十一、不定方程（二）
年級(jí) 班 姓名 得分
一、填空題
1.已知△和☆分別表示兩個(gè)自然數(shù),并且 ,△+☆= .
2.箱子里有乒乓球若干個(gè),其中25%是一級(jí)品,五分之幾是二級(jí)品,其余91個(gè)是三級(jí)品.那么,箱子里有乒乓球 個(gè).
3.某班同學(xué)分成若干小組去值樹,若每組植樹n棵,且n為質(zhì)數(shù),則剩下樹苗20棵;若每組植樹9棵,則還缺少2棵樹苗.這個(gè)班的同學(xué)共分成了 組.
4.不定方程 的自然數(shù)解是 .
5.王老師家的電話號(hào)碼是七位數(shù),將前四位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得9063;將前三位組成的數(shù)與后四位組成的數(shù)相加得2529.王老師家的電話號(hào)碼是 .
6.有三個(gè)分子相同的最簡(jiǎn)假分?jǐn)?shù),化成帶分?jǐn)?shù)后為 .已知a,b,c都小于10,a,b,c依次為 , , .
7.全家每個(gè)人各喝了一滿碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的 和全部咖啡(若干碗)的 .那么,全家有 口人.
8.某單位職工到郊外植樹,其中 的職工各帶一個(gè)孩子參加,男職工每人種13棵樹,女職工每人種10棵,每個(gè)孩子種6棵,他們共種了216棵樹,那么其中有女職工 人.
9.將一個(gè)棱長(zhǎng)為整數(shù)(單位:分米)的長(zhǎng)方體6個(gè)面都涂上紅色,然后把它們?nèi)壳谐衫忾L(zhǎng)為1厘米的小正方體.在這些小正方體中,6個(gè)面都沒涂紅色的有12塊,僅有2面涂紅色的有28塊,僅有1面涂紅色的有 塊.原來長(zhǎng)方體的體積是 立方分米.
10.李林在銀行兌換了一張面額為100元以內(nèi)的人民幣支票,兌換員不小心將支票上的元與角、分?jǐn)?shù)字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看錯(cuò)的數(shù)字支付.李林將其款花去3.50元之后,發(fā)現(xiàn)其余款恰為支票面額的兩倍,于是急忙到銀行將多領(lǐng)的款額退回.那么,李林應(yīng)退回的款額是 元.
二、解答題
11.一隊(duì)旅客乘坐汽車,要求每輛汽車的乘客人數(shù)相等,起初每輛汽車乘22人,結(jié)果剩下一人未上車;如果有一輛汽車空車開走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各車上.已知每輛汽車最多只能容納32人,求起初有多少輛汽車?有多少旅客?
12.小王用50元錢買40個(gè)水果招待五位朋友.水果有蘋果、梨子和杏子三種,每個(gè)的價(jià)格分別為200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到蘋果,并且各人得到的蘋果數(shù)目互不相同,試問他能否實(shí)現(xiàn)自己的愿望?
13.一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽準(zhǔn)備了22支鉛筆作為獎(jiǎng)品發(fā)給一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生,原計(jì)劃發(fā)給一等獎(jiǎng)每人6支,二等獎(jiǎng)每人3支,三等獎(jiǎng)每人2支,后來改為一等獎(jiǎng)每人9支,二等獎(jiǎng)每人4支,三等獎(jiǎng)每人1支,問:獲一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生各幾人?
14.采購(gòu)員用一張1萬元支票去購(gòu)物.購(gòu)單價(jià)590元的A種物若干,又買單價(jià)670元的B種物若干,其中B種個(gè)數(shù)多于A種個(gè)數(shù),找回了幾張100元和幾張10元的(10元的不超過9張).如把購(gòu)A種物品和B種物品的個(gè)數(shù)互換,找回的100元和幾張10元的鈔票張數(shù)也恰好相反.問購(gòu)A物幾個(gè),B物幾個(gè)?
———————————————答 案——————————————————————
1. 5.
依題意得11△+5☆=37,易知其自然數(shù)解為△=2,☆=3.所以△+☆=5.
2. 260.
設(shè)箱子里共有n個(gè)乒乓球,二級(jí)品占 .依題意,得
整理得 ①
易知 15-4 a>0,所以a≤3.
