要求看第二場電影,每位觀眾必須跟他相鄰的某一觀眾交換位置,即要求每一黑白格必須互換,因黑白格的總數(shù)不相等,因此是不可能的.

2.  將編號為奇數(shù)的房間染成黑色,編號為偶數(shù)的房間染成白色.從1號房間出發(fā),只能按黑    白     黑    白    ……的次序,當(dāng)走遍九個(gè)房間時(shí)應(yīng)在黑色房間中,這個(gè)房間不與1號房間相鄰,故不能不重復(fù)地走遍所有房間又回到1號房間.

3.  圖(a)行,走法如圖所示.

                        圖(a)

圖(b)不行,將小屋染成黑色,果樹染成黑白相間的顏色,則圖(b)中有41個(gè)黑色的,40個(gè)白色的.從小屋出發(fā),按黑    白     黑    白    ……的次序,當(dāng)走遍80棵樹后,到達(dá)的樹的顏色還是黑色,與小屋不相鄰,故不可能最后回到小屋.

4.  不能.原因是每一個(gè)2´1的矩形骨牌一定恰好蓋住一個(gè)黑格和一個(gè)白格,31個(gè)這樣的骨牌恰好蓋住31個(gè)黑格和31個(gè)白格.

但是國際象棋棋盤上對角兩格的顏色是相同的,把它們?nèi)サ艉笫Ｏ碌氖?span lang="EN-US">30個(gè)白格,32個(gè)黑格,或32個(gè)白格,30個(gè)黑格,因此不能蓋住.

5.  中國象棋棋盤上有90個(gè)交叉點(diǎn),把棋盤分成10個(gè)小部分,每部分有3´3=9個(gè)交叉點(diǎn),由抽屜原則知,至少有一個(gè)小部分內(nèi)含有6只馬.

將這一小部分的9個(gè)交叉點(diǎn)分別涂上黑色及白色.總有兩只馬在不同顏色交叉點(diǎn)上,故一定有兩只馬“互吃”.

6.  設(shè)這六個(gè)點(diǎn)為A、B、C、D、E、F.我們先證明存在一個(gè)同色的三角形:

考慮由A點(diǎn)引出的五條線段AB、AC、AD、AE、AF,其中必有三條被染成了相同的顏色,不妨設(shè)AB、AC、AD三條同為紅色.再考慮三角形BCD的三邊:若其中有一條為紅色,則存在一個(gè)紅色三角形;若這三條都不是紅色,則三角形BCD為藍(lán)色三角形.

下面再來證明有兩個(gè)同色三角形,不妨設(shè)三角形ABC的三邊同為紅色.

(1)若三角形DEF也是紅色三角形,則存在兩個(gè)同色三角形.

(2)若三角形DEF中有一條邊為藍(lán)色(不妨設(shè)DE),下面考慮DA、DB、DC三

條線段，其中必有兩條同色.

②若其中有兩條是藍(lán)色的,設(shè)DA、DB為藍(lán)色(圖2).此時(shí)在EA、EB兩條線段中,若有一條為藍(lán)色,則存在一個(gè)藍(lán)色三角形;若兩條都是紅色的,則三角形EAB為紅色三角形.

綜上所述,一定有兩個(gè)同色三角形.

7.  甲蟲不能走遍所有的立方體.

我們將大正方體如圖分割成27個(gè)小正方體,涂上黑白相間的兩種顏色,使得中心的小正方體染成白色,再使兩個(gè)相鄰的小正方體染上不同的顏色.顯然在27個(gè)小正文體中,14個(gè)是黑的,13個(gè)是白的.甲蟲從中間的白色正方體出發(fā),每走一步,小正方體就改變一種顏色.故它走27步,應(yīng)該經(jīng)過14個(gè)白色的小正方體,13個(gè)黑色的小正方體.因此在27步中至少有一個(gè)白色的小正方體,甲蟲進(jìn)去過兩次.故若要求甲蟲到每個(gè)小正方體只去一次,甲蟲就不能走遍所有的小正方體.

8.  將棋盤上的各點(diǎn)按黑白相間的方式染上黑白二色.

由“馬步”的行走規(guī)則,當(dāng)“馬”從黑點(diǎn)出發(fā),下一步只能跳到白點(diǎn),以后依次是黑、白、黑、白……要回到原出發(fā)點(diǎn)(黑點(diǎn)),它必須跳偶數(shù)步.

9.  不能.半張象棋盤共有45個(gè)格點(diǎn),馬從起點(diǎn)出發(fā)跳遍半張棋盤,則起點(diǎn)與最后一步同色.故不可能從最后一步跳回起點(diǎn).

10.  與B點(diǎn)同色的點(diǎn)(白點(diǎn))有22個(gè),異色的點(diǎn)(黑色)有23個(gè).馬從B點(diǎn)出發(fā),跳了42步時(shí),已經(jīng)跳遍了所有的白色,還剩下兩個(gè)黑點(diǎn),但是馬不能夠連續(xù)跳過兩個(gè)黑點(diǎn).

11.  不能.因?yàn)?/span>A、B兩點(diǎn)異色,從B到A所跳的步數(shù)是一個(gè)奇數(shù).

12.  “車”每走一步,所在的格點(diǎn)就會(huì)改變一次顏色.因A、B兩點(diǎn)異色,故從A到B“車”走的步數(shù)是一個(gè)奇數(shù).但半張棋盤共有45個(gè)格點(diǎn),不重復(fù)地走遍半張棋盤要44步，但44是一個(gè)偶數(shù).

13.  如圖對8´8的棋盤染色,則每一個(gè)4´1的長方形能蓋住2白2黑小方格,而每一個(gè)2´2的正方形能蓋住1白3黑或1黑3白小方格,那么7個(gè)2´2的正方形蓋住的黑色小方格數(shù)總是一個(gè)奇數(shù),但圖中黑格數(shù)為32是一個(gè)偶數(shù).故這種剪法是不存在的.

    14.  如下圖所示,將表(1)黑白相間地染色.

              表(1)

    本題條件允許如圖所示的6個(gè)操作,這6個(gè)操作無論實(shí)行在那個(gè)位置上,白格中的數(shù)字之和減去黑格中的數(shù)字之和總是一個(gè)常數(shù),所以表1中白格中數(shù)字之和與黑格中數(shù)字之和的差即32,等于表2中白格中數(shù)字之和與黑格中數(shù)字之和的差即(31+A)-32,于是(31+A)-32=32,故A=33.