小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)第六講——盈虧問(wèn)題
“老猴子給小猴子分梨。每只小猴子分6個(gè)梨，就多出12個(gè)梨；每只小猴子分7個(gè)梨，就少11個(gè)梨。有幾只小猴子和多少個(gè)梨？”
這道應(yīng)用題是已知兩種分配的方法，一次分配有余，一次分配不足，求參加分配的數(shù)量及被分配的總量。這樣的應(yīng)用題，通常叫做盈虧問(wèn)題（有余時(shí)稱(chēng)盈，不足時(shí)稱(chēng)虧）。
解盈虧問(wèn)題，常常采用比較的方法。
典型例題
例【1】老猴子給小猴子分梨。每只小猴子分6個(gè)梨，就多出12個(gè)梨；每只小猴子分7個(gè)梨，就少11個(gè)梨。有幾只小猴子和多少個(gè)梨？
分析每只小猴子分6個(gè)梨則多12個(gè)梨；每只小猴子分7個(gè)梨就少11個(gè)梨，這說(shuō)明小猴子的總只數(shù)為：12＋11＝23（只），也就是說(shuō)：不足的個(gè)數(shù)＋多余的個(gè)數(shù)＝小猴子的只數(shù)
解小猴子的只數(shù)為：12＋11＝23（只）
梨子的個(gè)數(shù)為：
23×6＋12＝150（個(gè)）或：23×7－11＝150（個(gè)）
答：有23只小猴子，150個(gè)梨。
例【2】麗麗阿姨給幼兒園小朋友分蘋(píng)果。如果每人分3個(gè)，多16個(gè)；如果每人分5個(gè)，那么就差4個(gè)。有多少個(gè)小朋友？有多少個(gè)蘋(píng)果？
分析先比較兩種分法中各個(gè)量之間的關(guān)系：每人分3個(gè)，余16個(gè)蘋(píng)果。每人分5個(gè)，還差4個(gè)蘋(píng)果。這兩次分蘋(píng)果，每人相差的個(gè)數(shù)為：5－3＝2（個(gè)）。第1次余16個(gè)，第2次少4個(gè)，那么第2次與第1次總共相差蘋(píng)果的個(gè)數(shù)為：4＋16＝20（個(gè)）。每人相差2個(gè)，結(jié)果總數(shù)就相差20個(gè)。
解有小朋友的人數(shù)為：
20÷2＝10（人）
有蘋(píng)果的個(gè)數(shù)為：
3×10＋16＝46（個(gè)）或5×10－4＝46（個(gè)）
綜合算式：（4＋16）÷（5－3）＝10（人）
3×10＋16＝46（個(gè)）
答：這個(gè)幼兒園有10位小朋友，蘋(píng)果的總數(shù)是46個(gè)。
例【3】北京東路小學(xué)學(xué)生乘汽車(chē)到中山陵去春游。如果沒(méi)車(chē)坐65人，則有15人不能乘車(chē)。如果每車(chē)多坐5人，恰好多余了一輛車(chē)。一共有幾輛汽車(chē)？有多少學(xué)生？
分析每車(chē)多坐5人，也就是每車(chē)坐70人，恰好多余了一輛車(chē)，也就是還差一輛車(chē)的人，即70人。因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：如果每車(chē)坐65人，則有15人不能乘車(chē)。如果每車(chē)坐70人，則還差70人。求有多少人和多少輛汽車(chē)。
解（15＋70）÷（70－65）＝17（輛）
65×17＋15＝1120（人）
答：一共有17輛汽車(chē)，1120位學(xué)生。
例【4】小明的爺爺買(mǎi)回一筐梨，分給全家人。如果小明和小妹每人分4個(gè)梨，其余每人分2個(gè)梨，還多出4個(gè)梨。如果小明1人分6個(gè)梨，其余每人分4個(gè)梨，又差12個(gè)梨。小明家有多少人？這筐梨子有多少個(gè)？
分析第一種分法是小明、小妹各4個(gè)梨，其余每人2個(gè)梨，多余4個(gè)梨。假設(shè)小明、小妹也分2個(gè)梨，那么會(huì)多多少個(gè)梨呢？很容易想，多出：2×2＋4＝8（各）。第二種分法是小明一人得6個(gè)梨，其余每人4個(gè)梨，差12個(gè)梨。假設(shè)小明也只分4個(gè)，那么就只差：12－2＝10（個(gè)）。
解小明家的人數(shù)為：2×2＋4＋（12－2）＝18（個(gè)）
18÷2＝9（人）
梨子的個(gè)數(shù)為：
4×2＋2×（9－2）＋4＝26（個(gè)）
或：6＋4×（9－1）－12－26（個(gè)）
答：小明家有9個(gè)人，這筐梨有26個(gè)。
例【5】同學(xué)們暑假前到圖書(shū)館借書(shū)，如果每人借4本，則最后少2本；如果前2人每人先借8本，余下的人每人借3本，這些圖書(shū)恰好借完，書(shū)的總數(shù)是多少？
解第二種借法中如果每人借3本，則余下：
�。�8－3）×2＝10（本）；
兩種借法每人相差：4－3＝1（本）；
兩種借法相差本數(shù)：10＋2＝12（本）
借書(shū)的總?cè)藬?shù)：12÷1＝12（人）；
書(shū)的總數(shù)：4×12－2＝46（本）
小結(jié)通過(guò)以上例題的分析解答，我們不難看出：一般地，在盈虧問(wèn)題中：
�。ㄓ瘮�(shù)＋虧數(shù)）÷兩次差＝參加分配的數(shù)