將a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此時(shí)n=260(個(gè)).
3. 11.
設(shè)共分為x組.由樹苗總數(shù)可列方程
因?yàn)?span lang="EN-US">22=1×22=2×11, n是小于9的質(zhì)數(shù),對(duì)比上式得x=11(組).
4.
顯然z只能取1,2,3.
當(dāng)z=1時(shí), ,其自然數(shù)解為x=2, y=4; x=5, y=2.
當(dāng)z=2時(shí), ,其自然數(shù)解為x=3, y=1.
當(dāng)z=3時(shí), ,顯然無自然數(shù)解.
所以原方程的自然數(shù)解為:
5. 8371692.
設(shè)電話號(hào)碼的前三位為x,后三位y,第四位為a(a≠0).由題意有
①-②,化簡(jiǎn)得 .
當(dāng)a=1時(shí), x=837, y=692;
當(dāng)a≥2時(shí), y<0,不合題意.
所以電話號(hào)碼為8371692.
6. 7,3,2.
由題意有 .解這個(gè)不定方程,得 .
7. 5.
設(shè)全家共喝了x碗牛奶和y碗咖啡,依題意得:
整理得 .
易得其自然數(shù)為x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.
8. 3.
設(shè)有女職工x人,男職工y人,那么有孩子 人.這個(gè)條件說明3| x+ y.
由已知
即
由12|4(x+ y),12|72.
所以12| y,又 ≤ .
所以, y=12, x=3.即有女職工3人.
9. 32,80.
畫個(gè)示意圖就不難推知:小正方體中僅兩面涂色的每條棱上都有,并在同一個(gè)方向的4條棱上2面涂色的小正方體數(shù)相等,設(shè)它們分別為 ,則
剝?nèi)ニ型可男K,得到上圖.
由上面兩上算式可以推算出 ,僅1面涂色彩正方體有:
(塊).
原來長(zhǎng)方體的體積為
(立方分米).
10. 17.82
設(shè)支票上的元數(shù)與角、分?jǐn)?shù)分別為x和y,則可列得方程
,
其中x,y為整數(shù)且0≤x,y<100.
化簡(jiǎn)方程得
由此推知2x<y且為x偶數(shù),其可能取值為2,4,…,48.
又 ,
56≤ ≤
所以 或 .
所以 (舍去).
故 ,此時(shí) .即李林的支票面額為14.32元,競(jìng)換時(shí)誤看成32.14元,李林應(yīng)退款額為32.14-14.32=17.82元.
11. 設(shè)起初有x輛汽車,開走一輛汽車后每車乘n人,依題意,得
,
所以
又n, x為整數(shù),所以(x-1)|23,故x-1=1或23,即x=2或x=24.
若x=2,則 與n≤32產(chǎn)生矛盾.
因此x=24或n=23,故起初有24輛汽車,有旅客22 x+1=529(名).
12. 設(shè)蘋果、梨子、杏子分別買了 個(gè),則
消去z得 ①
所以
由0<y<40得
即
又 5|5 y,5|380,(5,17)=1,由①得5| x.所以x=15或x=20.
當(dāng)x=15時(shí), y=25, z=0,不合題意.
因此x=20, y=8, z=12.
因此,小王的愿望不能實(shí)現(xiàn),因?yàn)榘此囊?span lang="EN-US">,蘋果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20個(gè).
13. 設(shè)獲一、二、三等獎(jiǎng)的人數(shù)分別為 ,根據(jù)題意有:
2×②得 ③
③-①得 ④
解④求得整數(shù)解為x=1, y=2.
代入②可求得z=5.
答:獲得一等獎(jiǎng)的有1人,獲得二等獎(jiǎng)的有2人,獲三等獎(jiǎng)的有5人.
14. 設(shè)買A種物品a個(gè), B種物品b個(gè),找回100元的m張,10元的n張,則有:
其中b>a,n<10.
①-②得 ③
所以 ,故 ,
由b>a,n<10知 m<n<10,因此, m-n=8,從而b-a=9.
由此推知n=9, m=1, b=a+9.
代入①式,解得a=3. B=12.
答:購(gòu)A物3個(gè),B物12個(gè).
