三、定義新運(yùn)算（一）
年級(jí) 班 姓名 得分
一、填空題
1.規(guī)定a☉b = ,則2☉(5☉3)之值為 .
2.規(guī)定“※”為一種運(yùn)算,對(duì)任意兩數(shù)a,b,有a※b ,若6※x ,則x=
.
3.設(shè)a,b,c,d是自然數(shù),定義 .則
3, 4, 1, 2 .
4.[A]表示自然數(shù)A的約數(shù)的個(gè)數(shù).例如,4有1,2,4三個(gè)約數(shù),可以表示成[4]=3.計(jì)算: = .
5.規(guī)定新運(yùn)算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,則x= .
6.兩個(gè)整數(shù)a和b,a除以b的余數(shù)記為a☆b.例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根據(jù)這樣定義的運(yùn)算,(26☆9) ☆4= .
7.對(duì)于數(shù)a,b,c,d規(guī)定 .如果 ,
那么x= .
8.規(guī)定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246,
1※4=1+11+111+1111=1234.7※5= .
9.規(guī)定:符號(hào)“△”為選擇兩數(shù)中較大數(shù),“☉”為選擇兩數(shù)中較小數(shù).例如:3△5=5,3☉5=3.那么,[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]= .
10.假設(shè)式子 表示經(jīng)過計(jì)算后,a的值變?yōu)樵瓉?/span>a與b的值的積,而式子 表示經(jīng)過計(jì)算后,b的值為原來a與b的值的差.設(shè)開始時(shí)a=2,b=2,依次進(jìn)行計(jì)算 , , , ,則計(jì)算結(jié)束時(shí),a與b的和是 .
二、解答題
11.設(shè)a,b,c,d是自然數(shù),對(duì)每?jī)蓚�(gè)數(shù)組(a,b),(c,d),我們定義運(yùn)算※如下: (a,b)※(c,d)= (a+c,b+d);又定義運(yùn)算△如下: (a,b)△(c,d)= (ac+bd,ad+bc).試計(jì)算((1,2) ※(3,6))△((5,4)※(1,3)).
12.羊和狼在一起時(shí),狼要吃掉羊,所以關(guān)于羊及狼,我們規(guī)定一種運(yùn)算,用符號(hào)△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼.運(yùn)算意思是羊與羊在一起還是羊,狼與狼在一起還是狼,但是狼與羊在一起便只剩下狼了.
小朋友總是希望羊能戰(zhàn)勝狼,所以我們規(guī)定另一種運(yùn)算,用符號(hào)☆表示為羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼.運(yùn)算意思是羊與羊在一起還是羊,狼與狼在一起還是狼,由于羊能戰(zhàn)勝狼,當(dāng)狼與羊在一起時(shí),它便被羊趕走而只剩下羊了.
對(duì)羊或狼,可用上面規(guī)定的運(yùn)算作混合運(yùn)算,混合運(yùn)算的法則是從左到右,括號(hào)內(nèi)先算.運(yùn)算的結(jié)果是羊,或是狼.求下式的結(jié)果:
羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼).
13. 表示成 ;
表示成 .
試求下列的值:
(1) ; (2) ; (3) ;
(4)如果x, y分別表示若干個(gè)2的數(shù)的乘積,試證明: .
14.兩個(gè)不等的自然數(shù)a和b,較大的數(shù)除以較小的數(shù),余數(shù)記為a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.
(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;
(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;
(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.
———————————————答 案——————————————————————
1. .
5☉3= ,
2☉(5☉3)=2☉ .
2. 8.
依題意,6※ ,因此 ,所以x=8.
3. 280.
原式 .
4. 5.
因?yàn)?span lang="EN-US"> 有 個(gè)約數(shù),所以[18]=6,同樣可知[22]=4,[7]=2.
原式 .
5. 9.
因?yàn)?span lang="EN-US">4※1= ,所以x※(4※1)= x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.
6. 0.
,26☆9=8,又 ,故(26☆9)☆4=8☆4=0.
7. 6.
因?yàn)?span lang="EN-US"> ,所以 ,故 .
8. 86415.
7※5=7+77+777+7777+77777=86415.
9. 25.
原式=[3△5]×[5☉7]=5×5=25.
10. 14.
第1次計(jì)算后, ;第2次計(jì)算后, ;第3次計(jì)算后, ;第4次計(jì)算后, .此時(shí) .
11. (1,2)※(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)※(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7).
原式=(4,8)△(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).
12. 原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼.
13. (1) ;
(2) ;
(3)因?yàn)?span lang="EN-US"> ,所以 ;
(4)令 則 .
.
14. (1)1991☉2000=9;
由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;
由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.
(2)我們不知道11和x哪個(gè)大(注意,x≠11),即哪個(gè)作除數(shù),哪個(gè)作被除數(shù),這樣就要分兩種情況討論.
1) x<11,這時(shí)x除11余2, x整除11-2=9.又x≥3(因?yàn)?/span>x應(yīng)大于余數(shù)2),所以x=3或9.
2) x>11,這時(shí)11除x余2,這說明x是11的倍數(shù)加2,但x<20,所以x=11+2=13.
因此(2)的解為x=3,9,13.
(3)這個(gè)方程比(2)又要復(fù)雜一些,但我們可以用同樣的方法來解.
用y表示19☉x,不管19作除數(shù)還是被除數(shù),19☉x都比19小,所以y應(yīng)小于19.
方程y☉19=5,說明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.
當(dāng)y=7時(shí),分兩種情況解19☉x=7.
1)x<19,此時(shí)x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.
2) x>19,此時(shí)19除x余7, x是19的倍數(shù)加7,由于x<50,所以x=19+7=26或 =45.
當(dāng)y=14時(shí),分兩種情況解19☉x=14.
1) x<19,這時(shí)x除19余14, x整除19-14=5,但x大于14,這是不可能的.
2)x>19,此時(shí)19除x余14,這就表明x是19的倍數(shù)加14,因?yàn)?/span>x<50,所以x=19+14=33.
總之,方程(19☉x)☉19=5有四個(gè)解,x=12,26,33,45.
