)※4=421200,那么x= .
10.對于任意有理數(shù)x, y,定義一種運算“※”，規(guī)定:x※y= ,其中的 表示已知數(shù),等式右邊是通常的加、減、乘運算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),則m的數(shù)值是 .
二、解答題
11.設(shè)a,b為自然數(shù),定義a△b .
(1)計算(4△3)+(8△5)的值;
(2)計算(2△3)△4;
(3)計算(2△5)△(3△4).
12.設(shè)a,b為自然數(shù),定義a※b如下:如果a≥b,定義a※b=a-b,如果a<b,則定義a※b= b- a.(1)計算:(3※4)※9;(2)這個運算滿足交換律嗎?滿足結(jié)合律嗎?也是就是說,下面兩式是否成立?①a※b= b※a;②(a※b)※c= a※(b※c).
13.設(shè)a,b是兩個非零的數(shù),定義a※b .
(1)計算(2※3)※4與2※(3※4).
(2)如果已知a是一個自然數(shù),且a※3=2,試求出a的值.
14.定義運算“⊙”如下:
對于兩個自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的差記為a⊙b.
比如:10和14,最小公倍數(shù)為70,最大公約數(shù)為2,則10⊙14=70-2=68.
(1)求12⊙21,5⊙15;
(2)說明,如果c整除a和b,則c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,則c也整除b;
(3)已知6⊙x=27,求x的值.
———————————————答 案——————————————————————
1. 100.
因為2※3=(3+2)×3=15,所以(2※3)※5=15※5=(5+15)×5=100.
2. 8.
依題意,得 ,解得 .
3. 42.
18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.
4. 98.
原式
5. 11.
<19>為不超過19的質(zhì)數(shù),有2,3,5,7,11,13,17,19共8個.<93>為不超過的質(zhì)數(shù),共24個,易知<1>=0,所以
原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.
6. 6.
x⊙5-5⊙x=(3 x-2×5)-(3×5-2 x)=5 x-25,由5 x-25=5,解得x=6.
7. 45678.
8. .
因為 ○ ○ ,0.625△ △ ,
△ △ , ○ ○ ,
所以,原式 .
9. 2.
令x※3=y,則y※4=421200,
又421200 ,
所以y=24,即x※3=24.
又24= ,故x=2.
10. 4.
由題設(shè)的等式x※y= 及x※m=x(m≠0),得
,
所以bm=0,又m≠0,故b=0.因此x※y=ax-cxy.
由1※2=3,2※3=4,得 解得a=5,c=1.
所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.
11. (1)原式 ;
(2)原式 △4=7△4= ;
(3)原式 △ △13
.
12. (1)原式=(4-3)※9=1※9=9-1=8;
(2)因為表示a※b表示較大數(shù)與較小數(shù)的差,顯然a※b= b※a成立,即這個運算滿是交換律,但一般來說并不滿足結(jié)合律,例如:(3※4)※9=8,而3※(4※9)=3※(9-4)=3※5=5-3=2.
13. (1)按照定義有2※3 ,3※4 .
于是(2※3)※4 ※4= .
2※(3※4)=2※ .
(2)由已知得 ①
若a≥6,則 ≥2,從而 與①矛盾.因此a≤5,對a=1,2,3,4,5這5個可能的值,一一代入①式中檢查知,只有a=3符合要求.
14. (1)為求12⊙21,先求出12與21的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別為84,3,因此12⊙21=84-3=81,同樣道理5⊙15=15-5=10.
(2)如果c整除a和b,那么c是a和b的公約數(shù),則c整除a,b的最大公約數(shù),顯然c也整除a,b最小公倍數(shù),所以c整除最小公倍數(shù)與最大公約的差,即c整除a⊙b.
如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍數(shù),再由c整除a⊙b推知, c整除a,b的最大公約數(shù),而這個最大公約數(shù)整除b,所以 c整除b.
(3)由于運算“⊙”沒有直接的表達式,解這個方程有一些困難,我們設(shè)法逐步縮小探索范圍.
因為6與x的最小公倍數(shù)不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之間,只有30是6的倍數(shù),可見6和x的最小公倍數(shù)是30,因此它們的最大公約數(shù)是30-27=3.
由“兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的積=這兩個數(shù)的積”,得到 .
所以 .
